PEUBAH ACAK KONTINU
PENDAHULUAN • X dikatakan peubah acak kontinu, jika ada sebuah fungsi non negatif f, yang didefinisikan pada x (, ), semua bilangan real, Mempunyai sifat bahwa untuk sembarang himpunan bilangan real B
P( X B) f ( x)dx
B Fungsi f disebut sebagai fungsi kepekatan peluang
Beberapa Sifat Peubah Acak Kontinyu 1 P{ X ( , )}
f ( x ) dx
Katakan B [ a, b] maka P{a X b}
b
f ( x ) dx a
Jika a b P{ X a}
a
f ( x ) dx 0 a
dengan kata lain P{ X a} P{ X a} F ( a )
a
f ( x ) dx
f.k.p p.a. kontinu 2 3 , untuk x 1 f ( x) x 0, untuk x lainnya • Syarat pertama bahwa f(x) 0 untuk - ≤ x ≤ + jelas terpenuhi 1 2 1 • f ( x)dx 0dx 1 x 3 dx ( x 2 ) 1 (0 (1)) 1
• Jadi f(x) memenuhi syarat sebagai f.k.p
CONTOH • Misalkan X adalah sebuah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
C (4 x 2 x 2 ), 0 x 2 f ( x) 0, selainnya 1. Berapa nilai C 2. Tentukan P{X>1}
2
C (4 x 2 x 2 )dx 1 0 x2
2 2x C 2 x 1 3 x 0 C 3/8 3
Maka
2
3 P{ X 1} f ( x)dx (4 x 2 x 2 )dx 1 / 2 81 1
CONTOH2 • Diketahui suatu fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
x0 e x /100 f ( x) 0 x0 a. P{50 X 150} b. P{ X 100} Jawab
1
f ( x ) dx e x / 100dx 0
Kita dapatkan 1 (100 )e
x / 100
0
100 , 1 / 100
a. P{50 X 150}
150
x / 100 1 / 100 e dx
50
1 e
x / 100
150 50
e 1/ 2 e 3 / 2 0.384
Carasama P{ X 100}
100
1 / 100 e 0
1 e 1 0.633
x / 100
dx e
x / 100
100 0
Fungsi sebaran kumulatif • Didefinisikan FX(x) sebagai x
FX ( x) P( f ( X x)
f ( x)dx
• FX(x) disebut sebagai fungsi sebaran kumulatif p.a X
Fungsi sebaran kumulatif • 0 ≤ FX(x) ≤ 1 • Jika a > b maka FX(a) FX(b) monoton tidak turun • lim FX ( x) 0 x
FX ( x) 1 • xlim
Fungsi sebaran kumulatif • X adalah p.a dengan f.k.p 2 3 , untuk x 1 f ( x) x 0, untuk x lainnya
• Fungsi sebaran kumulatifnya adalah 0 F ( x) 1 1 2 x
, untuk x 1 , untuk x 1
SEBARAN PELUANG SERAGAM • X dikatakan mempunyai sebaran peluang seragam pada (0,1) jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
1 f ( x) 0
0 x 1 selainnya
persamaan f ( x) disebut fkp , karena
1
0
f ( x) 0, dan f ( x)dx f ( x)dx 1
SEBARAN PELUANG SERAGAM Jika 0 a b 1, b
b
a
a
P{a X b} f ( x)dx x b a dengan demikian X peubah fkp seragam pada( , )adalah 1 f ( x) 0
jika x selainnya
acak dengan
SEBARAN PELUANG SERAGAM • Fungsi sebaran dari fkp seragam pada interval (α,β) adalah sebagai berikut x
0 x F ( x) 1
x x
f(x)
1 F(x)
1/(α-β)
α
β
x
α
β
x
SEBARAN NORMAL • X mempunyai sebaran normal, bila mempunyai fkp sebagai berikut
1 ( x ) / 2 f ( x) e , x 2 2
2
f(x) diatas adalah fungsi kepekatan peluang, untuk itu perlu dibuktikan bahwa Integral dari f(x) diatas bernilai 1
1 2
e
( x ) 2 / 2 2
dx 1
substitusi, y ( x ) / , 1 e ( x ) / 2 dx 2 kita harus tunjukkan 2
y e
2
/2
1 ey 2
2
2
/2
dy
2
dy
misal I e y
2
/2
dy, maka
I
2
e
y2 / 2
e
dy e x
2
/2
dx
y2 / 2
e
x2 / 2
dydx e
( y 2 x 2 ) / 2
dydx
dengan koordinat polar x r cos , y r sin , dydx r d dr , maka 2
I
2
e 0
r d dr 2 re r
0
2e r maka I
r 2 / 2
2
0 2
/2
0
2
2
/2
dr
SEBARAN NORMAL • X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2. Kemudian Y=αX+β akan terdistribusi dengan rata-rata α μ +β dan ragam α2 σ2.. FKP Y adalah sebagai berikut
fY ( y)
[ y ( )] exp{ } 2 2( ) 2 1
2
SEBARAN NORMAL • X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, selanjutnya Z=(X- μ)/ σ, menyebar dZ=1/ σ dx, dx = σ dz X= σZ+ μ maka
1 (z ) 2 f Z ( z) exp{ }(dx) 2 2 2 1 exp{ z 2 / 2}dz 2 Z menyebar normal baku dengan rata-rata nol dan ragam 1
Fungsi Distribusi Kumulatif pada Sebaran Normal • X menyebar normal dengan rata-rata μ dan ragam σ2, maka fungsi distribusi dari X adalah FX ( a ) P ( X a ) P( (
X
a
)
a
)
CoNTOH • Jika X menyabar normal dengan μ=3 dan ragam σ2 =9, tentukan (1) P(2<X<5), (2) P(X>0), dan (3) P(|X-3|>6) • Jawab 23 X 3 53 1 2 } P{ Z } 3 3 3 3 3 ( 2 / 3) ( 1 / 3)
1.P ( 2 X 5) P{ 0.3779
X 3 03 } P{Z 1} 3 3 1 ( 1) (1) 0.8413
2.P{ X 0} P{
3.P{| X 3 | 6} P{ X 9} P{ X 3} X 3 93 X 3 33 } P{ } 3 3 3 3 P{Z 2} P{Z 2} P{
0.0456
Pendekatan Normal untuk Kasus Binomial • Jika Sn adalah jumlah yang sukses dari n percobaan secara independen, setiap percobaan menghasilkan peluang sukses p, maka untuk sembarang a
P{a
S n np b} (b) ( a ) np(1 p )
jika n
Contoh • X menunjukkan banyaknya “Head” yang keluar dari mata uang yang dilempar sebanyak 40 secara fair. Berapa peluang X=20. Dekati dengan sebaran normal P{ X 20} P{19 .5 X 20 .5} P
19 .5 20 X 20 20 .5 20 40 (1 / 2)(1 / 2) 10 10
X 20 P 0.16 0.16 10 (0.16 ) ( 0.16 ) 0.1272 dengan binomial 40 1 P ( X 20 ) 20 2
40
0.1268
SEBARAN PELUANG EKSPONENSIAL Peubah Acak X mempunyai sebaran peluang eksponensial, jika mempunyai kepekatan peluang untuk beberapa 0, jika x 0 e x f ( x) 0 jika x 0 Fungsi distribusi kumulatif F ( a ) P{ X a} a
e x dx 0
e x |0a 1 e a ; a 0 Sering dipakai untuk menghitung jumlah percobaan (waktu/panjang) sampai kejadian Spesifik ditemui
CONTOH • Misalkan lamanya waktu menelpon memiliki distribusi eksponensial dengan λ=0.1. Jika seseorang segera datang saat anda selesai menelpon pada telepon umum. Tentukan peluang a) anda menunggu lebih dari 10 menit, b) antara 10 hingga 20 menit
1 x /10 1.P{ X 10} e dx e x /10 |10 e 1 0.368 10 10 20 1 x /10 2.P{10 X 20} e dx e x /10 |1020 10 10 e 1 e 2 0.233
Sebaran Laplacian • X peubah acak yang mempunyai sebaran Laplacian jika mempunyai fungsi kepekatan peluang, 0 1 / 2e x f ( x) x 1 / 2 e
x 0 x0
1 / 2e | x| , x dengan fungsi sebaran kumulatif x x 1 / 2 e dx F ( x) 0 x x 1 / 2 e dx 1 / 2 e x dx 0 x0 1 / 2e x x x 0 1 1 / 2e
x0 x 0
Fungsi Kepekatan Peluang Gamma • X peubah acak mempunyai fkp gamma, maka dengan beberapa parameter (t, λ), λ > 0 dan t > 0, jika kepekatan peluangnya adalah x t 1 e ( x ) f ( x) dimana
,x 0
(t ) 0 ,x 0
(t ) e y dy 0
y
t 1
• Integral parsial adalah (t ) e
y
y
t 1
0
y t 2 e ( t 1 ) y dy 0
(t 1) e y y t 2 dy 0
(t 1) (t 1) dengan
pengulangan
( n ) ( n 1) ( n 1) ( n 1)(n 2) ( n 2) ( n 1)(n 2)......3.2 (1) karena (1)
x e dx 1, maka 0
( n ) ( n 1) !
Distribusi Weibull • X peubah acak mempunyai distribusi weibull, jika mempunyai fungsi peluang kumulatif sebagai berikut : 0 x v F ( x) 1 exp turunannya
xv xv
0 x v 1 x v f ( x) exp
xv xv
Distribusi Beta • X peubah acak mempunyai distribusi beta jika mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut : 1 x a 1 (1 x) b1 0 x 1 f ( x ) B ( a, b) 0 selainnya dim ana 1
B(a, b) x a 1 (1 x) b1 dx 0
Nilai Harapan p.a kontinu
• Tentu saja pada saat menghitung E(X) hanya selang yang memiliki f(x) tidak nol yang digunakan. 2 3 , untuk x 1 f ( x) x 0, untuk x lainnya
Ragam p.a kontinu
X p.a. kontinyu dengan fkp f(x) Maka
E( X )
x f ( x) dx.
Contoh:
X p.a. yang mempunyai fkp seragam. Tentukan nilai harapan X pada selang (a, b)
Jawab
1 b a ; a x b f ( x) 0 Selainnya.
b
x 1 1 2b E( X ) dx x a b a ( b a ) 2 a 1 b 2 a 2 (b a)(b a) b a (b a) 2 2(b a) 2
X p.a. yang mempunyai fkp eksponensial. Tentukan nilai harapan X Jawab:
e x f ( x) 0
x0 x0
