x 2 16 x 55 ? x5 4 x 2 16 x 20 x 2 x 12 4.2. lim ? x3 3 x 2 4 x 15 16 x 2 x 4 4.3. lim ? x4 4 x 3 16 x 2 x 3 5x 2 6 x 4.4. lim ? x 2 x 4 16 4.1.
x 2 7 x 12 ? x1 4 x 2 16 x 12 x2 1 4.6. lim 2 ? x5 x 25 x2 5 4.7. lim ? x4 x 4 2
lim
4.5.
lim
4.8.
lim x1
x4 1 ? x3 1
FOLYTONOSSÁG
DEFINÍCIÓ. Az
f (x) függvény folytonos az a helyen, ha értelmezve van az a helyen, létezik és véges a határértéke az a helyen és lim f ( x) f (a) xa
DEFINÍCIÓ. Az
f (x) függvény folytonossá tehető az a helyen, ha értelmezve van az a helyen a helyen.
és létezik véges a határértéke az
1 helyen? 4 1 , ha x R 0; 4
4.9. Folytonos-e a következő függvény az
4x 2 9x 2 4x 2 x f ( x) 7 ,
ha
x
x
1 4
4.10. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=3 helyen?
x 2 6x 9 , ha x R 2;3 f ( x) x 2 x 6 A , ha x 3 4.11. Folytonossá tehető-e az alábbi függvény az x=2 és x=5 helyen?
f ( x)
x 3 3x 2 2 x x 2 7 x 10 2 helyen? 3 2 , ha x R 1; 3
4.12. Folytonos-e a következő függvény az
3x 2 2 x 2 3x x 2 f ( x) 2 ,
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
ha
x
x
2 3
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
1
4.13. Folytonos-e a következő függvény az x=1 és x=6 helyen?
x 2 3x 18 , ha x R 1; 6 2 x 12 f ( x) 5 , ha x 1 9 , ha x 6 2
4.14. Folytonos-e a következő függvény az x=3 és x=4 helyen?
3x 2 x 24 , ha x R 3; 4 2 x 7 x 12 f ( x) 7 , ha x 3 5 , ha x 4 4 4.15. Folytonos-e az alábbi függvény az x=2 helyen? 2 x 1 f ( x) 2 3x
, ha x 2 , ha x 2
4.16. Folytonos-e az alábbi függvény az x=3 helyen?
x2 f ( x) 2 3 x
, ha x 3 ,
ha x 3
4.17. Megadható-e úgy A és B szám értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=2 és x=5 helyen?
3x 2 8 x 4 2 x 7 x 10 f ( x) A B
, ha x R 2; 5 , ha x 2 , ha x 5
4.18. Megadható-e úgy A és B paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=-2 és x=3 helyen?
x 2 x 12 2 x x6 f ( x) A B
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
, ha x R 2; 3 , ha x 2 , ha x 3
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
2
4.19. Megadható-e A és B úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=0 és x=4 helyen?
4x3 x 4 , ha x R 0; 4 3 2 x 3 x 4 x f ( x) A , ha x 0 B , ha x 4 4.20. Megadható-e úgy A és B paraméterek értéke, hogy az alábbi függvény ne legyen folytonos az x=3 és x=4 helyen?
16 x 2 x 4 2 x 7 x 12 f ( x) A B
, ha x R 3; 4 , ha x 3 , ha x 4
4.21. Megadható-e úgy A és B paraméterek értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=-3 és x=4 helyen?
4 x 2 36 , ha x R 3; 4 2 Ax Ax 12 A f ( x) 10 , ha x 3 B , ha x 4 4.22. Megadható-e úgy A és B paraméterek értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=-4 és x=5 helyen?
x 2 x 20 5 Ax 25 A B , ha x R 4; 5 f ( x) 10 , ha x 4 12 , ha x 5 4.23. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=1 helyen?
x2 x4 f ( x) x 3 1 A
, ha x R 1 , ha x 1
4.24. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény ne legyen folytonos az x=2 helyen?
x 4 16 f ( x) x 3 8 A
, ha x R 2 , ha x 2
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
3
4.25. Megadható-e úgy az A paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonossá tehető legyen az x=4 helyen?
3x 2 7 x 20 2 x 9 x 20 f ( x) 2 3 A 8x 2 x x 4 16 x 2
, ha x 4 , ha x 4
4.26. Megadható-e úgy az A paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonossá tehető legyen az x=3 helyen?
3x 2 x 30 2 x 10 x 21 f ( x) 2 3 A 9 x 3x x 4 3x 3
, ha x 3 , ha x 3
4.27. Megadható-e úgy az A paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonossá tehető legyen az x=2 helyen?
x 2 3x 10 , ha x 2 f ( x) x 2 7 x 10 A x x2 , ha x 2
4.28. Folytonos-e a következő függvény az x=3 és x=4 helyen?
x 34 x 43 , ha x R 3; 4 2 2 6 x 16 x 3 f ( x) 12 , ha x 3 1 , ha x 4 4
4.29. Folytonossá tehető-e a következő függvény az x=-4 és x=5 helyen?
x 2 x 20 x 52 x 43 x 44 x 2 25 4 f ( x) A , ha x 4 B , ha x 5
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
, ha x R 4; 5
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
4
sin 5 x sin 4 x ? x0 4 x 2 16 sin 3 x 4 x 2 sin 2 x 4.31. lim ? x0 4 sin 9 x 2 5 x sin x 4.30.
cos x cos 2 x ? x0 tg 2 x tgx sin x 4.37. lim ? x0 2 sin x sin 3 x sin 2 x x 2 1 cos x 4.38. lim ? x0 5 x 2 sin 2 4 x tg 2 x sin 2 x 4.39. lim ? x0 x3
lim
x 2 16 x sin x ? x0 1 cos x sin 2 x x tg 3x 4.33. lim ? x0 4 sin x x sin 3 x x 2 tgx tg 2 x 4.34. lim ? x0 x sin 4 x tgx sin x 4.35. lim ? x0 x3 4.32.
lim
ha
x0
ha
x0
lim
4.40.
lim 1 tg 2 x x
4.41. Folytonos-e az alábbi függvény az
sin x sin 2 x f ( x) x 2 sin 3x 5
4.36.
ha
x0
ha
x0
ha ha
ha
x0
ha
x0
ha
x0
4.45. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
1 f ( x) 1 e x A
x0 0 helyen?
x0 0 helyen?
x0 x0
4.44. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
x sin x tgx f ( x) A 2 x x x 2 3x
?
x0 0 helyen?
4.43. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
x1 f ( x) e A
ctg 2 x
2
4.42. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
tgx sin 2 x f ( x) x sin x A
ha
x0
ha
x0
4.46. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
x0 0 helyen?
x0 0 helyen?
x0 0 helyen?
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
5
1 1 f ( x) 1 e x A
ha
x0
ha
x0
4.47. Milyen A és B szám esetén folytonos az alábbi függvény a teljes számegyenesen?
x 2 1 ha x 1 3 x 3 f ( x) Ax B ha 1 x 0 x sin 2 x1 ha 0 x x sin x 4.48. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
x sin x x 3 tg 4 x 2 f ( x) A 2 2 x sin 3x sin 2 2 x 3x 2
2
ha
x0
ha
x0
ha
x0
4.49. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
sin x 4 x 2 16 tg x 2 16 f ( x) 12 A 16 x 2 4 x 3 24 x 4 64
4.50. 4.51. 4.52. 4.53. 4.54. 4.55.
e x 1 lim ? x0 x sin x x2 x lim ? x1 ln x x 1 3 x 7 2x lim ? x 1 x 3 2x 2 ln x 2 lim ? x 0 ln e x 1 x arctgx lim ? x0 x sin x sin 3 x lim e x ln x 3 x ?
x
ha
x4
ha
x4
ha
x4
x0 0 helyen?
x0 4 helyen?
e x ln x 4.56. lim x ? x e x 1 1 ? 4.57. lim x0 x ln x 1 1 1 lim x ? x0 sin x e 1 1 1 4.59. lim ? x0 sin x x cos x 1 4.58.
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE
6
