Definisi. Fungsi f(x) dikatakan • monoton naik pada interval I jika untuk x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∀ x1 , x2 ∈ I •
monoton turun pada interval I jika untuk x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) , ∀ x1, x2 ∈I .
Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1
x2
(a) monoton turun
x1
x2
(b) monoton naik
Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika : f '( x ) > 0 ∀ x ∈ I ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika: f '( x ) < 0 ∀ x ∈ I Contoh Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika :
f ( x) =
1 x3 3
− x 2 − 3x + 4
f (x) =
1 3
x 3 − x 2 − 3 x + 4 ⇔ f '( x ) = x 2 − 2 x − 3
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f ' ( x ) > 0 ∀ x ∈ I
f '( x ) > 0 ⇔ x2 − 2x − 3 > 0
(-)
(+)
(+)
⇔ ( x + 1)( x − 3) > 0 ↓ x = −1
↓
f’ -1
x =3
f(x) monoton naik pada selang ( −∞ , − 1) dan (3, ∞ )
3
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x ) < 0 ∀ x ∈ I
f '( x ) < 0 ⇔ x2 − 2x − 3 < 0 ⇔ ( x + 1)( x − 3) < 0 ↓ x = −1
↓ x =3
(-)
(+)
(+) f’
-1
f(x) monoton turun pada selang ( −1,3)
3
Contoh Tentukan
selang
kemonotonan
( x + 1)2 f (x) = x Jawab ( x + 1)2 x 2 + 2 x +1 f (x) = = x x (2 x + 2)( x ) − ( x 2 + 2 x + 1)(1) f '( x ) = x2 2 x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 1) = x2 x 2 −1 = x2
•
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x ) > 0 ∀ x ∈ I
f '( x ) > 0 x 2 −1 (+) (-) (-) ⇔ > 0 2 x ( x + 1)( x −1) ⇔ >0 2 -1 0 x f(x) monoton naik pada selang ( −∞, −1) dan (1, ∞) •
(+) f’ 1
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x ) < 0 ∀ x ∈ I
f '( x ) < 0
(+) (-) x 2 −1 ⇔ <0 2 x ( x + 1)( x −1) -1 0 ⇔ < 0 2 x f(x) monoton naik pada selang ( −1,0) dan (0,1)
(+)
(-)
f’ 1
Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya. Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c ∈ I. maksimum • f(c) disebut nilai global dari f pada I jika minimum f (c ) ≥ f ( x ) ∀x∈I f (c ) ≤ f ( x ) maksimum • f(c) disebut nilai lokal dari f pada I jika terdapat selang minimum f (c ) ≥ f ( x ) buka yang memuat c sehingga untuk setiap x pada selang f (c ) ≤ f ( x ) buka tadi.
Max global
Min global
Min lokal a
b
c
d
Max lokal e
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
f
• Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis. • Ada tiga jenis titik kritis : a. Titik ujung selang I b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f '(c ) = 0 ) c. Titik singular ( x = c dimana f '(c ) tidak ada )
Max global
Min global
Min lokal a
b
c
d
Max lokal e
Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner Titik x = e merupakan titik singular
f
Jika
f '( x ) > 0 f '( x ) < 0
pada selang ( c − ε , c ) dan
f '( x ) < 0 f '( x ) > 0
pada selang ( c , c + ε ) ,
maksimum maka f(c) merupakan nilai lokal f. minimum f(c) f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f ’>0) dan disebelah kanan c monoton turun (f’<0)
c f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f ’<0) dan disebelah kanan c monoton naik (f’>0)
Misalkan f '(c ) = 0 Jika
f ''(c ) < 0 maksimum maka f(c) merupakan nilai f ''(c ) > 0 minimum
lokaldari f.
Contoh Tentukan nilai ekstrim fungsi f ( x ) = 1 3 x 3 − x 2 − 3 x + 4 Jawab: 1 f ( x ) = x 3 − x 2 − 3 x + 4 ⇔ f '( x ) = x 2 − 2 x − 3 3 Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner f '( x ) = 0
⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇔ x1 = − 1 d an x 2 = 3
1 3 f ( x ) = x − x 2 − 3x + 4 3 1 1 1 2 f ( −1) = ( −1)3 − ( −1)2 − 3( −1) + 4 = ( −1) − (1) + 4 = − −1 + 3 + 4 = 5 3 3 3 3 1 3 1 2 f (3) = (3) − (3) − 3(3) + 4 = (27) − 9 + 4 = 9 − 9 − 9 + 4 = −5 3 3
Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.
(-)
(+)
(+) f’
-1 •
3
Pada selang ( −∞, −1) , f ' ( x ) > 0 Pada selang ( −1,3) , f ' ( x ) < 0 2 Jadi f ( −1) = 5 merupakan nilai maksimum lokal 3
•
Pada selang ( −1,3) , f ' ( x ) < 0 Pada selang (3, ∞) , f ' ( x ) > 0 Jadi f (3) = −5 merupakan nilai minimum lokal
•
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( x ) naik pada interval I.
•
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I bila f '( x ) turun pada interval I Uji turunan kedua untuk kecekungan 1. Jika f "( x ) > 0 , ∀ x ∈I maka f(x) cekung ke atas pada I
2. Jika f "( x ) < 0 , ∀ x ∈I maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Tentukan selang kecekungan dari f ( x ) = x 3 Jawab f '( x ) = 3 x 2 dan f "( x ) = 6 x
•
f cekung ke atas jika pada f " ( x ) > 0 , ∀ x ∈ I
f "( x ) > 0 ⇔ 6 x > 0
•
⇔ x >0 Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+∞) f cekung ke bawah jika pada f " ( x ) < 0 , ∀ x ∈ I f "( x ) < 0 ⇔ 6 x < 0 ⇔ x <0 Jadi f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)
• Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau sebaliknya. • Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidak diferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).
f(c)
f(c)
c
(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah
c
(c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas
f(c)
c
(c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. b. c.
f ( x ) = 2 x 3 −1 f ( x) = x
4 1 3
f ( x) = x +1
a. Dari f ( x ) = 2 x 3 −1 maka f "( x ) = 12 x . •
Bila f "( x ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
• •
Fungsi f kontinu di x = 0. Untuk x < 0 maka f "( x ) < 0 , sedangkan untuk
x > 0 maka
f "( x ) > 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
b. Dari f ( x ) = x 4 maka f " ( x ) = 12 x 2 . • Bila f " ( x ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok • Fungsi f kontinu di x = 0 • Untuk x < 0 dan x > 0 maka f " ( x ) > 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.
1
c. f ( x ) = x 3 + 1 maka f "( x ) = • • •
−2 5
.
9x Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0. Fungsi f kontinu di x = 0. Untuk x < 0 maka f " ( x ) > 0 , sedangkan untuk x > 0 maka 3
f " ( x) < 0 .
•
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok.
1. Jika f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 , tentukan: a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal c. Selang kecekungan d. Titik belok (jika ada)
3
2
2. Jika f ( x ) = x − 6 x + 9 x ,tentukan: a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal c. Selang kecekungan d. Titik belok (jika ada)
3
2
2. Jika f ( x ) = 2 x − 3x −12 x + 8 ,tentukan: a. Selang kemonotonan b. Ekstrim Lokal c. Selang kecekungan d. Titik belok (jika ada)
Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Penggunaan Turunan
x2 1. Grafik fungsi f ( x ) = 2 monoton turun pada selang …. x −1 d. ( −∞, −1] ∪ ( −1, 0 ) a. ( 0,1) ∪ (1, +∞ ) b. c.
( −1, 0] ∪ (1, +∞ ) ( −∞, −1) ∪ ( −1, 0 )
e.
( −∞, −1] ∪ [1, +∞ )
x2 2. Grafik fungsi f ( x ) = 2 naik pada selang …. x −1 a. ( −∞ , −1] ∪ [ 0,1] d. ( −∞, −1] ∪ ( −1,0) e. ( −∞, −1] ∪ [1, +∞ ) b. ( −1,0 ] ∪ (1, +∞ )
c. ( −∞, −1) ∪ ( −1, 0 ) 3 2 3. Nilai minimum dari fungsi f ( x ) = x − 3 x + 2 pada selang [1,3] adalah …. a. -4 b. -2 c. 0 d. 1 e. 2
1 4. Titik stasioner fungsi f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 3 x + 4 adalah …. 3 a. x = −1 dan x = 3 d. x = 1 dan x = 3 e. Tidak ada titik stasioner b. x = −3 dan x = 1 c. x = −3 dan x = −1 1 5. Fungsi f ( x ) = x3 − 2 x 2 + 3 x + 4 monoton turun pada selang …. 3 a. 1 < x < 3 d. x < 1 e. x < 3 b. x < 1∪ x > 3 c. x > 3 1 6. Fungsi f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 3 x + 4 cekung ke atas pada selang …. 3 a. (−∞,2) d. (2, +∞) b. (0,2) e. (−2,0) c. (−2, +∞)
1 3 7. Titik belok fungsi f ( x) = x − 2x2 + 3x + 4 adalah …. 3 a. (3,4) d. (0,4) b. (1,4 23) e. (−2, − 263) c. (2,4 23) x −1 8. Titik ekstrim maksimum fungsi f ( x) = 2 adalah …. x a. (3, 29) b. (2, 14) c. (1,0) d. (−2, 34) e. (−1, −2)
9. Fungsi f ( x ) = a. b. c. d. e.
(0,2) ( −∞,0) ∪ (2, +∞) (3, +∞) ( −∞,0) ∪ (0,3) (0,3)
10. Fungsi f ( x ) = a. b. c. d. e.
x −1 monoton turun pada selang …. 2 x
x −1 monoton naik pada selang …. x2
(0,2) ( −∞,0) ∪ (2, +∞)
(3, +∞) ( −∞,0) ∪ (0,3) (0,3)
