LIMIT FUNGSI DEFINISI Notasi
lim f ( x) = L dibaca
x →a “limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L”
atau “f(x) mendekati L bila x mendekati a “ berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a. Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu f(a) tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang x di sekitar a. 1
Situasi yang mungkin terjadi: y
y f(x)
f(x)
L
L
a
0
a
0
x
y
x
f(x)
L
f(a)
2
0
a
x
Contoh :
f ( x) =
x−2 2
, x≠2
x −4
lim
x−2
x →2 x 2
=?
−4
Karena
y
lim
x ≠2
maka
x−2
x →2 x 2
f(x)
0,25 0
−4 x−2 = lim x→2 ( x + 2)( x − 2) 1 1 = lim = ≠ f ( 2) x→2 ( x + 2) 4
2
x
3
Jika didefinisikan
x−2 , x≠2 2 f ( x) = x − 4 1 , x=2
y
x−2
1 lim = ≠ f (2) = 1 2 x →2 x − 4 4
1
f(x)
0,25 0
2
x
4
Jika didefinisikan
x−2 , x≠2 2 f ( x) = x − 4 1 , x=2 4
y
x−2
1 lim = = f (2) 2 x →2 x − 4 4 f(x)
0,25 0
2
x
5
EKSISTENSI NILAI LIMIT Nilai limit tidak selalu ada
π lim sin x x →0
Contoh 1.
Bila
π = nπ, n bilangan bulat tak nol yaitu x 1 x = , n bilangan bulat tak nol maka n
Namun bila
π π = + 2nπ, n bilangan bulat x 2
2 x= , n bilangan bulat maka 4n + 1
π sin = 0 x yaitu
π sin = 1 x 6
y f(x) 1
-1
1
0
x
-1
7
Contoh 2. Fungsi bilangan bulat terbesar
f ( x ) = [x ] y
lim f ( x) = ? x →2
f(x) 3
1, 1 ≤ x < 2 f ( x) = 2, 2 ≤ x < 3
2 1
-3
-2
-1
0 -1
1
2
3 x
-2 -3 8
LIMIT SEPIHAK DEFINISI: Notasi
lim− f ( x) = L
x →a
lim f ( x) = L + x →a
Dibaca “limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L” atau “f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“ berarti bahwa Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat dengan a dan x < a (x > a). Jadi dengan f(x) seperti pada contoh 2. maka
lim x→ 2
−
sebab
f ( x ) = 1,
sedangkan
lim x→ 2
1 , 1 ≤ x < 2 f (x) = 2, 2 ≤ x < 3
+
f ( x) = 2,
9
lim f ( x) = L
jika dan hanya jika
x →a
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = L
x →a
x →a
Jadi untuk f(x) seperti pada contoh 2. maka
lim f ( x ) tidak ada, sebab x→ 2
lim x→ 2
−
f ( x ) ≠ lim x→ 2
+
f (x)
Limit yang tak berhingga DEFINISI Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali pada x = a sendiri. Maka
lim f ( x ) = +∞
x→ a
lim f ( x ) = −∞ x→ a
berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin, dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan a. Contoh :
1 lim = +∞ x→1 x − 1
10
y
1 f ( x) = x −1
1
0
1
2
x
Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak
11
Situasi yang mungkin terjadi: y
y
f(x)
0
f(x) a
0
x
a
0
a
x
x
f(x)
lim− f ( x) = −∞
lim− f ( x) = +∞
y
x →a
x →a
y
f(x)
y f(x)
0
lim f ( x) = +∞ x →a
f(x)
a
x
lim+ f ( x) = +∞
x →a
0
a
a
x
lim+ f ( x) = −∞
x →a
x
0
lim f ( x) = −∞ x →a
12
Jika salah satu di antara keenam situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x) maka garis x = a disebut asimtot
tegak dari grafik y = f(x).
Limit di ketakhinggaan Notasi
lim f ( x) x →+∞
lim f ( x) x→−∞
disebut limit f(x) di ketakhinggaan, adalah mengkaji bagaimana perilaku nilai f(x) manakala x membesar positif (negatif).
± ∞ lim f ( x ) = L x → ±∞ tidak ada
Contoh:
1 . lim x 2 − 1 = +∞ x → −∞
2x −1 1 2 . lim = lim 2 − = 2 x x x → −∞ x → −∞ 3 . lim cos x = tidak ada x → +∞
13
Situasi yang mungkin terjadi: y
f(x)
f(x)
f(x)
x
0
lim
y
y
x
0
lim f ( x) = +∞
f ( x ) = −∞
x
0
lim f ( x) = +∞
x→+∞
x→−∞
x → −∞
y y f(x)
f(x)
L
0
x
0
x L
0
x
f(x)
lim f ( x) = L x→+∞
lim f ( x) = tidak ada lim f ( x) = L x→−∞
x→+∞ 14
Jika lim f ( x ) = L atau lim f ( x ) = L maka garis y = L disebut asimtot x → −∞
x → +∞
datar
dari grafik y = f(x). Contoh:
f ( x) =
x +1
x 2 − 5x + 6 x +1 x +1 3 1. lim− f ( x) = lim− = lim− = = +∞ 2 lim− ( x − 3)( x − 2) x →2 x→2 x − 5 x + 6 x→2 ( x − 3)( x − 2) x→2
2. lim+ f ( x) = lim+ x→2
x→2
x +1 x 2 − 5x + 6
x +1 3 = = −∞ lim+ ( x − 3)( x − 2) x→2 ( x − 3)( x − 2)
= lim+
x →2 Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan garis x = 3.
1 1 x2 1 + 1 2 + x 2 x x +1 x x = lim 3. lim = lim x→+∞ x 2 − 5 x + 6 x→+∞ 2 x 1 − 5 + 6 2 x→+∞ 1 − 5 + 6 2 x x x x ( 0 + 0) = =0 (1 − 0 + 0) Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).
15
Asimtot tegak
y=
x +1 x 2 − 5x + 6
Asimtot datar
16
Teorema-teorema tentang limit
1. Jika k suatu konstanta dan nilai lim f ( x) dan lim g ( x) ada, maka x→a
x →a
a. lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) x→a
x→a
x →a
b. lim [ f ( x) g ( x)] = lim f ( x). lim g ( x) x→a
x →a
x →a
lim f ( x)
f ( x) x→a c. lim , asalkan lim g ( x) ≠ 0 = lim g ( x) x→a x→a g ( x) x→a
d. lim [kf ( x)] = k lim f ( x) x→a
x→a
2. Prinsip Apit : Jika f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) untuk nilai x di sekitar a (kecuali mungkin di a) dan jika lim f(x) = lim h( x) = L, maka lim g ( x) = L x →a
x→a
x →a
17
Trik menentukan limit, yaitu
lim f ( x) x→a
1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a) 2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa limit-limit sepihak.
Contoh
1.
lim x + 4 = − 4 + 4 = 0
x→−4
1 x +1− 2 2 = lim − 2. lim 2 2 x→1 x − 1 x − 1 x→1 x − 1 1 1 x −1 = lim = = lim x→1 ( x − 1)( x + 1) x→1 ( x + 1) 2
18
3.
π lim x 2 sin = ? x x → 0 Jawab: karena
π − 1 ≤ sin ≤ 1 x
π 2 − x ≤ x sin ≤ x . x 2
maka
Diketahui bahwa
2
2
lim (− x ) = lim x = 0 x→0
maka
2
( )
x→0
π lim − x ≤ lim x sin ≤ lim x 2 x x→ 0 x→ 0 x→ 0 π 2 ⇔ 0 ≤ lim x sin ≤ 0 x x→ 0 π 2 ⇒ lim x sin = 0 x x→ 0 2
2
19
lim f ( x ) = ?
4. f(x) = [ x ] + [-x]
x→ 2
y
3 2 1
-3
-2
-1
0 -1
1
2
x
3
-2 -3
1 + ( − 2 ) = − 1, f ( x) = 2 − 2 = 0, 2 + (-3) = − 1,
1< x < 2 x=2 2< x <3
lim − f ( x ) = lim + f ( x )
x→ 2
x→ 2
= −1 = lim f ( x ) x→ 2 20
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI lim sin x = 0 ,
lim cos x = 1,
lim tan x = 0 ,
x→ 0
x→ 0
x→ 0
lim sin x = 1,
lim cos x = 0 ,
lim tan x = tidak ada
x→
x→
x→
π 2
π 2
π 2
y = tan x
21
sin x lim = 1, x →0 x
sin x lim = 0, x →+∞ x
sin x lim =0 x→−∞ x
22
LIMIT DAN KEKONTINUAN Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a dikatakan kontinu di x = a jika
lim f ( x) = f (a ) x→a Dengan perkataan lain: f(x) kontinu di x = a jika f(a) terdefinisi Nilai limitnya di x = a ada Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (a)
x→a
x→a
23
Contoh
x−2 , x≠2 2 f ( x) = x − 4 1 , x=2 4
y
x−2
1 lim = = f (2) x →2 x 2 − 4 4 f(x)
0,25
Jadi f(x) kontinu di x = 2.
2
0
lim f ( x)
Akibat: jika f kontinu di x = a maka x→a
x
ada 24
Akibat: jika f kontinu di x = a maka
lim f ( x) ada
x→a
Teorema: 1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsi-fungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika g ( a ) ≠ 0 ) juga kontinu di x = a. 2. fungsi polinom kontinu diℜ , sedangkan fungsi rasional kontinu di daerah definisinya. 3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposisi ( f o g )( x ) kontinu di x = a. Contoh:
1, x ≤ 0 2 Jika f ( x) = ax + b, 0 < x < 3 x + 2, x ≥ 3, tentukan a dan b agar f ( x) kontinu di setiap bilangan riil. 25
Jawab: karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3 Agar f(x) kontinu di x = 0: •
f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1
•
Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0 sama dengan f(0), yaitu
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (0), yaitu
x →0
x→0
1
b=1
= a.0 2 + b = 1
Agar f(x) kontinu di x = 3: •
f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5
•
Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3 sama dengan f(3), yaitu
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (3), yaitu
x→3
x→3
a.32 + b = 5 = 5 ⇒ 9a + b = 5 ⇒ 9a + 1 = 5 ⇒ 9a = 4 Jadi f(x) kontinu di mana-mana bila b = 1 dan a = 4/9.
4 a= 9 26
Teorema Nilai Antara (TNA): misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b). Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M. y f(x)
f(b) M f(a)
0
a
c
b
x
27
