Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '(c ) didefinisikan sebagai: f ( x ) − f (c ) f '(c ) = lim x →c x −c
bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c + h , jika x → c ⇔ h → 0 dan turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: f (c + h) − f (c ) f '(c ) = lim h→0 h
x −c = h,
Hitunglah f '(2) jika f ( x ) = 2 x Jawab f ( x) = 2 x
f ( x ) − f (c ) x →c x−c
(i) f '(c ) = lim
2 ( x − 2) f ( x ) − f (2) 2 x − 2(2) f '(2) = lim = lim = lim = lim 2 = 2 x →2 x →2 x →2 x→ 2 x−2 x−2 x−2 f (c + h) − f (c ) (ii) f '(c ) = lim h →0 h
f (2 + h) − f (2) 2(2 + h) − 2(2) 4 + 2h − 4 = lim = lim h→0 h →0 h →0 h h h 2h = lim 2 = 2 = lim h→0 h→0 h
f '(2) = lim
•
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a, c]. Turunan kiri dari fungsi f di
•
c, ditulis f −' (c ) didefinisikan sebagai: f (c + h) − f (c ) f ( x ) − f (c ) atau f −' (c ) = lim− f −' (c ) = lim− h →0 x →c h x −c bila limitnya ada Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c, b]. Turunan kanan dari fungsi f di c, ditulis f +' (c ) didefinisikan sebagai: f (c + h) − f (c ) f ( x ) − f (c ) atau f +' (c ) = lim+ f +' (c ) = lim+ h →0 x →c h x−c bila limitnya ada
•
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat titik c. Fungsi f terdiferensialkan (mempunyai turunan) di titik c jika dan hanya jika f −' (c ) = f +' (c )
x ; x ≥ 0 Selidiki apakah f ( x ) = x = mempunyai turunan di x = 0 ! − x ; x < 0 Jawab • Turunan kiri fungsi f di x = 0 adalah sebagai berikut: f ( x ) − f (0) −x − 0 ' f − (0) = lim− = lim− = lim− ( −1) = −1 x →0 x →0 x →0 x −0 x • Turunan kanan fungsi f di x = 0 adalah sebagai berikut: f ( x ) − f (0) x −0 ' f + (0) = lim+ = lim− = lim− (1) = 1 x →0 x →0 x →0 x −0 x
f −' (0) ≠ f +' (0) ⇒ f ( x ) tidak mempunyai turunan di x = 0
• Jika f mempunyai turunan di c , maka f kontinu di c. • Jika f(x) tidak kontinu di c maka f tidak mempunyai turunan di c. • Dengan kata lain kekontinuan adalah syarat perlu untuk keterdiferensialan. • Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
x − 1, x ≥ 1 Tunjukkan bahwa f ( x ) =| x −1|= kontinu di x = 1 − x + 1, x < 1 tetapi tidak diferensiabel di x = 1 Jawab : 1. Akan ditunjukkan bahwa f kontinu di x = 1 • f(1) = 0 lim − f ( x ) = lim − ( − x + 1) = 0 • x →1
x →1
lim f ( x ) = lim+ x − 1 = 0
x →1+
x →1
lim f ( x ) = 0 x →1
•
Jadi lim f(x) = f(1)
•
Jadi f ( x ) =| x − 1| kontinu di x = 1
x →1
2.
Selanjutnya selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1 atau f −' (1) = f +' (1) ? •
f −' (1) = lim−
f ( x ) − f (1) | x −1| − | 0 | −( x − 1) = lim− = lim− = −1 x x → → 1 1 x −1 x −1 x −1
f +' (1) = lim+
f ( x ) − f (1) | x −1| − | 0 | x −1 = lim+ = lim+ = 1. x 1 x 1 → → x −1 x −1 x −1
x →1
•
x →1
Karena f −' (1) ≠ f +' (1) maka f ( x ) =| x − 1| tidak diferensiabel di x = 1
Periksa apakah fungsi berikut diferensiabel di titik yang diberikan a.
x 2 , x ≤ 1 f ( x) = 2 x − 3 , x > 1
b.
2 x + x , x < 0 ;x=0 f ( x) = sin x + 1 , x ≥ 0
c.
x 2 , jika x ≤ 0 f ( x ) = x ,0 < x < 1 ; x = 0 dan x = 1 2 1 + x , jika x ≥ 1
;x=1
Turunan y = f ( x ) terhadap x dinotasikan dengan y ' atau
f '( x ) . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan y = f ( x ) terhadap x di antaranya dalah: dy d , f ( x ), Dx y , Dx f ( x ) . dx dx dy dikenal sebagai notasi Leibniz. Notasi dx
Turunan Fungsi Konstan Misalkan f ( x ) = k , dimana k adalah sembarang konsatanta Riil maka
f '( x ) = 0
f ( x + h) − f ( x ) k−k 0 = lim = lim = lim 0 = 0 h→0 h →0 h h →0 h h→0 h Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a. f ( x ) = 2 b. f ( x ) = 15 c. f ( x ) = 22 Jawab a. f ( x ) = 2 ⇒ f '( x ) = 0 b. f ( x ) = 15 ⇒ f '( x ) = 0 c. f ( x ) = 22 ⇒ f '( x ) = 0 f '( x ) = lim
Turunan Fungsi Pangkat Bilangan Riil Misalkan f ( x ) = kx n dimana k , n ∈ maka f '( x ) = (nk ) x n −1 Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut: a.
f ( x ) = 2 x3
b.
f ( x ) = 15 x −3
c. Jawab
f ( x) =
1 5x 4
a.
f ( x ) = 2 x 3 ⇒ f '( x ) = (3)(2) x 3−1 = 6 x 2
b.
f ( x ) = 15 x −3 ⇒ f '( x ) = ( −3)(15) x −3−1 = −45 x −4
c.
f ( x) =
1 5x 4
1 −1 5 −3 4 1 4 ⇒ f '( x ) = (5) x = x 4 4
Turunan Kelipatan Fungsi Misalkan f ( x ) = k [u( x )] dimana u( x ) merupakan n
n −1
fungsi dari x maka f '( x ) = (n)( k ) [u( x )] u '( x ) Contoh Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut: a.
f ( x ) = 2(3x − 4)3
b.
f ( x ) = 15(4 x +1)−3
a.
f ( x ) = 2(3x − 4)3 f '( x ) = (3)(2)(3x − 4)3−1(3 x − 4)' = 6(3 x − 4)2 (3) = 18(3 x − 4)2
b.
f ( x ) = 15(4 x + 1)−3 f '( x ) = ( −3)(15)(4 x + 1)−3−1(4 x + 1)' = ( −45)(4 x + 1)−4 (4) = −180(4 x + 1)−4
Turunan fungsi trogonometri didefinisikan sebagai berikut: (i) f ( x ) = sin x ⇒ f '( x ) = cos x (ii) f ( x ) = sin(u( x )) ⇒ f '( x ) = cos x ⋅ u '( x ) (iii) f ( x ) = cos x ⇒ f '( x ) = − sin x (iv) f ( x ) = cos(u( x )) ⇒ f '( x ) = − sin x ⋅ u '( x ) (v) f ( x ) = tan x ⇒ f '( x ) = sec2 x (vi) f ( x ) = tan(u( x )) ⇒ f '( x ) = sec2 (u( x )) ⋅ u '( x )
Tentukan rumus fungsi berikut: a. f ( x ) = sin(5 x ) 2
e.
f ( x ) = sin( x + 2 x ) f ( x ) = cos( 15 x ) 3 2 f ( x ) = cos(2 x − x + 4 x ) f ( x ) = tan(2 x )
f.
f ( x ) = tan( x 3 − 3x 2 )
b. c. d.
a.
f ( x ) = sin(5 x ) f '( x ) = cos(5 x ) ⋅ (5 x ) ' = cos 5 x ⋅ 5 = 5 cos(5 x )
b.
f ( x ) = sin( x 2 + 2 x ) f '( x ) = cos( x 2 + 2 x ) ⋅ ( x 2 + 2 x ) ' = cos( x 2 + 2 x ) ⋅ (2 x + 2)
c.
= (2 x + 2) cos( x 2 + 2 x ) f ( x ) = cos( 15 x ) f '( x ) = − sin( 15 x ) ⋅ ( 15 x ) ' == − sin( 15 x ) ⋅ ( 15 ) = − 15 sin( 15 x )
d.
f ( x ) = cos(2 x3 − x 2 + 4 x ) f '( x ) = − sin(2 x 3 − x 2 + 4 x ) ⋅ (2 x 3 − x 2 + 4 x )' = − sin(2 x 3 − x 2 + 4 x ) ⋅ (6 x 2 − 2 x + 4)
e.
= −(6 x 2 − 2 x + 4)sin(2 x 3 − x 2 + 4 x ) f ( x ) = tan(2 x ) f '( x ) = sec2 (2 x ) ⋅ (2 x )' = sec2 (2 x ) ⋅ 2 = 2 sec2 (2 x )
f.
f ( x ) = tan( x 3 − 3x 2 ) f '( x ) = sec2 ( x 3 − 3x 2 ) ⋅ ( x 3 − 3x 2 )' = sec2 ( x 3 − 3x 2 ) ⋅ (3x 2 − 6 x ) = (3x 2 − 6 x )sec2 ( x 3 − 3x 2 )
Turunan Jumlah, Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi Misalkan fungsi f dan g terdifersensialkan pada selang I maka fungsi f + g , f − g , fg , f g ( g( x ) ≠ 0) terdiferensialkan pada selang I dengan aturan sebagai berikut: a. (u + v )' = u '+ v ' a. (f + g )'( x ) = f '( x ) + g '( x ) b. (u − v )' = u '− v ' b. (f − g )'( x ) = f '( x ) − g '( x ) c. (uv )' = u ' v + uv ' c. (fg )'( x ) = f '( x ) g( x ) + f ( x ) g '( x ) '
'
d.
f f '( x ) g( x ) − f ( x ) g '( x ) ( x) = 2 g ( g ( x ))
d.
u u ' v − uv ' = v2 v
Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut ini! a.
f ( x ) = 2 x 3 ( x + 5)5
b.
5x 4 f ( x) = (2 x −1)3
Jawab a.
f ( x ) = 2 x 3 ( x + 5)5 Misalkan u = 2 x 3 dan v = ( x + 5)5
u ' = 6 x 2 dan v ' = 5( x + 5)4 (uv )' = u ' v + uv ' = (6 x 2 )( x + 5)5 + (2 x 3 )(5( x + 5)4 ) = 6 x 2 ( x + 5)5 + 10 x 3 ( x + 5)4
f '( x ) = 6 x 2 ( x + 5)5 +10 x 3 ( x + 5)4
b.
5x 4 f ( x) = (2 x −1)3
Misalkan u = 5 x 4 dan v = (2 x − 1)3
u ' = 20 x 3 dan v ' = 6(2 x − 1)2 '
u = u ' v − uv ' v2 v =
(20 x 3 )(2 x −1)3 − 5 x 4 (6(2 x −1)2 )
((2 x −1) )
3 2
20 x 3 (2 x −1)3 − 30 x 4 (2 x −1)2 = (2 x −1)6 20 x 3 (2 x −1)3 − 30 x 4 (2 x −1)2 f '( x ) = (2 x −1)6
Misalkan y = f (u) dan u = g( x ) . JIka fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u, turunan fungsi komposisi y = (f o g )( x ) = f [ g( x )] ditentukan sebagai berikut:
dy dy du = ⋅ dx du dx dy dy du dv Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : = ⋅ ⋅ dx du dv dx (f o g )'( x ) = f ' [ g( x )] ⋅ g '( x ) atau
Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai! a.
y = (3 x + 5) 5
b.
y = (2 x 4 + 3 x 3 − 4 x 2 + 1) 3
c. d.
y =
2x2 − 4 x +1
y = sin(2 x 4 + 3 x 3 )
a.
5
y = (3x + 5) dy du 5 4 y =u ⇒ = 5u dan u = 3x + 5 ⇒ =3 du dx dy dy du = ⋅ dx du dx = 5u 4 ⋅ 3 = 15u
4
= 15(3x + 5)4
b.
y = (2 x 4 + 3x 3 − 4 x 2 +1)3 dy 3 y =u ⇒ = 3u2 du du u = 2 x + 3x − 4 x + 1 ⇒ = 8 x3 + 9 x2 − 8 x dx dy dy du = ⋅ dx du dx = 3u 2 ⋅ (8 x 3 + 9 x 2 − 8 x ) 4
3
2
= (24 x 3 + 27 x 2 − 24 x )u2 = (24 x 3 + 27 x 2 − 24 x )(2 x 4 + 3 x 3 − 4 x 2 + 1)2
c.
y = 2 x 2 − 4 x +1 1 dy 1 12 1 2 y = u =u ⇒ = 2u = du 2 u du u = 2 x 2 − 4 x +1 ⇒ = 4x − 4 dx dy dy du = ⋅ dx du dx 1 = ⋅ (4 x − 4) 2 u 4( x −1) = 2 2 x 2 − 4 x +1 2( x −1) = 2 x 2 − 4 x +1
d.
y = sin(2 x 4 + 3x 3 ) dy du y = sin u ⇒ = cos u dan u = 2 x 4 + 3 x 3 ⇒ = 8 x 3 + 27 x 2 du dx dy dy du = ⋅ dx du dx = sin u ⋅ (8 x 3 + 27 x 2 ) = sin(2 x 4 + 3 x 3 )(8 x 3 + 27 x 2 )
Turunan kedua diperoleh dengan menurunkan turunan pertama yang sudah diperoleh. Dengan cara yang serupa kita akan peroleh turunan berikutnya, yang kita kenal dengan turunan tingkat tinggi. Jika y = f ( x ) maka dy df • Turunan pertama : y ' = = = f '( x ) dx dx d2y d2f • Turunan kedua : y '' = 2 = 2 = f ''( x ) dx dx d3y d 3f • Turunan ketiga : y '' ' = 3 = 3 = f '''( x ) dx dx d4y d4f (4 ) (4) = = f (x) • Turunan keempat : y = 4 4 dx dx . . . . . . •
Turunan ke-n
:
y
(n)
dny d nf = n = n = f (n) ( x ) dx dx
Tentukan turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat dari fungsi berikut ini! a. y = 2 x 6 + 5 x 3 b. y = sin x Jawab: a. y = 2 x 6 + 5 x 3 y ' = 12 x 5 + 15 x 2
y = sin x y ' = cos x
y '' = 60 x 4 + 30 x
y '' = − sin x
y ''' = 240 x 3 + 30
y ''' = − cos x
y (4) = 720 x 2
y ( 4 ) = sin x
b.
1. Tentukan
dy jika: dx
a.
y = −2 x 3 + 4 x 2 − x + 5
b.
y = 4 x −3 − 2 x −2 + x −1
c.
y = (2 x 2 − 3 x )( x 4 − 3 x 3 + x )
2 x 2 − x +1 y= x −1 1 − sin x d. y = cos x
dy 2. Dengan menggunakan aturan rantai tentukan turunan pertama dari: dx 10
a.
y = ( 2 x − 3)
b.
y=
c.
x +1 y = x −1
d.
y = sin3 x
e. f.
x 2 − 3x + 1 2
( ) y = sin2 ( 3 x 2 − 2 x ) y = cos 4 x 2 − x
Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Turunan
1. Diketahui f ( x ) = a. − b. c.
1 , f '(3) = .... x
1 9
1 9 1 6
2. Turunan pertama dari y = a. b. c.
1 6 e. Tidak ada jawab yang benar
d. −
−2 1 + x2 x3 2 2 y′ = 2 + 3 x x −2 1 y′ = 2 − 3 x x y′ =
2 1 − 2 adalah …. x x
d. e.
−2 2 + x 2 x3 2 2 y′ = 2 − 3 x x y′ =
3. Misalkan y = ( x2 + 2)( x3 +1) . Turunan pertama dari y adalah …. d. y′ = 5x4 + 6x2 + 2 a. y′ = 5x4 + 6x2 + 2x b. y′ = 5x4 + 3x2 +1 e. y′ = 5x4 + 6x + 2 c. y′ = 5x4 + 2x + 2 dy x −1 4. Nilai dari y = adalah …. dx x +1 dy 2 dy 2x d. = a. = 2 dx ( x +1)2 dx ( x +1) dy 1 dy 2x −1 b. e. = = 2 dx ( x +1) dx ( x +1)2 dy 2x + 2 c. = dx ( x +1)2
5. Turunan kedua dari y = (4 x + 7)10 adalah …. a. y′′ = (160 x + 280)8 b. y′′ = 1440(4 x + 7)8 c. y′′ = 40(4 x + 7)8
d3y 1 6. Jika y = , berapakah nilai dari …. 3 x −3 dy −1 a. ( x − 3) 4 2 b. ( x − 3) 4 −2 c. ( x − 3) 4
d. y′′ = 360(4 x + 7)8 e. y′′ = 1440(160 x + 280)8
d. e.
6 ( x − 3) 4 −6 ( x − 3) 4
7. Turunan ketiga dari y = sin(3x) adalah …. a. y′′′ = −27 cos(3x) b. y′′′ = −9sin(3x) c. y′′′ = −27sin(3x) 8. Misalkan x2 jika x ≤ 1 f ( x) = , nilai 2 x − 1 jika x > 1 dari f ′(1) adalah …. a. 0 b. 3 c. 1
d. y′′′ = −9cos(3x) e. y′′′ = 27 cos(3x)
d. 2 e. tidak ada
9. Nilai a, b, dan c dari g ( x ) = ax 2 + bx + c bila g(1) = 5, g’(1) =3 dan g’’(1)=- 4 adalah …. a. a = -2 , b = 4, c = 0 b. a = -2 , b = 0, c = 2 c. a = -2 , b = - 7, c = 0 d. a = 2 , b = 7, c = 0 e. a = -2 , b = 7, c = 0 x 2 − x + 3 , x < 1 10. Diketahui f ( x ) = pernyataan berikut yang benar adalah 1 + 2 x , x ≥ 1 …. a. f ( x ) differensiabel di x = 1 dan f '(1) = 1 b. f ( x ) differensiabel di x = 1 dan f '(1) = − 1 c. f ( x ) tidak differensiabel di x = 1 d. f ( x ) tidak differensiabel di x = − 1 e. Tidak ada jawab yang benar
