LIMIT FUNGSI. Tapi jika x hanya mendekati 1, f(x) mendekati nilai berapa..? x 0,9 0,99 0,999 0, ,0001 1,001 1,01 1,1

1

Ringkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS SMA Tarakanita 1 Jakarta

LIMIT FUNGSI

Limit dalam kata-kata sehari-hari: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak dapat dicapai. Ilustrasi limit –

Contoh: ( ) =

=

(

)(

)

Fungsi ini tak mempunyai nilai, bila x = 1 (mengapa??) Tapi jika x hanya mendekati 1 , f(x) mendekati nilai berapa……..? ( ) =

(

)(

)

Perhatikan tabel berikut ini : x

…

0,9 0,99 0,999 0,9999

1

1,0001 1,001

1,01

1,1 …

f(x)

…

2,8 2,98 2,998 2,9998

?

3,0002 3,002

3,02

3,2 …

Tabel di atas menunjukkan: 1. Nilai f(x) untuk

x mendekati 1 dari kiri (dari bilangan yang lebih kecil) maka f(x) 2x2  x 1  3. mendekati 3, dapat ditulis: lim x1 x 1 2. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kanan ( dari bilangan yang lebih besar ) maka f(x) 2 x2  x  1  3. mendekati 3, dapat ditulis: lim x 1 x1 Jadi, lim x1

2x2  x 1  3. x 1

Kesimpulan: Definisi Limit secara intuitif

lim f ( x)  L , artinya jika x mendekati c dari kiri dan kanan sehingga nilai f(x) mendekati dari xc kedua arah maka nilai f(x) mendekati L.

1. Limit- limit fungsi berbentuk lim f ( x) xc Cara-cara untuk menentukan nilai limit, antara lain: a. Substitusi b. Faktorisasi c. Perkalian sekawan

2


a. Menentukan nilai limit dengan substitusi Jika diketahui lim f ( x) maka nilai f(x) dapat dicari dengan mensubtitusikan nilai x=c pada xc f(x). Cara ini dapat digunakan pada bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : 6 , 0 . Ketika nilai x =c sudah 3 4 disubstitusikan ke f(x), maka lim

x c

Contoh:

tidak ditulis.

Tentukan nilai limit dari: 1.

lim ( x3 2x2 3x1) x2

2.

 x3  1   lim  x 2  x 2  3 x  2   

b. Menentukan nilai limit dengan memfaktorkan Adakalanya nilai limit

f ( x) untuk x c tidak dapat diperoleh dengan subtitusi lim xc g ( x)

langsung. Jika nilai x =c disubtitusi langsung ke tentu, yaitu

f ( x) f ( x) pada lim , diperoleh bentuk tak x c g ( x) g ( x)

f ( x) 0 maka perlu diubah bentuknya. Dengan perubahan tersebut dapat 0 g ( x)

0 . Limit ini dapat diselesaikan dengan 0 memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, kemudian membagi faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = c.

dihilangkan bentuk yang menyebabkan

Contoh: Tentukan nilai limit dari: 1.

6x2  4x lim x 0 2 x2  x

2.

x2 1 lim x 1 x 2  3x  2

c. Menentukan limit fungsi dengan perkalian sekawan f ( x) Adakalanya juga f(x) atau g(x) memuat bentuk akar dan nilai limit lim untuk x c xc g ( x)

tidak dapat diperoleh dengan subtitusi langsung. Jika nilai x =c disubtitusi langsung ke

f ( x) g ( x)

f ( x) f ( x) 0 pada lim , diperoleh bentuk tak tentu, yaitu maka perlu diubah bentuknya. xc g ( x) 0 g ( x)


3

0 . Jika pembilang 0 atau penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

Dengan perubahan tersebut dapat dihilangkan bentuk yang menyebabkan

x23  5x1 x1 x21

Contoh: Tentukan nilai limit dari : lim

Latihan 1: Tentukan nilai limit dari: 1.

x2  4 lim x 1 2 x 3  1

2.

x3  3x  7 lim x 1 5 x 2  9 x  6

x3  2 x 2  3 x lim x 0 x 4  3 x 2  x 2 4. lim x 5 x 6 x3 x 2 9

3.

5. 6. 7. 8.

9.

lim x3

2x2  x 1 lim x 3 3 x 2  x  2 x 2  3 x  28 lim x  4 x 2  4 x  32 x2  4 lim x 2 x 2  3x  2

x4 lim x4 x  24  2x

10. lim x 3 11.

2 x2  2 x 1

x 3 x2  9

x2 - x - 6 lim x 3 4 - 5x  1

12. lim 3x - 2  2 x  4 x6 x 6 13. lim

4x

x0 1 - 2x  1  2x

9  x2 14. lim x 3 4  x 2  7

15. lim x3

6x  2

 3x  7 x3


Teorema Limit Fungsi: 1.

lim c  c , x a

c  konstanta

Contoh:

2.

a.

lim 6  x 2

b.

lim 6  x 

lim x  a x a

Contoh: a. lim x  x 2 b. lim x  x 0 c.

3.

lim x  x 

lim c . f ( x )  c . lim f ( x ) , c = konstanta x a x a

Contoh:

lim 3 x  x 2 b. lim 3x  x0 c. lim 3 x  a.

x 

4.

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x ) x a x a x a

Contoh: a. lim (3 x  6)  x 2 b. lim (3 x  6 )  x 

5.

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x ) x a x a x a

Contoh: a. lim (3 x  6)  x 2 b. lim ( 6  3 x )  x 

6.

lim  f ( x ). g ( x )   lim f ( x ). lim g ( x ) x a x a x a

Contoh: lim x 2  x 2

7.

f ( x) f ( x)  xlim , dengan lim g ( x )  0 lim   a lim g ( x) xa  g ( x)  x a xa Contoh: lim x 1  x4 x3

 

4

5






n n lim  f ( x)  lim f ( x ) xa 8. xa Contoh: lim2 x  1  3

x 3

1 lim  0 x   x 9. k lim   (tak hingga) 10. x0 x n

2. Limit Fungsi di tak Hingga a. Limit Bentuk    Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemudian digunakan rumus : lim ax  0 . x 

Contoh:

6 x3  2 x 2  5 x 1. lim  x 12 x3  7 x 2  8 x 6 x3  7 x 2  3 x 2. lim  x  2 x 4  x3  4 x 2

5 x 4  3x 2  2  3. lim x  2 x 3  4 x 2  7 Kesimpulan: Jika f ( x)  a0 x n  a1 x n1 ..... a n dan g ( x )  b0 x m  b1 x m1 ..... bm , maka: 1.

f ( x) a0 lim  untuk n = m x g ( x) b0

5 4 3 Contoh: lim 2 x  x 7 x  x 6 x5 2 x38 x 2

f ( x) lim  0 untuk n < m x g ( x) 10 8 7 Contoh: lim x 2 x 3x  x x12 12 x5  x2 f ( x)   atau - untuk n > m 3. lim x g ( x) 2.

7 4 Contoh: lim 3 x  6 x  2  x 6 2x  7x 4  x3

b. Limit Bentuk     lim x 

f ( x)  g ( x)

Caranya:

Kalikan dengan bentuk sekawannya !

6


lim x 

 f ( x)  g ( x )  

f ( x)  g ( x)    lim f ( x)  g ( x)  x

Contoh: Tentukan nilai limit dari: 1.

lim x 2  6 x  2 x 

2.

lim 2 x 2  x  x

3.

lim 4 x 2  2 x  3  5 x 2  4 x  7 x

4.

lim 2 x  3  2 x  7 x

5.

lim 2 x  3  x  2 x

6.

lim x  6  3x  2 x



x2  4 x  1

x 2  3x

Latihan 2: Tentukan nilai limit dari: 1. 2. 3. 4.

x3 lim x   x 2  x  12 6 x 3  3x lim x   3 x  12 x 2  2 x 3 x4  2x  4 lim x  2 x 2  x  7 4 x  15 lim x  x  1

8x 2  3x  7 5. lim x 3  16x2 3  2x  4x3 6. lim x  6x 2  5 3x3  2x 2 7. lim x  4x3  x 2  3x  1

f ( x )  g ( x) f ( x)  g ( x)


8.

lim ( x  5)  x 2  3x  4 x

9.

lim 2 x  5  4 x  21 x

10. lim

x

x (x  5)  ( 2x 1)

11. lim 2 x  9  2 x  11 x

2 2 12. lim 9x  x  4  9x  5x  3 x 

13. lim x 

2x  1 9x 2  x  4  x 2  2

2 14. lim x  2 x  2 x  1 x

15. lim 3 x  2  x  4 x

Secara umum: lim ax 2  bx  c  px 2  qx  r  x

1)

bq , jika 2 a

a=p

2)

+  , jika

a>p

3)

-  , jika

a
lim ax  b  px  q  x 1)

0, jika a = p

2)

+  , jika

a>p

3)

-  , jika

a
7

8


Penggunaan Limit Misal pada grafik y = f(x), kita akan menghitung gradien garis singgung.

Gradien tali busur AB:

y f (c  h)  f (c) f (c  h)  f (c) mAB    x chc h Bila h  0, maka A dan B berhimpit di x = c sehingga gradien garis singgung di A:

mA  lim h0

f (c  h)  f (c) h

Untuk rumus lebih umum, gradien garis singgung di setiap x:

m  lim h0

f ( x  h)  f ( x)  f ' ( x) . h

Contoh: 1. Misalkan f(x) = x2 – 5x + 4. Tentukan f  (2), f  (0), f  (-1)! 2. Jumlah penduduk suatu daerah pada saat tertentu (per minggu) memenuhi persamaan f(t) = t2 + 2t, t ≥ 0. Hitung laju pertumbuhan penduduk pada saat t = 2 dan t =5! Darla 3.

Latihan 3: Tentukan nilai f’ (x), f ‘ (0) dan f (-1) dari f(x) berikut: 1. f (x) = 2x + 5 2. f (x) = x2 - 3x + 4 Latihan persiapan ulangan harian limit fungsi 1. Kerjakan soal-soal latihan ulangan hal 53 – 55 (buku paket)! 2. Soal tambahan:  Tentukan nilai limit dari: a.

lim x  x 2  5 x  6 x

x  5  x 2  3x  4 b. lim x 2x c. 

lim (3x  2)  9 x 2  8 x  1 x Tentukan f’ (x), dan f (2) dari f(x) = x2 - 6

LIMIT FUNGSI. Tapi jika x hanya mendekati 1, f(x) mendekati nilai berapa..? x 0,9 0,99 0,999 0, ,0001 1,001 1,01 1,1

Recommend Documents