Koko Martono – FMIPA - ITB 019
Jenis Bentuk Tak-tentu Limit Fungsi Bentuk Tak- tentu 0 / 0 Akan dihitung f (x)
lim ; dengan lim f (x) = 0 = lim g (x) . x Æ c g (x) xÆc xÆc x- x -2
sin x
Ilustrasi: lim x , lim x - 4 , lim xÆ0 xÆ4 xÆ4
sin (x - x - 2) , x-4
dan sebagainya.
Bentuk Tak- tentu ∞ / ∞ Akan dihitung f (x)
lim ; dengan lim | f (x)| = • = lim | g (x)| . x Æ • g (x) xÆ• xÆ• Ilustrasi:
x3 - x 2 x- x x2 + x x2 + x , lim , lim , lim , dan sebagainya. lim 3 x Æ • x - 3 x x Æ • x - 4 x Æ • 2 x - 4 x Æ- • 2 x - 4
Bentuk Tak- tentu 0⋅ ∞ Akan dihitung lim f (x) g (x); dengan lim f (x) = 0 dan lim | g (x)| = • . xÆc
xÆc
xÆc
f (x)
Limit ini dapat diubah ke bentuk 0/0 karena f (x)g (x) = 1/g (x) dengan f (x) Æ 0 dan g (x) Æ 0 dan ke bentuk ∞/∞ karena f (x)g (x) = 1/ f (x) g (x)
1
1
dengan g (x) Æ • dan | f (x)| Æ • . Ilustrasi: lim x sin 1x , lim (x - 14p ) sec 2 x , dan sebagainya. xÆ•
x Æ p /4
BTt & ITw
020
Bentuk Tak- tentu ∞ − ∞ Akan dihitung lim ( f (x) - g (x)); dengan lim f (x) = • dan lim g (x) = • . xÆ•
xƕ
xƕ
Limit ini dapat diubah ke bentuk ∞/∞ dengan berbagai cara.
( •
Ilustrasi: lim xÆ 2
)
x -1 - x , lim
(
)
x 2 + 2 x - x , lim
xƕ
(
x Æ -•
)
x2 + 2 x + x ,
lim (x3 - x ) , lim (x3 + x 2) , dan sebagainya.
xƕ
x Æ -•
Bentuk Tak- tentu 00 Dengan logaritma natural akan dihitung lim ( f (x)) g (x) ; dengan lim f (x) = 0 = lim g (x) .
xÆc
xÆc 3/(4 + 2ln x)
Ilustrasi: lim+ x x , lim+ xsin x , lim+ x xÆ0
xÆ0
xÆ0
xÆc
, dan sebagainya.
Bentuk Tak- tentu • 0 Dengan logaritma natural akan dihitung
lim ( f (x)) g (x) ; dengan lim f (x) = • dan lim g (x) = 0 .
xÆc
xÆc 1/ln x
Ilustrasi: lim x1/x , lim (1 + x) xƕ
xƕ
xÆc 1/ln x
, lim+ (cot x) xÆ0
, dan sebagainya.
Bentuk Tak- tentu 1• Dengan logaritma natural akan dihitung lim ( f (x)) g (x) ; dengan lim f (x) = 1 dan lim | g (x)| = • .
xÆc
xÆc
xÆc
2
xÆ0
xÆ0
( )
x +1 x , xƕ x
Ilustrasi: lim+ (1 - x)1/sin x , lim (cos 2 x)1/ x , lim
dan sebagainya.
Berbagai Teknik Pemecahan Bentuk Tak- tentu Limit Fungsi Untuk bentuk 0/0, buatlah manipulasi aljabar sehingga bentuknya bukan 0/0. Cobalah teorema L′ Hôpital ′s atau prinsip apit (jika mungkin) Untuk bentuk ∞/∞, munculkan 1/x n (n Œ`) yang limitnya 0 pada pembilang dan penyebutnya, atau cobalah teorema L ′ Hôpital ′s jika mungkin. Untuk bentuk ∞ − ∞, ubahlah menjadi ∞/∞ dengan merasionalkan, atau munculkan bentuk 1/x n (n Œ`) yang limitnya 0.
Untuk bentuk 00, ∞0, dan 0∞, ambil limit dari ln fungsinya kemudian gunakan teorema L ′ Hôpital ′s dan sifat kekontinuan ln.
BTt & ITw
021
Teorema L ′Hôpital ′s Aturan L′Hôpital′s untuk Bentuk 0/0
Jika lim f (x) = 0 = lim g (x) dan lim g ¢(x) ada, ∞, atau −∞, maka xÆc xÆc xÆc ¢ f (x)
lim g (x) = lim g ¢(x) . xÆc xÆc ¢ f (x)
f (x)
Catatan x → c dapat diganti x → c+, x → c−, x → ∞, atau x → −∞. Secara intuitif, jika f (x) dan g (x) balapan menuju 0, maka hasilnya bergantung pada perbandingan kecepatan f (x) dan g (x) , yaitu f ¢(x) / g ¢(x) . Aturan L′Hôpital′s untuk Bentuk ∞ / ∞
Jika lim | f (x)| = • = lim | g (x)| dan lim g ¢(x) ada, ∞, atau −∞, maka xÆ• xÆ• xÆ• ¢ f (x)
lim g (x) = lim g ¢(x) . xÆ• xÆ• ¢ f (x)
f (x)
Catatan x → c dapat diganti x → c+, x → c−, atau x → −∞. Secara intuitif, andaikan f (t) dan g (t) menyatakan posisi dua mobil yang bergerak di sumbu-t dan pada saat t kecepatannya adalah f ¢(t) dan g ¢(t) . Jika perbandingan kecepatan kedua mobil adalah L, maka untuk jangka panjang perbandingan jarak kedua mobil juga sama dengan L. Arti Geometri Teorema L′Hôpital′s untuk Bentuk 0/0 y
y f (x) = px
f ¢(c)
y = f (x)
g(x) = qx
g ¢(c) y = g(x)
0
x
0
c
x f ′, g′ kontinu di c
lim g (x) = lim qx = q = lim g ¢(x) xÆ0 xÆ0 xÆ0 ¢ f (x)
px
p
f (x)
lim g (x) = lim g ¢(x) = g ¢(c) ¢ xÆc xÆc ¢ f (x)
f (x)
f (c)
BTt & ITw
022
Aneka Ragam Contoh Bentuk Tak- tentu Limit Fungsi Bentuk Tak- tentu 0/0 sin x L cos x lim x = lim 1 xÆ0 xÆ0 x- x -2 xÆ4 x -4
lim
Cara lain
= lim cos x = cos ( lim x) = cos 0 = 1. xÆ0
xÆ0
( x - 2)( x +1) x Æ 4 ( x - 2)( x + 2)
= lim
x- x -2 ¾ lim x - 4 xÆ4
x- x -2 ¾ lim x - 4 xÆ4
=
L
= lim
1 2 x
1
2 +1
3
= 2 +2 = 4 .
1-
1 4
=
x2 - 4 x + 4 - x lim x Æ 4 (x - 4) ((x - 2) + x )
3
= 1 = 4.
(x - 2) - x (x - 2) + x lim x - 4 ◊ (x - 2) + x xÆ4
x2 - 5x + 4 x Æ 4 (x - 4) ((x - 2) + x )
sin (x - x - 2) x-4 xÆ4
1-
xÆ4
= lim lim
x +1 xÆ4 x +2
= lim
(x - 4)(x +1) x Æ 4 (x - 4) ((x - 2) + x )
x +1 xÆ 4 x - 2 + x
= lim
= lim
3
= 4.
sin (x - x - 2) x - x - 2 ◊ x-4 xÆ4 x - x -2
= lim
sin (x - x - 2) x- x -2 ◊ lim x - 4 xÆ4 x - x - 2 xÆ4
= lim ex - 1 L ex lim x = lim 1 xÆ0 xÆ0
3
3
= 1◊ 4 = 4 .
= lim e x = 1. xÆ0
(2ln x) ◊ 1x ln 2 x L lim = lim 2 x Æ1 1 - x x Æ1 -2 x
0 ◊1
= -2 = 0 .
tan p x L p sec2p x lim 2 = lim 2 x xÆ2 x - 4 xÆ 2
p = = 14p . 2 ◊ ◊ 2 2 1 x Æ 2 2 x cos p x
= lim
p
L 1 - cos x L sin x cos x lim x sin x = lim x cos x + sin x = lim - x sin x + cos x + cos x xÆ0 xÆ0 xÆ0
x - sin x L 1 - cos x L sin x L cos x lim = lim = lim 6 x = lim 6 3 2 x xÆ0 x Æ 0 3x xÆ0 xÆ0
1 = 0 +1+1 = 12 .
= 16 .
L x (2cos2 x) + sin 2x + sin 2x x sin 2 x x sin 2x + sin 2 x L lim cos x + cos2 x = lim - sin x - 2sin 2 x = lim - cos x - 4cos2 x x Æp x Æp x Æp
= - 23p .
BTt & ITw
023
Bentuk Tak- tentu ∞ / ∞ x3 - x 2 lim 3 x Æ • x - 3x
= lim
(
x Æ • x3 1 - 32 x
)
= lim
1 - 1x
xƕ 1-
1- 0
3 x2
= 1 - 0 = 1.
x3 - x 2 L 3 x2 - 2 x L 6x - 2 L 6 lim 3 = lim 2 = lim 6 x = lim 6 x Æ • x - 3x x Æ • 3x - 3 xÆ• xÆ•
Cara lain x- x lim x - 4 xƕ
x3 (1 - 1x )
= lim
(
x Æ • x 1 - 4x
x- x lim x - 4 xƕ
Cara lain x2 + x lim 2 x - 4 xƕ
(
x 1 - 1x
) = lim 1 - 1x = 1 - 0 = 1 .
)
(
= lim
=
1 - 21x 1
xƕ
(
x Æ • x 2 - 4x
x2 + x lim 2 x - 4 x Æ -•
(
)
)
=
x 2 1 + 1x lim x Æ - • x 2 - 4x
(
1- 0
4 xƕ 1- x
x 2 1 + 1x
= lim
= 1.
)
)
1- 0
= 1 = 1.
x ◊ 1 + 1x lim x Æ • x 2 - 4x
(
=
)
= lim
4 xƕ 2 - x
- x ◊ 1 + 1x lim x Æ - • x 2 - 4x
(
1 + 1x
)
=
= 12 .
1 + 1x - lim 4 x Æ -• 2 - x
= - 12 .
Kedua contoh ini tak dapat diselesaikan dengan teorema L ′ Hôpital ′s. 1 + 2sec x L 2sec x tan x lim tan x = lim 2 x Æ p /2 x Æ p /2 sec x
tan x
= 2 lim sec x = 2 lim sin x = 2 . x Æ p /2 x Æ p /2
Bentuk Tak- tentu 0⋅ ∞ x - 14 p L 1 1 lim (x - 4p ) sec 2 x = lim cos2 x = lim -2sin 2x x Æ p /4 x Æ p /4 x Æ p /4
lim x sin 1x xƕ
= lim
sin 1x
1 xƕ x
sin t
= lim+ t = 1. t Æ0
lim (x - p )cot x =
x -p L 1 lim tan x = lim 2 x Æp x Æ p sec x
lim x ln x = lim+
ln x L
x Æp
x Æ 0+
xÆ0
1 x
= -21◊1 = - 12 .
1 = lim+ - x1 xÆ0 x2
= lim cos 2 x = ( -1)2 = 1. x Æp
= lim+ (-x) = 0 . xÆ0
BTt & ITw
024
Bentuk Tak- tentu ∞ − ∞
( •
)
x -1 - x = lim
lim
xÆ
lim
(
( x -1- x)( x -1+ x) x -1 + x
xƕ
)
( x2 + 2 x - x)( x 2 + 2 x + x)
x 2 + 2 x - x = lim
xƕ
x2 - 2 x + x
xƕ
2x
= lim
xƕ
(
lim
x Æ -•
)
= lim
( )
xƕ x
x 1+ 2x + x 2
x + 2 x + x = lim 2
x -1- x x Æ • x -1 + x
= lim
xƕ
(
)
1+ 2x + 1
( x2 + 2 x + x)( x2 + 2 x - x) x2 - 2 x - x
x Æ -•
2x
= lim
( )
x Æ - • x 2 1+ 2 - x x
( )
x2 + 2 x - x2
= lim 2x
= lim
x2 - 2 x + x
=
2 1+ 0 +1
= 1.
x2 + 2 x - x2 x Æ - • x2 - 2 x - x
= lim 2x
x Æ -• - x
= 0.
( 1+ 2x + 1)
1
=
-2 = 1 + 0 +1
-1.
( ) 1
lim (x3 - x 2) = lim x3 1 - x = • ; lim (x3 - x 2) = lim x3 1 - x = -• . xÆ• xÆ• x Æ -• x Æ -•
(
1 lim tan x xÆ0
-
1 x
)= ( =
(
1
1
)
)
sin x 1 x sin x - cos x L x cos x + sin x + sin x lim cos x - x = lim x cos x = lim - x sin x +cos x xÆ0 xÆ0 xÆ0 x cos x + 2sin x 0◊1+ 2◊ 0 0 lim - x sin x + cos x = -0◊0 +1 = 1 = 0 . xÆ0 ln x + 1
lim+ x + x ln x = lim+ x ln x = • karena untuk x → 0+, (ln x +1) Æ -• xÆ0 xÆ0
dan x ln xÆ 0 dari bawah. 0
Bentuk Tak- tentu 0 Untuk menghitung lim+ x x , misalkan y = x x dan hitunglah lim+ y . Dari xÆ0
xÆ0
y = x x diperoleh ln y = x ln x , sehingga lim ln y = lim+ x ln x = lim+
x Æ 0+
xÆ0
xÆ0
ln x L 1 x
1 = lim+ x1 x Æ 0 - x2
= lim+ (- x) = 0 . xÆ0
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim+ y = ln1, akibatnya xÆ0
lim+ y = lim+ x x = 1 .
xÆ0
xÆ0
BTt & ITw
025
Untuk menghitung lim+ xsin x , misalkan y = xsin x dan hitunglah lim+ y . xÆ0
xÆ0
Dari y = xsin x diperoleh ln y = (sin x)ln x , sehingga lim ln y = lim+(sin x)ln x
x Æ 0+
xÆ0
=
sin 2 x - lim+ x cos x xÆ0
1 ln x L = lim+ csc x = lim+ - csc xx cot x xÆ0 xÆ0
sin x sin x
= - lim+ x ◊ cos x = -1 ◊ 0 = 0. xÆ0
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim+ y = ln1, akibatnya xÆ0
lim y = lim+ x
x Æ 0+
sin x
xÆ0
= 1.
Untuk menghitung lim+ x3/(4 + 2ln x), misalkan y = x3/(4 + 2ln x) dan hitunglah xÆ0
lim+ y . Dari y = x3/(4 + 2ln x) diperoleh ln y = 4 + 2ln x ◊ln x = 4 + 2ln x , sehingga 3
3ln x
xÆ0
lim+ ln y
xÆ0
3ln x L = lim+ 4 + 2ln x = lim+ xÆ0 xÆ0
3 x 2 x
3
3
= lim+ 2 = 2 . xÆ0
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim+ y = ln e3/2, akibatnya lim+ y = lim+ x3/(4 + 2ln x) = e
xÆ0
Bentuk Tak- tentu ∞
xÆ0 3/2
=e e.
xÆ0
0
Untuk menghitung lim x1/x , misalkan y = x1/x dan hitunglah lim y . Dari xƕ
xƕ
1
ln x
y = x1/x diperoleh ln y = x ◊ ln x = x , sehingga lim ln y
xƕ
1 ln x L = lim x = lim 1x xƕ xƕ
1
= lim x = 0 . xƕ
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim y = ln1, akibatnya xÆ•
lim y = lim x1/x = 1 .
xƕ
xƕ
BTt & ITw
026
Untuk menghitung lim+ (cot x)1/ ln x , misalkan y = (cot x)1/ln x dan hitungxÆ0
1
ln cot x
lah lim+ y . Dari y = (cot x)1/ln x diperoleh ln y = ln x ◊ ln cot x = ln x , sexÆ0 sin x -1 cos x ◊ sin 2 x ln cot x = lim+ ln x = lim+ 1 xÆ0 xÆ0 x
L
hingga lim+ ln y xÆ0
x
-1
= lim+ sin x ◊ cos x = -1 . xÆ0
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim+ y = ln e -1 , akibatnya xÆ0
lim+ y = lim+ (cot x)1/ ln x = e -1 = e . 1
xÆ0
xÆ0
∞
Bentuk Tak- tentu 1
Untuk menghitung lim+ (1 - x)1/sin x , misalkan y = (1 - x)1/sin x , dan hitungxÆ0
ln (1- x )
1
lah lim+ y . Dari y = (1 - x)1/sin x , diperoleh ln y = sin x ◊ ln (1 - x) = sin x , xÆ0 sehingga lim+ ln y xÆ0
-1 ln (1- x ) L 1- x = lim+ sin x = lim+ cos x xÆ0 xÆ0
-1
= lim+ 1 = -1 . xÆ0
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim+ y = ln e -1 , akibatnya lim y = lim+ (1 - x)
1/sin x
x Æ 0+
xÆ0
xÆ0 -1 1
=e = e.
( )
( )
x x Untuk menghitung lim xx+1 , misalkan y = xx+1 , dan hitunglah xƕ
( )
x lim y . Dari y = xx+1 , diperoleh ln y = x ln xx+1 , sehingga xƕ
lim ln y = lim x ln
xƕ
xƕ
x +1 x
= lim
( ) = 1.
x +1 ◊ - 1 x x2 = lim - 12 xÆ• x
ln xx+1 L
xƕ
1 x
Karena fungsi ln kontinu pada (0,∞), maka ln lim y = ln e , akibatnya xÆ•
( )
x lim y = lim xx+1 = e . xƕ xƕ
BTt & ITw
027
Jenis Integral Tak-wajar Integral tak-wajar pada selang tak-hingga y y = f (x) •
Úa y
0
f (x) dx
a y
y = f (x)
x y = f (x)
b
Úa 0
a
b
f (x) dx b
x
0
Ú-• f (x) dx y
b x
y = f (x)
•
Integral tak wajar pada kasus ini tidak tergantung pada pemilihan c.
Ú-• f (x) dx 0
c
x
¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang tak-
terbatas [a,∞) didefinisikan sebagai
•
Úa
f (x) dx = lim
Ú
b
bƕ a
f (x) dx .
¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang takb
Ú-•
terbatas (−∞,b] didefinisikan sebagai
f (x) dx = lim
Ú
b
a Æ -• a
f (x) dx .
¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang tak-
terbatas (−∞,∞) didefinisikan sebagai •
Ú-•
f (x) dx = Ú
c
-•
•
f (x) dx + Ú f (x) dx = lim c
Ú
c
a Æ -• a
f (x) dx + lim
Ú
b
bƕ c
f (x) dx .
Kekonvergenan integral tak-wajar Jika semua limit di atas ada dan bernilai hingga, integral tak-wajarnya dikatakan konvergen dan jika tidak demikan dikatakan divergen (limitnya ±∞ atau kurva beroskilasi).
BTt & ITw
028
Integral tak-wajar pada selang tak-hingga
y y = f (x) b
Úa 0
y
y
y
f (x) dx
a
y = f (x) b
y = f (x)
x
y = f (x) y = f (x)
b
Úa 0
b
Úa
f (x) dx
a c
b
x
0
b
a
c b
Df = (a,b]
Úa
f (x) dx x
0
Df = [a,b)
a
f (x) dx
q p r
b
x
Df = [a,b] − {p}
¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang ter-
batas (a,b] didefinisikan sebagai
b
Úa
b
f (x) dx = lim+ Ú f (x) dx . Dengan cÆa
c
penggantian e = c - a diperoleh c = a + e dan c Æ a + ¤ e Æ 0+ , sehingga
b
Úa
f (x) dx = lim+ Ú e Æ0
b
a +e
f (x) dx .
¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang ter-
batas [a,b) didefinisikan sebagai
b
Úa
c
f (x) dx = lim- Ú f (x) dx . Dengan cÆb
a
penggantian e = b - c diperoleh c = b - e dan c Æ b - ¤ e Æ 0 + , sehingga
b
Úa
f (x) dx = lim+ Ú e Æ0
b -e
a
f (x) dx .
¾ Integral tak-wajar dari fungsi terintegralkan y = f (x) pada selang ter-
batas [a,b] − { p} didefinisikan sebagai b
Úa
p
b
q
b
f (x) dx = Ú f (x) dx + Ú f (x) dx = lim- Ú f (x) dx + lim+ Ú f (x) dx . a
p
qÆ p
a
rÆ p
r
Kekonvergenan integral tak-wajar Jika semua limit di atas ada dan bernilai hingga, integral tak-wajarnya dikatakan konvergen dan jika tidak demikan dikatakan divergen (limitnya ±∞ atau kurva beroskilasi).
BTt & ITw
029
Aneka Ragam Contoh Integral Tak-wajar pada Selang Tak-hingga
Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f (x) = • dx
Ú1
x2
Ú
= lim
pada [1,∞) adalah
1 x
pada [1,∞) adalah
- b1 + 1) = 1 (konvergen) . ( )1 = blim ( Æ•
b dx
bƕ 1
1 x2
1 2 = lim - x x bƕ
b
Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f (x) = • dx
Ú1
x
Ú
= lim
b dx
bƕ 1
x
( )
= lim 2 x bƕ
b
1
= lim 2 bƕ
(
)
b - 1 = • (divergen)
Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f (x) = sin x pada [0,∞) adalah •
Ú0
sin x dx = lim
Ú
b
bƕ 0
sin x dx = lim ( - cos x )0 = lim ( - cos b + 1) b
bƕ
bƕ
= tidak ada (divergen).
Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f (x) = 31 pada [−∞,−1) adalah -1 dx
Ú-•
3
x
(
-1 dx
Ú a Æ -• a
= lim
= lim 32 x 2 / 3 3 x a Æ -•
)
x
-1 a
(
Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f (x) =
Ú
•
dx -• 1 + x 2
=Ú
0
dx -• 1 + x 2
(
+Ú
• dx
0 1+ x
)
0
2
)
= lim 32 1 - a 2 / 3 = -• (divergen) a Æ -•
= lim
Ú
(
)
1 1 + x2
0
dx 2 a Æ -• a 1 + x
pada (−∞,∞) adalah
Ú
b
dx 2 bƕ 0 1 + x
+ lim
(
b
)
(
= lim tan -1 x + lim tan -1 x = lim - tan -1a + lim tan -1b a Æ -•
(
)
a bƕ
0 a Æ -•
bƕ
)
= - - 12p + 12p = p (konvergen).
Integral tak-wajar dari fungsi kontinu f (x) = cosh x pada (−∞,∞) adalah •
Ú-•
cosh xdx = Ú
0
-•
•
cosh xdx + Ú cosh xdx = lim 0
Ú
0
a Æ -• a
b
cosh xdx + lim Ú cosh xdx bÆ• 0
= lim (sinh x )a + lim (sinh x )0 = lim ( - sinh a ) + lim (sinh b ) b
0
a Æ -•
bƕ
= - ( -• ) + • = • (divergen).
a Æ -•
bƕ
BTt & ITw
030
Aneka Ragam Contoh Integral Tak-wajar pada Selang Hingga 1 x -1
Fungsi f (x) =
kontinu pada (1,5] dengan lim+ x Æ1
1 x -1
= • . Integral
tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [1,5] adalah 5
Ú1
5 dx dx = lim+ = lim x - 1 c Æ1 c x - 1 c Æ1+
Ú
(
)
5
(
)
2 x -1 = lim+ 4 - 2 c -1 = 4 (konvergen). c Æ1
c
Fungsi f (x) = ln x kontinu pada (0,1) dengan lim+ln x = -• . Integral xÆ0
tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,1] adalah
( x ln x - x )c = lim ( -1 - c ln c + c ) = -1 (konvergen). Ú0 ln x dx =clim Æ0 cÆ0 1
1
+
+
1
1
Fungsi f (x) = x - 1 kontinu pada [−1,1) dengan lim- x - 1 = -• . Integral x Æ1 tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [−1,1] adalah
Ú
c d (x - 1)
= lim- Ú x - 1 = lim- Ú x - 1 = lim- (ln| x -1|)-1 c Æ1 -1 c Æ1 -1 c Æ1
1
c
dx -1 x - 1
dx
c
= lim- (ln| c -1| - ln 2) = -• (divergen). c Æ1
1 9 - x2
Fungsi f (x) =
kontinu pada [0,3) dengan limx Æ3
tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,3] adalah
Ú
3
dx 0 9 - x2
= lim- Ú cÆ3
c
dx 0 9 - x2
(
)
c
1 9 - x2
= • . Integral
(
= lim- sin -1 3x = lim- sin -1 3c - 0 cÆ3
0 cÆ3
)
= sin -1 1 = 12p (konvergen).
Fungsi f (x) =
1 x2
1 2 xÆ0 x
kontinu pada [−1,0) ∪ (0,1] dengan lim
= • . Inte-
gral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [−1,1] adalah 1 dx
Ú-1 x
2
0 dx
1 dx
-1 x
0x
=Ú
2 +Ú
(
2 = lim- Ú
)
qÆ0
q dx
-1 x
(
2 + lim+ Ú
r Æ0
)
1 dx
r
- 1x ) ( )-1+rlim ( r Æ0
1 2 = lim- - x x qÆ0
q
= lim- - 1q - 1 + lim+ -1 + 1r = • + • = • (divergen). qÆ0 r Æ0
1
+
BTt & ITw
031
Fungsi f (x) =
1 3 x -1
1 x Æ1 x - 1
= ±• .
kontinu pada [0,1) ∪ (1,2] dengan lim 3
Integral tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,1] adalah
Ú
2
dx 0 3 x -1
=Ú
1
dx 0 3 x -1
+Ú
2
dx 1 3 x -1
(
)
= lim- Ú
q
dx 0 3 x -1
q Æ1
(
+ lim+ Ú
q Æ1
(
r Æ1
0
3
3
)
(
3
dx r 3 x -1
r Æ1
q = lim- 32 (x -1) 2/3 + lim+ 32 (x -1)2/3
)
2
2 r
3
= lim- 2 (q -1)2/3 - 2 + lim+ 2 - 2 (r -1) 2/3 q Æ1 r Æ1
)
= - 32 + 32 = 0 (konvergen).
Aneka Ragam Variasi Contoh Integral Tak-wajar
Selidiki kekonvergenan integral tak-wajar
•
Ú-• sech x dx .
¾ Integral tak-tentu dari f (x) = sech x adalah
Ú sech xdx = Ú cosh x = Ú dx
= 2Ú
d(e x ) 1 + (e x )2
2 dx x e + e -x
=Ú
2e x dx e2 x + 1
= 2 tan -1e x + C
¾ Integral tak-wajar dari f (x) = sech x yang kontinu pada (−∞,∞) adalah •
•
0
Ú-• sech xdx = Ú-• sech xdx + Ú0 sech xdx = lim
Ú
0
a Æ -• a
b
sech xdx + lim Ú sech xdx bÆ• 0
( ) •( ) = lim ( 12p - 2 tan e ) + lim (2 tan e -• • = lim 2 tan -1e x a Æ -•
0
a
+ lim 2 tan -1e x bÆ
-1 a
aÆ
b 0
-1 b
bÆ
- 12p
= 12p - 2◊0 + 2◊ 12p - 12p = p (konvergen).
)
BTt & ITw
032 •
Ú0
Selidiki kekonvergenan integral tak-wajar ¾ Integral tak-tentu dari f (x) =
Ú
dx x (1 + x)
=Ú
dx . x (1 + x)
pada (0,∞) adalah
dx x (1 + x)
2 d( x) 1 + ( x )2
= 2 tan -1 x + C
¾ Jenis integral tak-wajar ini pada selang hingga dan selang tak-hingga kadx x (1 + x)
rena f (x) =
kontinu pada (0,∞) dengan lim+ xÆ0
1 x (1 + x)
= • . Integal
tak-wajar dari fungsi f pada selang tutup [0,∞) adalah •
Ú0
dx x (1 + x)
• dx dx + 0 x (1 + x) 1 x (1 + x)
=Ú
1
Ú
(
)
b dx dx + lim c Æ 0 c x (1 + x) b Æ • 1 x (1 + x)
= lim+ Ú
1
1
Ú
(
= lim+ 2 tan -1 x + lim 2 tan -1 x cÆ0
(
c bƕ
)
b
1
(
)
= 2 lim+ 14p - tan -1 c + 2 lim tan -1 b - 14p bÆ• cÆ0
(
) (
)
)
= 2 14p - 0 + 2 12p - 14p = p (konvergen). •
Tunjukkan Ú x r dx konvergen jika r < −1 dan divergen jika r ≥ −1, r Œ\. 1
¾ Untuk kasus r π -1, r Œ\ integral tak-wajarnya adalah • r x dx 1
Ú
= lim
Ú
xr +1 x dx = lim Ê r + 1 bÆ• Ë
b r
bƕ 1
)
b
1
br +1 - 1
= lim Ê r + 1 bÆ• Ë
)
ÏÔ -1 , jika r + 1 < 0 ÏÔ -1 , jika r < -1 = Ì r +1 = Ì r +1 ÔÓ • , jika r + 1 > 0 ÔÓ • , jika r > -1 ¾ Untuk kasus r = -1, r Œ\ integral tak-wajarnya adalah • -1 x dx 1
Ú ¾ Jadi
• r x dx 1
Ú
=Ú
• dx
1
= lim Ú x = lim (ln x )1 = lim ln b = •. x bÆ• 1 bÆ• bÆ• b dx
b
konvergen jika r < −1 dan divergen jika r ≥ −1, r Œ\ .
BTt & ITw
033
Aplikasi Integral Tak-wajar untuk Fungsi Padat Peluang Percobaan acak Suatu hasil percobaan dikatakan acak jika bervariasi untuk beberapa percobaan tetapi untuk jangka panjang setelah sejumlah besar pengulangan hasilnya mempunyai distribusi yang teratur. Peluang Perbandingan munculnya kejadian dalam rangkaian percobaan jangka panjang dinamakan peluang. Himpunan hasil percobaan yang mungkin untuk kejadian A ditulis P(A). Peluang dari kejadian A memenuhi sifat berikut. 1. Untuk setiap kejadian A berlaku 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. Himpunan S dari semua hasil percobaan yang mungkin dinamakan ruang sampel, dan untuk S berlaku P(S) = 1. 3. Jika kejadian A dan B saling terasing (tanpa hasil percobaan sama), maka P(A atau B) = P(A) + P(B). Akibatnya, jika AC adalah himpunan semua hasil percobaan di ruang sampel S yang bukan kejadian A, maka P(AC ) = 1 − P(A). Peubah acak Suatu aturan yang mengaitkan nilai numerik dengan hasil percobaan dinamakan peubah acak. Sebagai ilustrasi, pelantunan sebuah koin menghasilkan munculnya muka (M) atau belakang (B). Jika sebuah koin dilantunkan tiga kali, ruang sampelnya adalah himpunan {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB}. Peubah acak X dapat didefinisikan sebagai banyaknya muka dalam tiga kali pelantunan koin ini. Distribusi peluang dari X adalah daftar semua nilai yang mungkin dari X beserta peluang yang terkait.
x
0
1
2
3
P(X = x)
1 8
3 8
3 8
1 8
Peubah acak X dikatakan diskrit jika himpunan nilai yang mungkin dari X adalah {x1, x2, ⋅⋅⋅} dan dikatakan kontinu jika nilai X terletak pada suatu selang dari bilangan real. PDF, fungsi padat peluang (probability density function) PDF y = f (x) dari peubah acak kontinu X didefinisikan 0 di luar himpunan hasil perco-
baan yang mungkin dan bersifat (1) f (x) ≥ 0, (2)
•
Ú-• f (x) dx = 1.
BTt & ITw
034 y
¾ Rata-rata dan variansi dari suatu peubah acak di-
definisikan sebagai m = E (X ) = Ú
PDF dari X y = f (x)
-•
•
0
c
d
f (x) ≥ 0 dan Ú
•
x f (x) dx dan
s 2 = V (X ) = Ú ( x - m )2 f (x) dx . -•
x
f (x) dx = 1
-•
•
¾ Kaitan antara rata-rata dan variansi adalah
s 2 = E (X 2) - m 2 .
d
P (c £ x £ d) = Ú f (x) dx c
Ïl e - l x, x ≥ 0 PDF dari masa pakai sebuah komponen listrik adalah f (x) = Ì , x 0 , 0 < Ó λ konstanta. (1) Tunjukkan f memenuhi syarat PDF, (2) Tentukan rata-rata dan variansinya, (3) Tentukan fungsi distribusi kumulatif F(x) = P(X ≤ x), (4) Jika λ = 0,01 dan t dalam jam, hitunglah P(X > 20).
(1) Fungsi f memenuhi syarat PDF karena f (x) ≥ 0 dan •
•
0
Ú-• f (x) dx =Ú-• 0 dx +Ú0
le
-l x
bƕ 0
(2) Rata-rata dari peubah acaknya adalah
m = E (X ) = Ú
•
-•
x f (x) dx = Ú
0
-•
(
= lim - xe - l x - l1 e - l x bƕ
Ú
dx = lim
b
)
b 0
le
-l x
(
dx = lim -e bƕ
•
0 dx + Ú l xe - l x dx = lim
)
-l x b
b
Ú l xe bÆ• 0
0
(
0
= 1.
-l x
dx
)
= lim -be - l b - l1 e - l b + l1 = l1 . bƕ
Variansi dari peubah acaknya adalah •
s = E (X ) - m = Ú 2
2
= lim
Ú
2
b
bƕ 0
()
1 2
x f (x) dx - l -• 2
l x 2e - l x dx -
1
l2
=
1
l2
=Ú
•
0
-•
0 dx + Ú l x 2 e - l x dx 0
x
-•
f (t) dt = Ú
0
-•
•
(
x
0 dt + Ú l e -l t dt = - e -l t 0
(4) Untuk λ = 0,01, P(X > 20) = Ú 0,01e -0,01t dt = lim 20
l2
(kerjakan perhitungan teknisnya!)
(3) Fungsi distribusi kumulatifnya adalah F(x) = P(X £ x) = Ú
1
b
Ú 0,01e b Æ • 20
) =1 - e x
0
-0,01t
-l x
.
dt ª 0,82 .
Tafsirannya: peluang masa pakai komponen di atas 20 jam adalah 0,82.
SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A
35
Pokok Bahasan: Bentuk Tak-tentu dan Integral Tak-wajar Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda. No.
Pernyataan
Jawab
xn x = 0. xƕ e
B−S
1.
Untuk sebarang bilangan asli n berlaku lim
2.
Jika lim f (x) = • dan lim g (x) = - •, maka lim g (x) = -1 . xÆ• xÆ• xÆ•
B−S
3.
Jika lim g (x) = 3 , maka lim ( f (x) - 3 g (x) ) = 0. xƕ xƕ
B−S
4.
Jika lim ln f (x) = 2, maka lim f (x) = e2.
B−S
5.
Jika f dan g terdiferensialkan dan lim g ¢(x) = L , maka lim g (x) = L . xÆ0 ¢ xÆ0
6.
Jika f adalah fungsi genap dan
7.
Jika lim
8.
Jika f ¢ kontinu pada [0,∞) dan lim f (x) = 0, maka
9.
Jika 0 £ f (x) £ e - x " x Œ[0, •) , maka
10.
Jika f kontinu pada (a,b) dan lim+ f (x) = • = lim- f (x) , maka
f (x)
f (x)
xƕ
xƕ
f (x)
b
Ú f (x) dx b Æ • -b
•
Ú0
f (x)
f (x) dx konvergen, maka
ada dan hingga, maka
•
•
Ú-• f (x) dx konvergen.
•
Ú-• f (x) dx konvergen.
xƕ
Ú0
B−S
•
Ú0
B−S
f ¢(x) dx konvergen.
B−S B−S
f (x) dx konvergen.
x Æa
x Æb
b
Úa
B−S
f (x) dx divergen.
Hitunglah setiap limit berikut. tan x - x
x3
11. lim x - sin x xÆ0
12. lim sin 2 x - 2 x xÆ0
tan -1x - x x3 xÆ0
14. lim
(
13. lim x ln | x | xÆ0
x + 2 - 2 1+ x x2 xÆ0
cosh x - 1 x2 xÆ0
16. lim
x (1 - cos x ) x Æ 0 x - sin x
19. lim 1 + cos 2 x x Æ p /2
2 x - 3x x xÆ0
15. lim
)
18. lim
ln (sin x) 2 ( x Æ p /2 p - 2 x )
21. lim
22. lim
24. lim (ln 2 x - ln (x + 1) )
25. lim+ x - 1 - ln x x Æ1
26. lim+ x1/(1- x )
27. lim (ln x)1/ x
28. lim (1 + 2 x)1/(2 ln x )
29. lim (x + e x / 3)3 / x
30. lim x Ú 1 + sin t dt 0 xÆ0
1
17. lim csc x - x xÆ0 20. lim
(
1 1 - 2 2 x sec x xÆ0 x
23. lim
x Æ1
xÆ0
)
xƕ
xƕ
1 x
B−S
1 - sin x
ln (2 + e x) 3x xƕ
(
1
1
)
xƕ
1 x
31. lim x Ú 1 + e - t dt 1 xÆ•
36
Selidiki kekonvergenan setiap integral tak-wajar berikut. •
32. Ú xe - x dx 2
35. Ú x ln x dx e 38. Ú
-2
41. Ú
1
44. Ú
ln 3
1
2
• ln x
39. Ú
•
x2
34. Ú
37. Ú
•
1 dx 0 (1 + x ) x
x x2 + 1
1
1
40. Ú
dx
•
-•
e -| x| dx
43. Ú
p/2
x dx -2 4 - x 2
46. Ú
2
4c
49. Ú
p/2
42. Ú
2
45. Ú
2
48. Ú
0
sin x dx 1 - cos x
1 dx -2 4 - x 2
1 dx, c > 0 2 x - 4c 2
2c
dx
1 dx -• (2 x - 3)3
dx
1 dx 1 x x2 - 1
ex dx ex - 1
•
7
-• x2 + 2 x + 10
1 dx 0 1 - x2
47. Ú
36. Ú
1 dx x2 - x
2
dx -• x2 - 1
0
•
2
1
•
33. Ú
tan x
p /3 (ln cos x )2
dx
Soal Aneka Ragam 50.Hitunglah luas daerah di bawah kurva y = 2 /(4 x 2 - 1) dan di sebelah kanan garis x = 1. •
c
Ú-• f (x) dx = clim Ú f (x) dx tidak benar. Æ • -c
51.Jelaskan mengapa pernyataan
52.Jika f kontinu, f (x) ≥ 0 pada [0,∞), Ú
•
0
f (x) dx < •, dan lim f (x) ada, buktikan lim f (x) = 0. xÆ•
xƕ
-2/3
53.Daerah D terletak di kuadran pertama, di bawah kurva y = x , dan di sebelah kiri garis x = 1. Tunjukkan luas daerah D hingga tetapi jika D diputar terhadap sumbu x volumnya tak hingga. 54.Tentukan semua nilai p sehingga integral tak wajar 55.Uji banding: untuk 0 £ f (x) £ g (x) pada [a,•) ,
dan
•
Ú0
f (x) dx divergen ⇒
•
Ú0
•
Ú0
1
Ú0 x p dx (a) konvergen dan (b) divergen. 1
•
Ú0
g (x) dx konvergen ⇒
f (x) dx konvergen
g (x) dx divergen. Dengan menggunakan uji ini tunjukkan semua
integral tak wajar berikut konvergen. (a)
•
Ú1
1 x4 (1 + x4 )
dx (b)
• - x2
Ú1
e
dx (c)
•
Ú1
1 dx . x2 ln ( x +1)
Kunci Jawaban 1
1
1. B 2. S 3. S 4. B 5. S 6. B 7. S 8. B 9. B 10. S 11. 6 12. - 4 13. 0 14. - 3 17. 0 18. 3 19.
1 4
1
20. - 8
1
30. 1 31. 1 32. 2e 40. 1 41. 2 p 1
50.
1 ln 3 2
2
21. ln 3
22.
1 3
23.
1 2
1
33. ln 2 34. divergen 35. divergen 36.
42. 3 p 1
1
24. ln 2 25. - 2 26. e 1 (ln 2 + 1) 2
1 2
15.
27. 1 28.
e
1 4
16.
4
29. e
37. - 4 38. ln 3 39. 3 p 1
43. divergen 44. 2 2 45. 0 46. divergen 47. π 48. ln (2 + 3 ) 49.
1
-1 ln 2
51. Contoh penyangkal: f (x) = x , f (x) = sin x 53. luas D = 3 (hingga) 54. (a) p ≤ 1, (b) p > 1
55. Tunjukkan pada [1,∞) berlaku (a)
1 x4 (1 + x4 )
£
1 x4
, (b) e - x £ e - x , (c) 2
1 1 £ x2 ln ( x +1) x2
