LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar)
LIMIT FUNGSI
Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd
MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
Created By Ita Yuliana
27
Limit Fungsi Kompetensi Dasar 1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Kasus Seorang Satpam berdiri mengawasi mobil yang masuk pada sebuah jalan tol. Ia berdiri sambil memandang mobil yang melintas masuk jalan tersebut. Kemudian dia memandang terus mobil sampai melintas di kejauhan jalan tol. Dia melihat obyek seakan akan semakin mengecil seiring dengan bertambah jauhnya mobil melintas. Akhirnya dia sama sekali tidak dapat melihat obyek tersebut. Jika kita analisis lebih lanjut, untuk pendekatan berapa meterkah jauhnya mobil melintas agar penjaga pintu masuk jalan tol sudah tidak dapat melihatnya lagi? Kamu akan dapat memperoleh jawabannya setelah mempelajari bab ini.
Ringkasan Materi A. Limit Fungsi di Suatu Titik 1. Pengertian limit fungsi di suatu titik a. Pengertian limit secara intuitif ( ) , artinya jika untuk x yang dekat dengan a berlaku f(x) dekat dengan L Perhatikan gambar berikut. Fungsi f(x) =
Y 6 5 4 3 2 1
terdefinisi untuk
semua x bilangan real, kecuali x = 2
-4 -3 -2 -1 0
x f(x)
1,9 4,9
1,99 4,99
1,999 4,999
... ...
2 -
... ...
2,001 5,001
f(x)
X
1 2 3 4 5
2,01 5,01
2,1 5,1
Dari grafik dan tabel terlihat jika x mendekati 2 dari kiri (2-), nilai fungsi akan semakin dekat dengan 5 atau dapat ditulis
, dan jika x
mendekati 2 dari kanan (2+), nilai fungsi akan semakin dekat dengan 5 atau ditulis
. Oleh karena itu
, dapat ditulis Created By Ita Yuliana
28
( ) ( )
Jika dan
( )
dan
, maka
( ) ada
b. Pengertian limit secara matematis ( ) berarti untuk setiap bilangan positif yang diberikan, betapa pun kecilnya, terdapat > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x - a < , berlaku f(x) - L < . 2. Penyelesaian limit fungsi di suatu titik a. Substitusi langsung ( ) dengan substitusi langsung caranya yaitu nilai x = a Mencari nilai disubstitusikan ke dalam fungsi f(x). Nilai yang diperoleh merupakan nilai limit fungsi. Contoh: Tentukan nilai
(
)
Jawab: Dengan substitusi langsung ( ) = 12 + 2.1 – 1 = 2 b. Memfaktorkan Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu ( ( )
bentuk
( )
),
disederhanakan dengan mencari faktor yang sama, kemudian
digunakan subtitusi langsung untuk memperoleh nilai limit. Pada bentuk ( ) ( )
biasanya faktor yang sama adalah (x – a).
Contoh: Tentukan Jawab: Dengan substitusi langsung (bentuk tak tentu)
= Dengan memfaktorkan =
Created By Ita Yuliana
(
)(
(
)(
)
=
=
29
c. Mengalikan dengan bentuk sekawan ), limit
Jika dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu (
bentuk akar dikalikan dengan bentuk sekawan dan disederhanakan, kemudian digunakan substitusi langsung untuk memperoleh nilai limit. Contoh: Tentukan
√
Jawab: Bentuk di atas merupakan limit bentuk akar. Dengan substitusi langsung (bentuk tak tentu)
√
√
Bentuk sekawan dari (2 – √
) adalah (2 + √
)
Mengalikan dengan bentuk sekawan √
=
√
√
(
=
√
=
)=2+√
√
(
√ (
) )
=
(
√
)
=2+2=4
3. Sifat-sifat limit di suatu titik Untuk n bilangan bulat positif, fungsi f dan g memiliki limit di a, berlaku sifat-sifat limit sbb: a. b. ( )
c.
( )
( ))
d.
(
e.
( ( )
. ( )) =
( ) ( )+
( )
Aktivitas 1 Tentukan nilai limit berikut. 1.
(
)
2.
3. 4.
√
Created By Ita Yuliana
30
B. Limit Fungsi di Tak Hingga 1. Pengertian limit fungsi di tak hingga Suatu fungsi dapat mendekati nilai tertentu jika peubahnya membesar/mengecil tanpa batas. a. Misal f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap nilia pada selang (c, ) ( )
, artinya jika untuk nilai x yang membesar tanpa batas maka
berlaku f(x) dekat dengan L b. Misal f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap nilia pada selang ( ( )
, c)
, artinya jika untuk nilai x yang mengecil tanpa batas maka
berlaku f(x) dekat dengan L 2. Penyelesaian limit fungsi di tak hingga Limit fungsi aljabar untuk variabel x mendekati tak hingga biasanya berbentuk ( ) ( )
atau
( ( )
( )). Penyelesaian limit fungsi di tak hingga
dapat dicari menggunakan cara: a. Substitusi langsung Jika dengan substitusi langsung diperoleh hasil bukan bentuk tak tentu, maka nilai itu adalah nilai limit fungsi yang dicari b. Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi ( )
Jika dengan substitusi langsung
( )
diperoleh hasil bentuk tak tentu ( )
maka fungsi disederhanakan terlebih dulu. Penyebut (f(x)) dan pembilang (g(x)) dibagi dengan xn dimana xn adalah variabel berpangkat tertinggi dari f(x) dan g(x) c. Mengalikan dengan bentuk sekawan Jika limit yang memuat bentuk akar dengan substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu ( ), maka fungsi disederhanakan terlebih dulu dengan mengalikan bentuk sekawannya. 3. Sifat-sifat limit di tak hingga Untuk n suatu bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang memiliki limit di tak hingga, berlaku sifat-sifat berikut. a.
=0
b.
={
c. ( ))
d.
(
e.
( ( )
Created By Ita Yuliana
( ) ( )) =
( )+
( ) 31
f.
( ( )
( )) =
g.
( ( )
h.
( ( )) = (
( ( ))
i.
√ ( )= √
( )
( )–
( )) =
( )
( )x
j. Jika
( ) = 0 maka
k. Jika
( )=
maka
( )
( )
=
( )
=0
Contoh: Tentukan nilai limit berikut. 1. 2. √
3.
√
Jawab: 1. Dengan substitusi langsung Membagi dengan variabel pangkat tertinggi variabel berpangkat tertingginya x3
=
=
=
=
=3
2. Dengan substitusi langsung : Membagi dengan variabel pangkat tertinggi
Created By Ita Yuliana
32
variabel berpangkat tertingginya x2 = = = = √
√
3. Dengan substitusi langsung
=√
–√
=
Mengalikan dengan bentuk sekawan √
√ (
= =
) (
√
√
√
√
√
√
√
√
)
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi
=
= =
√
√
√
√
√
variabel berpangkat tertingginya √ atau
=
√
√
√
Aktivitas 2 Hitunglah 1. 2.
3.
√
Created By Ita Yuliana
– 33
