Kalkulus I
5
LIMIT FUNGSI
5.1 PENDAHULUAN LIMIT • •
• •
Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x≠c). x2 +1 Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = dan akan kita cari berapa nilai x −1 fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut.
x
f(x) = x+1
x
x2 +1 g(x) = x −1
0.9 0.95 0.99 0.999
1.9 1.95 1.99 1.999
0.9 0.95 0.99 0.999
1.9 1.95 1.99 1.999
1
?
1
?
1.001 1.01 1.1
2.001 2.01 2.1
1.001 1.01 1.1
2.001 2.01 2.1
Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1. Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis:
lim (x + 1) = 2 dan lim x →1
•
x →1
x2 +1 =2 x −1
Secara umum dapat dinyatakan bahwa:
lim f(x) = L
x→ c
jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 1
Kalkulus I
•
Jika ditulis lim f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi f(x) dari dua x →c
arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri. •
Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga.
lim x = ∞ dan lim 1 = 0 x →∞ x →∞ x
5.2 TEOREMA LIMIT •
Jika lim f ( x) dan lim g ( x) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku pernyataanx→ c
x→ c
pernyataan berikut:
lim A = A , A, c ∈ R .
a.
x →c
lim x = c .
b.
x →c
lim
c.
x →c
{ f ( x) ± g ( x)} =
lim f ( x) ± lim g ( x)
x →c
x →c
lim kf ( x) = k lim f ( x)
d.
x →c
x →c
lim f ( x) g ( x) = lim f ( x). lim g ( x)
e.
x →c
x →c
x →c
lim f ( x) f ( x) x → c = , asalkan lim g ( x) ≠ 0 lim g ( x) x →c x → c g ( x) lim
f.
x →c
Contoh 5.1 2
2
a. lim (2x − 7x + 6) = lim 2x − lim 7x + lim 6 x →2
x →2
x →2
x →2
2
= 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x →2
( )
x →2
x →2
2
= 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x →2
x →2
x →2
2
= 2.2 − 7.2 + 6 = 0 b. lim 7x 2x − 1 = lim 7x. lim 2x − 1 x →1
(
)
x →1
x →1
= 7 lim x lim (2x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7
c. lim
x →−1
x →1
x →1
lim (2x + 3) 2.(−1) + 3 1 2x + 3 = x →−1 = = 5x + 2 lim (5x + 2) 5.(−1) + 2 − 3 x →−1
d. lim x + 2 x − 4 = (−1) 2 + 2(−1) − 4 = −5 2
x →−1
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 2
Kalkulus I
e.
f.
g. lim (2 – 3x + 4x2 – x3 ) = lim 2 - lim 3x + lim 4 x2 - lim x3 x → −1
x → −1
x → −1
x → −1
x → −1
= 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10 Contoh 5.2
Hitung lim x →2
x 2 − 3x + 2 . x2 − 4
Penyelesaian: Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada contoh soal 5.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh:
x 2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) x − 1 = = (x − 2)(x + 2) x + 2 x2 − 4 Sehingga: nilai lim x→2
x 2 − 3x + 2 x −1 2 −1 1 = lim = = 2 x→2 x + 2 2+2 4 x −4
Contoh 5.3
Tentukan lim x →1
x −1 . x− 1
Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik V‐ 3
Kalkulus I
lim x →1
x −1 x −1
= lim x→1
(
)(
x −1
) = lim (
x +1
x −1
x →1
)
x +1 = 1 + 1 = 2 .
Contoh 5.4
x3 + 8 Tentukan lim 4 . x→−2 x − 16 Penyelesaian: (x − (−2) ) x 2 + x.(−2) + (−2) 2 x3 + 8 x 3 − ( −2) 3 lim 4 = lim 4 = lim x → −2 x − 16 x → −2 x − ( −2) 4 x → −2 ( x − ( −2) ) x 3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2) 3
= lim
x → −2
(x
2
)
(
(
)
)
4+4+4 3 − 2x + 4 = =− . 2 8 x − 2x + 4x − 8 − 8 − 8 − 8 − 8
(
3
)
Contoh 5.5
Hitung Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.
Kita faktorkan fungsi kuadratnya
Contoh 5.6 Hitung limit berikut
Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 4
Kalkulus I
Contoh 5.7 Tentukan limit berikut
Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.
Contoh 5.8 Tentukan limit berikut
Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya.
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 5
Kalkulus I
Contoh 5.9
x −1 − 2 x−5
Hitung lim x →5
Penyelesaian :
x −1 − 2 = x−5
x −1 − 2 . x−5
x −1 + 2 x −1 + 2
1 x −1 + 2
=
x −1 − 2 = lim x →5 x−5
Maka lim x →5
1 1 = x −1 + 2 4
Latihan 5.1 Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut.
1. lim ( x + 2)
2. lim
x+2 x −1
5. lim
x→2
x →1
4. lim x →0
x→4
1 x
2 3. lim x x → −1
x
6. lim x →1
x2 −1 x −1
Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada. 2
7. lim ( x − 20) x →5
x 2 + 2x − 8 10. lim x →2 x2 − 4 13. lim
s → −1
16. lim
x →2
s4 −1 s3 + 1 x2 − 4 2
3− x +5
2
x+2 x −3 x 6 − 64 12. lim x →2 x 3 − 8
8. lim ( x + 3x + 1) 9. lim x → −2
x →0
x −1
11. lim
x −1
x →1
32
14. lim u →1
u −1 1− u 3
17. lim x →0
15. lim
x → −1
2 − x2 + 3 1− x2
1+ x −1 x
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 6
Kalkulus I
5.3 LIMIT SATU SISI (LIMIT SEPIHAK) •
Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa yang terjadi terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau kanan).
•
Limit Kanan Jika ditulis lim+ f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kanan.
•
Limit Kiri Jika ditulis lim− f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kiri.
x →c
x →c
Contoh 5.10
a. lim+
x = 0 (x didekati dari kanan)
b. lim−
x tidak ada. (x didekati dari kiri)
x →0
x →0
c. Untuk bilangan bulat n lim+ [x ] = n dan lim− [x ] = n − 1 x →n
x →n
Contoh 5.11 Diberikan fungsi
⎧2x − 1, ⎪ f (x) = ⎨ ⎪ x3, ⎩
x <1 x >1
Karena untuk x < 1 adalah fungsi f ( x ) = 2 x − 1 , maka
lim f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = 1 .
x →1−
x →1
Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi
lim+ f ( x ) = lim+ x 3 = 1 .
x →1
x →1
Selanjutnya, karena nilai lim− f ( x ) = 1 = lim+ f ( x ) maka lim f ( x ) = 1 . x →1
x →1
x →1
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 7
Kalkulus I
Contoh 5.12 Tentukan lim f ( x) jika diketahui: x→ 2
⎧ x, ⎪ f (x) = ⎨ ⎪[x ], ⎩
x≤2 x>2
Penyelesaian: Jika x didekati dari kiri maka lim− f ( x) = lim− x = 2 x→2
x→2
Jika x didekati dari kanan maka lim+ f ( x ) = lim+ [x ] = 2 x→2
x→2
Karena limit kiri = limit kanan, maka lim f ( x ) = 2 . x→ 2
Contoh 5.13 Diberikan fungsi berikut
Hitung limit
Penyelesaian:
a.
b.
dan
Latihan 5.2 Evaluasi apakah limit berikut ada!
1.
dimana
Lukmanulhakim Almamalik V‐ 8
