TURUNAN RANGKUMAN MATERI Turunan fungsi f(x) terhadap x didefinisikan sebagai berikut
f '( x) lim h 0
f ( x h) f ( x ) h
y
f (x+h) f (x)
x x
x+h
Secara geometri turunan fungsi di x = x1 merupakan gradien/kemiringan kurva fungsi tersebut di x = x1.
Teorema1: Turunan konstanta Jika c adalah sebuah konstanta, maka berlaku
d c 0. dx
Pembuktian:
f '( x) lim h 0
f ( x h) f ( x ) cc lim 0 h 0 h h
1
Teorema 2: Pangkat
d n x nx n 1 Jika n adalah bilangan bulat positif, maka berlaku dx . Pembuktian: Perhatikan bahwa: a n bn (a b) a n1 a n2b ... abn2 bn1
Dari sini akan kita peroleh:
d n ( x h) n x n x lim h 0 dx h h ( x h) n 1 x( x h) n 2 ... ( x h) x n 2 x n 1 lim h 0 h n 1 n2 ( x 0) x( x 0) ... ( x 0) x n 2 x n 1 nx n 1
Teorema 3 Konstanta Jika u adalah fungsi yang dapat diturunkan dan c adalah sebuah konstanta, maka
d cu ( x) cu '( x) dx
Pembuktian:
d f ( x h) f ( x ) cu ( x) lim h 0 dx h cu ( x h) cu ( x) lim h 0 h u ( x h) u ( x ) lim c h 0 h u ( x h) u ( x ) lim c lim h 0 h 0 h cu '( x)
2
Teorema 4: Penjumlahan Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat diturunkan, maka penjumlahannya dapat di turunkan di setiap x dimana u dan v dapat diturunkan di titik tersebut.
d (u ( x) v( x)) u '( x) v '( x) dx
Pembuktian:
d u ( x h) v ( x h) u ( x ) v ( x ) (u ( x) v( x)) lim h 0 dx h u ( x h) u ( x ) v ( x h ) v ( x ) h 0 h
lim
u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) lim h 0 h 0 h h
lim
u '( x) v '( x)
Teorema 5: Perkalian Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi yang mempunyai turunan di titik x, maka turunan uv
d u ( x)v( x) u '( x)v( x) u ( x)v '( x) dx Pembuktian:
d u ( x h) v ( x h) u ( x ) v ( x ) (u ( x) v( x)) lim h 0 dx h u v( x) v u ( x) lim h 0 h u ( x h) u ( x ) v ( x ) v ( x h) v ( x ) u ( x ) lim h 0 h u ( x h) u ( x) v( x) lim v( x h) v( x) u ( x) lim h 0 h 0 h h u '( x)v( x) u ( x)v '( x) 3
v
v(x)
u(x)
u
Teorema 6: Pembagian Jika u(x) dan v(x) adalah fungsi yang mempunyai turunan di titik x, maka turunan u/v di titik x
d u ( x) u '( x)v( x) u ( x)v '( x) dx v( x) v 2 ( x) Pembuktian:
4
u ( x h) u ( x ) v ( x h) v ( x ) d u ( x) lim dx v( x) h0 h u ( x h)v( x) v( x h)u ( x) v ( x h )v ( x h ) lim h 0 h u ( x h)v( x) v( x h)u ( x) lim h 0 hv( x h)v( x) u ( x h)v( x) u ( x)v( x) u ( x) v( x) v( x h)u ( x) lim h 0 hv( x h)v( x) lim
u ( x h )v u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) v ( x h )
h 0
hv( x h)v( x)
u ( x h)v u ( x) v( x) lim u ( x) v( x) v( x h) 1 lim h 0 v ( x h )v ( x ) h 0 h 0 h h u '( x)v( x) u ( x)v '( x) v 2 ( x) lim
Teorema 7: Pangkat Bilangan Negatif Jika n adalah bilangan bulat negatif dan x 0, maka
d n x nx n 1 dx
Bukti: Misal n = - m, diamana m adalah bilangan integer positif. Dari sini akan kita peroleh:
d n x dx
xm
d d (1) (1) x m 0 mx m1 dx dx mx m1 nx n 1 2m 2m x x
Turunan Fungsi Komposisi Jika y adalah fungsi dari u, sedangkan u adalah fungsi dari x, maka berlaku:
d dy du y x dx du dx 5
Pembuktian
d dy du y x dx dx du d dy du y x dx du dx
Turunan dengan orde yang lebih tinggi Turunan y '
dy y merupakan turunan pertama y terhadap x. dx
Apabila y ' differensiabel, turunan y ''
dy ' d dy d 2 y merupakan turunan kedua y dx dx dx dx 2
terhadap x. Apabila y '' differensiabel, turunan y '''
dy '' d d 2 y merupakan turunan ketiga y terhadap dx dx dx 2
x, begitu seterusnya. Secara singkat dapat dituliskan dengan sederhana:
yn
d n 1 y dx
6
Latihan 1. Tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x a. f ( x) 10 k. f ( x) 2 x 4 b. f ( x) 25 l. f ( x) 15 x 10 3 c. f ( x) 200 m. f ( x) 20 x 5 d. f ( x) 6 x e. f ( x) 15x f. f ( x) 20 x g. h. i. j.
f ( x) 3 x 2 f ( x) 1 5 x 5 f ( x) 2 6 x18 f ( x) 2 7 x35
n. o. p. q. r. s. t.
f ( x) 6 x 6 1
f ( x) x 2 5 x 7 f ( x) 0,5x 2 20 x 5 f ( x) 4 x 3 3x 2 5 x 3
f ( x) x( x 2) f ( x) 4 x(2 x 5) f ( x) 5x(4 3x)
2. Tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x a. f ( x) ( x 1)2 k. f ( x)
f. f ( x)
x 2 x 1 l. f ( x) x 4 x 2 m. f ( x) x 3 x 5 n. f ( x) 3 x 1 x o. f ( x) 2 x 6 x p. f ( x) 8 x 5 x
g.
q. f ( x) 1 x
b. f ( x) ( x 3)2 c. f ( x) ( x 5)2 d. f ( x) ( x 4)2 e. f ( x) ( x 2)2
h. i. j.
1 x 1 f ( x) 3 x 1 f ( x) 9 5 x x f ( x) 4 3 x 1 f ( x) x x
2
r. f ( x) 5 x
3
1
3
3
5
1 x 1
6
4 x 3
2
s. f ( x) x 4 3 x 12 6
3
t. f ( x) x 6 2 x 3 1 5
3. Dengan menggunakan konsep turunan komposisi, tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x 6 a. f ( x) ( x 1)4 k. f ( x) x 2 b. f ( x) ( x 3)7
l.
f ( x)
x 4
8
7
c. f ( x) ( x 2)4
m. f ( x) x 2 2
d. f ( x) ( x 4)8
n. f ( x) 2 x 2 4
e. f ( x) ( x 7)10
o. f ( x) x 2 4 x 5
f. f ( x) 2 x 3
p. f ( x) 3x 2 5 x 10
8
3
5
6
g. f ( x) (5x 1)3
q. f ( x) x3 2 x 2 3x 4
h. f ( x) (3x 4)8
r. f ( x) x 2 1
i. f ( x) (4 x 6)15
s. f ( x) x 2 4
j. f ( x) x 2 3
t. f ( x) 2 x 2 x 3
5
4.
6
Dengan menggunakan Teorema Perkalian, tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x 3 2 a. f ( x) (2 x)( x3 ) k. f ( x) x 2 x 1 b. f ( x) (3x 2 )(4 x 4 )
l. f ( x) x 4 3x 5
c. f ( x) (5x5 )(2 x7 )
m. f ( x) x 2 2 x 2 5
d. f ( x) ( x 4)( x 3)
n. f ( x) x 2 4 x 2 x3 3
e. f ( x) (2 x 7)( x 2)
o. f ( x) x 2 4 x 1 x 2
f. f ( x) 2 x 4 x 3
p. f ( x) 4 x 2 2 x 5 x 4
7
10
6
h. f ( x) (3x 4) (2 x 5) 2
i. f ( x) ( x 6)6 (5x 2) j. f ( x) x 2 3 x 6
2
8
4
5
3
4
g. f ( x) (2 x 1)2 ( x 3)
5.
6
2
q. f ( x) x 3 3x 5 2
r. f ( x) x 5 x 2 1 s. f ( x) x 2 4 x 1 6 x 3 t. f ( x) 5 x 3 x 2 2 x 10
Dengan menggunakan teorema pembagian, tentukanlah turunan fungsi f(x) berikut ini terhadap x
x3 2x 3x 2 f ( x ) b. 2 x 5 5 x5 c. f ( x) 7 2x x4 d. f ( x) x2 a. f ( x)
x2 5x 8 3x 4 6x 1 l. f ( x) 2 3x x 4 x2 4 x 2 m. f ( x) 2 x 3x 10 4 x2 7 x 3 n. f ( x) 2 2 x 5x 9 k. f ( x)
8
2x 6 x5 3x 6 f. f ( x) 3x 4 e. f ( x)
2 x2 7 x 4 x2 5x 5 3x 2 p. f ( x) x 1 o. f ( x)
g. f ( x)
3 5x 4 2x
q. f ( x)
h. f ( x)
10 4 x 3 7x
r. f ( x)
i. f ( x)
x2 x 4 x3
s. f ( x)
x2 4 x 7 2x 5
t. f ( x)
j. f ( x)
2x 8 5x 3
4
x4 3x 5 x2 3
x3 2 x x9
x
2
3x 6
2
5. Tentukanlah turunan pertama dan kedua fungsi f (x) berikut ini terhadap x 1 a. f ( x) x 2 4 x 8 k. f ( x) 3 x 2 1 b. f ( x) 3x 7 x 10 l. f ( x) 2 x 2 12 c. f ( x) x 2 x 8 m. f ( x) 4 x 3 2 10 d. f ( x) x 5x 4 x 7 n. f ( x) 5 6x 3 2 3 e. f ( x) 3x 4 x 6 x 8 o. f ( x) 8 x 3 2 2 f. f ( x) 2 x 6 x 3x 5 p. f ( x) x2 2 g. f ( x) 10 x5 5x3 2 x 6 q. f ( x) 2x 3 5 4 2 x 1 h. f ( x) 3x 7 x 8x 12 r. f ( x) 3x 5 5 2 2 5x i. f ( x) 5x 4 x 10 x s. f ( x) 4x 1
9
Turunan Fungsi Trigonometri
d sin x cos x dx d cos x sin x dx d tan x sec2 x dx d cot x csc2 x dx
Pembuktian turunan fungsi sin x
d sin( x h) sin x sin x cosh cos x sinh sin x sin x(cosh 1) cos x sinh sin x lim lim lim h 0 h 0 h 0 dx h h h (cosh 1) sinh lim sin x lim lim cos x lim sin x 0 cos x 1 cos x h 0 h 0 h 0 h 0 h h Pembuktian turunan fungsi cos x
d cos( x h) cos x cos x cosh sin x sinh cos x cos x(cosh 1) sin x sinh cos x lim lim lim h 0 h 0 h 0 dx h h h (cosh 1) sinh lim cos x lim lim sin x lim cos x 0 sin x 1 sin x h 0 h 0 h 0 h 0 h h
Pembuktian turunan fungsi tan x
d d sin x cos x cos x sin x( sin x) cos 2 x sin 2 x 1 tan x sec2 x 2 2 2 dx dx cos x cos x cos x cos x Pembuktian turunan fungsi cot x
d d cos x sin x sin x cos x cos x sin 2 x cos 2 x 1 cot x 2 csc2 x 2 2 dx dx sin x sin x sin x sin x
10
Latihan 1. Tentukanlah turunan y terhadap x a. y sin 5x b. y sin 6 x c. y sin10 x d. y sin(8x) e. y sin(15x) f. y sin(3x 5) g. y sin(6 x 2) h. y sin(7 x 4) i. f ( x) sin(4 x 9) j. f ( x) sin(ax b)
k. y cos 6 x l. y cos3x m. y cos9 x n. y cos 2 x o. y cos12 x p. y cos(3x 7) q. y cos(5x 2) r. y cos(4 x 9) s. y cos(7 x 2) t. y cos(ax b)
2. Tentukanlah turunan y terhadap x a. y cos x sin x b. y sin 6 x cos 4 x c. y cos 2 x sin 4 x d. y sin 3x cos5x e. y cos5x sin 5x f. y 3sin x cos3x g. y 7 cos x sin 5x h. y 6sin 5x cos 7 x i. y 4cos 4 x sin8x j. y 10sin 3x cos11x
k. y 5cos 6 x cos 4 x l. y 8sin 2 x sin 6 x m. y 2cos3x cos5x n. y 12sin 4 x sin8x o. y 9cos 7 x cos5x p. y 11sin 7 x sin x q. y 20cos 6 x cos10 x r. y 8sin 7 x sin 9 x s. y 15cos8x cos12 x t. y 15sin 9 x sin11x
3. Tentukanlah turunan y terhadap x a. y sin( x2 4 x 5) b. y cos( x2 3x 2)
k. y sin( x 1)2 l. y sin(3x 4)5
c. y sin(3x 2 8x 10)
m. y cos(2 x 5)4
d. y cos(2 x 2 10 x 9)
n. y cos(4 x 1)7 o. y sin 2 x
e. y tan(5x 2 2 x 8) f. y tan(4 x2 5x 12) g. y sin x 2 3x 10
p. y sin10 x q. y sin 5 (3x 2)
h. y sin 2 x 2 8x 15
r. y sin 4 ( x2 4 x 8)
i. y cos 3x 2 7 x 6 x
s. y cos3 x
j. y cos 2 x 2 6 x 9
t. y cos6 (2 x3 3x 6)
11
Turunan Fungsi Logaritma
d 1 log x log e dx x d 1 ln x dx x d x a a x ln a dx
d x e ex dx Pembuktian:
xh h log log 1 d 1 log( x h) log x x lim x lim 1 log 1 h a) log x log e lim lim h 0 h 0 h 0 h 0 h dx x h h h x x
x
x1 h 1 h h 1 h h 1 lim log 1 lim log 1 log lim 1 log e h 0 h x h 0 x x x x h 0 x x
b)
d 1 ln( x h) ln x 1 xh x 1 xh ln x lim lim ln lim ln h 0 h dx x h 0 h x h 0 h x x x
x
h h 1 1 1 1 xh xh lim ln ln lim ln e x h 0 x x h 0 x x x
c)
d x a( xh) a x 1 1 a a x ln a lim lim a x a h a x a x lim a h 1 h 0 h 0 h h 0 h dx h Misal u = ah-1 maka h = alog(1+u). Dari sini akan kita dapatkan:
d x u 1 1 1 log a a a x lim a a x lim a a x lim a ax a ax a x ln e 1/ u u 0 log(1 u ) u 0 1 u 0 log(1 u ) dx log(1 u ) log e log e u
d)
d x e( x h ) e x e x eh e x eh 1 x 1 e e x lim lim e x lim e e ex h 0 h 0 h 0 dx h h h ln e
12
Latihan 1. Tentukanlah turunan y terhadap x a. y e3x
k. y e3 x
b. y e10x
l. y e2 x 3 x 8 m. y esin x
d. y e6x
n. y ecos x o. y etan x p. y esin x ecos x
e. y e12x f. y e20x g. y e3 x 1 h. y e5 x 7
q. y esin 5x r. y ecos10x
i. y e6 x 3 2
4 x 15
2
c. y e5x
j. y e x
2
s. y etan 4 x t. y xsin x cos x
5 x 6
2. Tentukanlah turunan y terhadap x a. y 2 xe x b. y 5xe4 x
k. y ( x 2 5)e x l. y e x cos x
c. y 6 xe2 x
m. y e x cos x
d. y ( x 4)e5 x
n. y e x tan x o. y e2 x sin 5x p. y e4 x cos3x
e. y (5x 3)e x f. y (4 7 x)e20 x g. y x 2e3x h. y 6 x 2e5 x i. y 8 x 2e x
2
1
j. y 6 x 2e3 x
2
2 x 6
2
x 1
q. y e7 x tan 2 x r. y e10 x sin 4 x e3 x cos 6 x s. y e2 x tan 5x e4 x tan8x t. y xsin xcos x (sin x cos x)
13
Aplikasi Turunan: Titik Stasioner, Maksimum dan Minimum Titik stasioner suatu kurva terjadi apabila gradien di titik tersebut bernilai nol. Ada dua kemungkinan jenis titik stasioner yaitu maksimum atau minimum. Apabila nilai turunan kedua dititik tersebut bernilai positif maka titik stasioner tersebut maksimum, sedangkan apabila nilai turunannya negatif maka maka titik stasioner tersebut minimum y f (x)
A C D
x B
Titik A dan titik C adalah titik stasioner maksimum, di tititk tersebut berlaku:
d2y dy 0 0 dan dx 2 dx Titik B dan titik D adalah titik stasioner minimum, di tititk tersebut berlaku:
d2y dy 0 0 dan dx 2 dx
14
Latihan Tentukan titik-titik stasioner dan jenis titik stasioner tersebut (maksimum atau minimum) untuk fungsi-fungsi berikut ini 1. y = x3 - 3x + 2 2. y = 2x3 + 9x2 - 36x + 6 3. y = -x3 + 9x2 -15x + 5 4. y = x3 +12x2 +36x+8 5. y = x3 +15x2 +72x+4 6. y = x3 + 9x2 - 48x+20 7. y = 2x3 +21x2-180x +15 8. y = 2x3 +15x2- 300x + 12 9. y =1/3 x3 - 9x + 8 10. y = x3 – 48x + 25
15
