LIMIT FUNGSI. lim lim. , c = konstanta 6. lim f(x) Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu

LIMIT FUNGSI

1 Teorema 1. 2. 3.

lim f(x)  g(x)  lim f(x)  lim g(x)

x a

x a

4.

x a

lim f(x)  g(x)  lim f(x)  lim g(x)

x a

x a

lim c .f(x)  c. lim f(x) ,

x a

x a

5.

x a

c = konstanta 6.

lim f(x).g(x)  lim f(x). lim g(x)

x a

lim 

x a

f(x) 

 g(x)  x a



lim f(x) x a lim g(x) x a

x a

dengan

n lim f(x)   lim f(x) x a x  a 

lim g(x)  0

x a

n

2 Bentuk Tak Tentu Bentuk di dalam matematika ada 3 macam, yaitu : 1. Bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : 63 , 40 . 2. Bentuk tak terdefinisi : yaitu bentuk yang tidak mempunyai nilai, misalnya : 50 3. Bentuk tak tentu : yaitu bentuk yang nilainya sembarang, misalnya :  0  0 ,  ,    ,1 Penting : Persoalan limit adalah mengubah bentuk tak tentuk menjadi bentuk tertentu.

3 Limit Fungsi Aljabar Jika diketahui fungsi f(x) dan nilai f(a) terdefinisi, maka lim f (x )  f (a ) x a

Contoh : 1. lim(x  2x )  (3  2(3))  9  6  15 2

2

x 3

2. lim 5xx 7x  2

x 0

02  0 5( 0 )  7

 70  0

Berikut ini akan dibahas limit Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu yaitu :  0  . 0 ,  ,    dan 1





3.1 Bentuk  00  Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian “mencoret” faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = a. f(x) (x  a)P(x) lim g ( x ) ( x a x a x  a)Q(x)

lim

Era Febriana, S.Pd

P(x) Q x a (x)

 lim

Page 1 of 7



P(a) Q(a)

MAN Model Pangkalpinang

Catatan : 1. Karena xa, maka (xa)  0 sehingga pembilang dan penyebut boleh dibagi dengan (x  a) 2. Nilai limitnya ada dengan syarat : Q(a)  0 3. Jika pembilang atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya. Contoh : 2 1. lim x x25x9 6  lim ((xx33)()(xx23))  lim xx23  33 23  16 x 3

x 3

2. lim



3. lim

x 2  3  5x 1 x2 x

x 3  x 2  5x 3 x 4x2  2x x 0

x 1

x 3

x ( x 2  x  5)

 lim

(11)

1 4 4 4







x 2  3  5x 1 x 2  3  5x 1

3 8



5 2

  lim

( x 2  3)  ( 5x 1)



x 1 ( x 2 1)  x 2  3  5x 1

( x 1)( x  4 ) x 1 ( x 1)( x 1)  x 2  3  5x 1



3 2 ( 2 2 )

x 0

 lim

2



0 2  0 5 02  4 ( 0 )  2

2

x 2  3  5x 1 x 2 1

x 1

x 2  5x  4  x 1 ( x 1) x 2  3  5x 1

lim

 lim xx2 4xx52 

x (x2 4x 2)

(x4) x1 ( x 1)  x 2  3  5x 1

 lim



  83

3.2 Limit Bentuk    Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemuadian digunakan rumus : lim ax  0 . x 

Contoh : 6x3  2x2  5x

1. lim

x   12x3

2. 3.

lim

x

lim

x

 7x2  8x

x   12x3 x3

6x3  7x2  3x 2x4  x3  4x2 5x4  3x2  2

lim

 lim



6x3 x4

5x 4 x4

x   2x3 x4

2x2 x3



x   2x 4 x4

 lim

2x3  4x2  7

6x3 x3

7x2 x3





8x x3

7x2 x4

 

3x2 x4



4x2 x4



5x x3

x3 x4









3x

x4 4x2 x4

x   12



6 x



7 x4

5 x2 7  8 x x2

2 x





7  3 x2 x3 x 2  1  4 x x2

 lim

2

x4

6

 lim

 lim

5

x 2 x



3 x2 4 x2

 



2

x4 7 x4

600 6 1   12  0  0 12 2



000 0  0 200 2

500 5   000 0

Kesimpulan: Jika f ( x )  a0 x n  a1x n 1  .....  an g ( x )  b0 x m  b1x m1  .....  bm maka: 1. lim x 

f (x) g(x)



a0 b0

untuk n = m

2. lim

f (x) g(x)

 0 untuk n < m

3. lim

f (x) g(x)

  atau - untuk n > m

x  x 

4. lim 62xx5 2xx 378xx 2  26  5

4

3

x 

5. lim xx 12 212xx 53xx 2  0 10

x 

Era Febriana, S.Pd

8

7

1 3

(kesimpulan (1)) (kesimpulan (2))

Page 2 of 7

MAN Model Pangkalpinang

6. lim 23xx6 76xx4 x23   7

4

(kesimpulan (3))

x 

3.3 Limit Bentuk    Limit ini umumnya memuat bentuk akar: lim

x 

f(x)  g(x)

Cara Penyelesaian : 1. Kalikan dengan bentuk sekawannya !  f(x)  g(x)  

lim

x 

f(x)  g(x) f(x)  g(x)

   lim  x 

f(x)  g(x) f(x)  g(x)

2. Bentuknya berubah menjadi    3. Selesaikan seperti pada (2.4.2) Contoh: 1. lim x2  6x  2  x 

x 2  4x  1 

 x2  6x  2  x2  4x  1  

lim

x 

(x2 6x 2)(x2  4x 1)

lim

x2 6x 2  x2  4x 1

x 

 lim

x 

x2  6x  2  x2  4x  1 x2  6x  2  x2  4x  1

10x 1 x2 6x 2  x2  4x 1



   

pangkat tertinggi pembilang 1, pangkat tertinggi penyebut 1, sebab

10x 1 2x2 x  x2 4x 1

 lim

x 

2.



10 1 1



10 2

5

 lim 2x2  x  x2  3x  lim 2x2  x  x2  3x2   x  

x 

(2x2 x)(x2 3x)

lim

 lim

2x2 x  x2 3x

x 

x 

x2  x

x2 4x 2x2 x  x2 3x



2x2  x  x2 3x 2x2  x  x2 3x

   

pangkat tertinggi pembilang 2, pangkat tertinggi penyebut 1.

Secara umum: ax2  bx  c  px 2  qx  r 

lim

x 

1)

3. 4. 5.

b q

jika

a=p

2)  jika 3) - jika

a>p a
2 a

3  (5)

lim

4x2  3x  1  4x2  5x  2 

lim

4x 2  7x  1  3x 2  x  8  

lim

4x 2  2x  3  5x 2  4x  7  

x  x  x 

2 4



2 4



1 2

 

3.4 Limit Bentuk 1

Era Febriana, S.Pd

Page 3 of 7

MAN Model Pangkalpinang



lim 1 

Definisi :

n



1 n n

 e  2,718281.....

n bilangan asli

Dari definisi dapat dibuktikan teorema berikut : 1. lim 1  1x x  lim 1  1x x  lim 1  1x x  e x 

2.

x 

lim 1  x

x 0

1 x

x 

1 x

 lim 1  x x 0

Contoh : 1. lim 1  x 

2. 3.



lim 1 

x 





 

 lim 1 

4 x x

x 



  lim  1  x  

1 x 2x

x bilangan real

e

1 x x 4

 

    

4

4    lim  1  1x   lim 1  1x x x  4 4  

1 1 2x  2  2x



1 1   lim 1  3xx  lim 1  3x 3x  x 0 x 0 



   lim 1  x  3

x



1 1 2  2x



x 4

4

4

1

 e2

1     lim 1  3x 3x  x  0  

3

 e3

4 Limit Fungsi Trigonometri Teorema : 1. lim sinx x  lim sinx x  1 x 0

x 0

2. lim tanx x  lim tanx x  1 x 0

x 0

Untuk keperluan praktis teorema tersebut dapat dikembangkan menjadi: lim

x0

sin ax bx

ax x0 sinbx

 lim

 lim

x0

tan ax bx

ax x0 tanbx

 lim

tan ax x0 tanbx

 lim

sin ax x0 tanbx

 lim

tan ax x0 sinbx

 lim



a b

Seperti pada fungsi aljabar, maka pada fungsi trigonometri juga berlaku bahwa jika f(a) terdefinisi, maka: lim f (x )  f (a ) x a

Contoh : 1. lim sin 2x  cos x  sin 0  cos 0  0  1  1 x 0

2.

lim

x 1  2

sin x cos x 2 sin x 3 cos x



sin1  cos 1  2 2 2 sin1  3 cos 1  2 2



10 20



1 2

Berikut ini akan dibahas limit Fungsi Trigonometri bentuk tak tentu yaitu :  00 ,   ,0.  . 4.1 Limit Bentuk

 00 

1.

lim sin3x x 0 tan 4x

2.

1cos 2x x0 3x. sin x

3.

sin x sin a lim x a xa x a

lim

lim



3 4 1(12 sin2 x) 3x. sin x x 0

 lim

2 sin2 x x 0 3x sin x

 lim

2 cos 1 (x a).sin1 (x a) 2 2 x a

2 sin sin x . sin x x0 3x

 lim

 lim 2 cos 12 (x  a). xa





2 .(1) 3



2 3

sin1 (x a) 2 (x a)

 2 cos 1 (a  a). 1  cos a 2 2

Era Febriana, S.Pd

Page 4 of 7

MAN Model Pangkalpinang

4.2 Limit Bentuk    Limit bentuk    dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk Contoh : sin x ) cos x

1 lim (sec x  tan x)  lim ( cos  x

x  2

x  2

2 cos 1 (   x) sin1 (  x) 2 2 2 2 sin(   x) x  2 2

 lim 2 cos 21

 lim

 2 cos 1 2

1sin x cos x x  2

 lim

x  2



 2



 x.

2  2 .[12]  cos 12   0

sin  . sin x 2  x   sin(2 x ) 2

 lim

sin1 (  x) 2 2 sin(  x) 2

4.3 Limit Bentuk  0. Limit bentuk  0. dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk Contoh : (1)(sin1  2 x 1 cos 1 x 2

lim (x  1).tan 12 x  lim

x 1

   1  sin  1 2 



1 2



 

1 1 2



 00  .

 00  .

 (x 1)   sin 1 x   lim  1 2 x 1 sin (1  x)   2 

(x  1) sin 1 x 2 x 1 sin(1   1 x) 2 2



 lim



2 

5 Limit Deret Konvergen Definisi : Deret Geometri Konvergen adalah deret geometri dengan rasio (pembanding) : 1 < r < 1. Teorema :

S

a 1r

S : jumlah tak hingga suku deret geometri konvergen a : U1 : suku pertama U r : rasio, yaitu r  U21 Contoh : 1. Hitung jumlah tak hingga deret geometri berikut : a) 2  1  21  41  ..... b) 3  1  13  91  ..... Jawab : a) S  1ar  12 1  21  4 b) S  1ar  1 (3 1 )  34  2

2

3

3

9 4

2. Hitung limit berikut : a)

 n 

lim 1 

1 4



Jawab : b)

1 16

...

1 4n



b)



n

 2.3 i n  lim

i 1

lim 1  41  161  ... 

a)

n n

1 4n



2 2  a   9 .... 2n   1  r  2.3 i  lim n  i 1  3 3  lim

i 1



a 1 r 2 3 1 2 3

 11 1  4



2 3 1 3

4 3

2

3. Ubahlah menjadi pecahan biasa ! a) 0,6666 ..... b) 0,242424 .....

Era Febriana, S.Pd

Page 5 of 7

MAN Model Pangkalpinang

Jawab :

a) 0,6666 ..... = 0,6 + 0,06 + 0,006 + .....



b) 0,242424 ..... = 0,24 + 0,0024 + 0,000024 +

a 1r a 1r



0,6 10,1





0,24 10,01

0,6 0,9





6 9

0,24 0,99





2 3

24 99



8 33

4. Jumlah semua suku deret geometri tak hingga adalah 12, jumlah suku-suku bernomor genap adalah 4. Tentukan rasio dan suku pertama deret itu ! Jawab : S  12  1ar  12 ...... (1) U2 + U4 + U6 + ... = 4 ar + ar3 + ar5 + ... = 4 ar  4   1ar  1r r   4 ...... (2) 1 r 2

 

Dari (1) dan (2) : 12 1r r  4  8r  4 

Persamaan (1) : Rasio =

1 2

a 1 r

12r  1r r  12

4  12r  4  4r

 12  1a 1  12  a  6 2

dan suku pertama = 6

5. Diketahui sebuah bujursangkar dengan sisi 10 cm. Titik tengah keempat sisinya dihubungkan sehingga terbentuk bujursangkar kedua. Titik tengah keempat sisibujursangkar kedua dihubungkan lagi sehingga terbentuk bujursangkar ketiga, demikian seterusnya. Hitunglah jumlah luas semua bujursangkar itu ! Jawab : D

R

C

S

Q

A

5

Jumlah semua bujursangkar =

52

52 P

5

Luas bujursangkar I = AB x AD = 10 x 10 = 100 cm2. Luas bujursangkar II = PQ x PS = 52 x 52 = 50 cm2. 50 Rasio luas = 100  21 a 15



150 1 21

 200 cm2

B

6 Kontinuitas dan Diskontinuitas Fungsi Definisi : Fungsi f(x) dikatakan kontinu (sinambung) di x = a jika dan hanya jika lim f (x )  f (a ) . xa

Dari definisi terlihat ada tiga syarat fungsi f(x) kontinu di x = a, yaitu : 1. f(a) terdefinisi (ada) 2. lim f (x ) terdefinisi ada xa

3. lim f (x )  f (a ) xa

Apabila satu di antara ketiga syarat itu tidak dipenuhi, maka fungsi f(x) diskontinu (tak sinambung) di x =a.

Era Febriana, S.Pd

Page 6 of 7

MAN Model Pangkalpinang

Perhatikan gambar berikut : y

1.

f(x) kontinu di x = a, sebab

f(a)

x

y

f(x) diskontinu di x = a, sebab

f(x) f(a)

tidak ada

lim f (x ) xa

x

a

y

3.

x a

f(x)

a

2.

lim f ( x)  f (a)

f(x) diskontinu di x = a, sebab

lim f (x ) xa

 f(a)

f(x)

f(a)

x

a

Contoh : 1. Tunjukkan bahwa fungsi f ( x)  x 2  x  3 kontinu di x = 1 Jawab : 1) f (1)  12  1  3  1  f(1) terdefinisi 2) lim f(x)  lim x2  x  3  12  1  3  1  lim f (x ) terdefinisi x 1

x 1

x 1

3) lim f (x )  f (1) Jadi fungsi f (x )  x2  x  3 kontinu di x =1. x 1

2. Selidiki apakah fungsi f (x )  Jawab :

x2  9 x3

kontinu di x = 3

1) f (3)  3339  00 (tidak terdefinisi) Karena f(3) tak terdefinisi, maka f(x) diskontinu di x = 3 2

3. Selidiki apakah fungsi 2  xx 24 , untuk x  2 f ( x)   kontinu di x = 2  4, untuk x  2 Jawab : 1) f(1) = 4 (terdefinisi) 3 (x  1)(x2  x  1) f(x)  lim xx 11  lim  lim x2  x  1  12  1  1  3 2) xlim x 1 1 x 1 x 1 x 1 (terdefinisi) 3) lim f ( x)  f (1) , berarti f(x) diskontinu di x = 1 x 1

Era Febriana, S.Pd

Page 7 of 7

MAN Model Pangkalpinang