Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

5 April 2017

Garis Besar Pembahasan Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

SUB POKOK PEMBAHASAN


NILAI EKSPEKTASI

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS

RATAAN

MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

VARIANS

DAFTAR PUSTAKA

MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

12

5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN

1. Nilai Ekspektasi

VARIANS

2. Rataan

MOMEN

3. Varians

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

4. Momen

DAFTAR PUSTAKA

5. Fungsi Pembangkit Momen

12

5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN

1. Nilai Ekspektasi

VARIANS

2. Rataan

MOMEN

3. Varians


4. Momen

DAFTAR PUSTAKA

5. Fungsi Pembangkit Momen

12

5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitasnya di x adalah f (x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(X )], didefinisikan sebagai: Z ∞ E [u(X )] = u(x ) · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN 4

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

−∞

DAFTAR PUSTAKA

12

5 April 2017


Definisi Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitasnya di x adalah f (x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(X )], didefinisikan sebagai: Z ∞ E [u(X )] = u(x ) · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN 4

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

−∞

DAFTAR PUSTAKA

Contoh Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk : f (x )

=

2(1 − x ), 0 < x < 1

Tentukan E [X 2 − 1] dan E[X(X+1)] 12

5 April 2017


Sifat-sifat Nilai Ekspektasi


1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c 2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

5

RATAAN VARIANS

3. Jika c1 dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1 (X ) dan u2 (X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka: E [c1 · u1 (X ) + c2 · u2 (X )]

=

NILAI EKSPEKTASI


c1 · E [u1 (X )] + c2 · E [u2 (X )]

DAFTAR PUSTAKA

12

5 April 2017


Sifat-sifat Nilai Ekspektasi


1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c 2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

5

RATAAN VARIANS

3. Jika c1 dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1 (X ) dan u2 (X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka: E [c1 · u1 (X ) + c2 · u2 (X )]

=

NILAI EKSPEKTASI


c1 · E [u1 (X )] + c2 · E [u2 (X )]

DAFTAR PUSTAKA

Contoh Lihat kembali soal pada contoh 1 Hitung E (X 2 − 1) dan E [X (X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi 12

5 April 2017

RATAAN Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah f (x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: Z ∞ E [X ] = x · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI 6

RATAAN VARIANS MOMEN

−∞

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

12

5 April 2017

RATAAN Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah f (x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: Z ∞ E [X ] = x · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI 6


−∞


Contoh Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk : 20x 3 (1 − x ) ; 0 < x < 1 f (x ) = 0 ; x lainnya. Hitung E [X ] 12

5 April 2017

VARIANS Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Varians Diskrit Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai: Z ∞ Var (X ) = (x − µ)2 · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7

VARIANS MOMEN

−∞


12

5 April 2017

VARIANS Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Varians Diskrit Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai: Z ∞ Var (X ) = (x − µ)2 · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7

VARIANS MOMEN

−∞


Contoh

DAFTAR PUSTAKA

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk: −x e ;x >0 f (x ) = 0 ; x lainnya. Hitung Var (X ) 12

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Momen Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi 0 densitas dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai : Z ∞ 0 µk = x k · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 8

−∞


12

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Momen Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi 0 densitas dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai : Z ∞ 0 µk = x k · f (x )dx

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 8

−∞


Momen Sekitar Rataan Kontinu

DAFTAR PUSTAKA

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka momen sekitar rataan ke-k (dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai: Z ∞ µk = (x − µ)k · f (x )dx −∞ 12

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

Contoh

RATAAN

Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk : 2x ;1<x <2 3 f (x ) = 0 ; x lainnya.

VARIANS 9


0

Hitung µ3

12

5 April 2017

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN KONTINU Jika X adalah peubah acak diskrit dan f (x ) adalah fungsi densitas dari X di x , maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: Z ∞ e tx · f (x )dx Mx (t) =

RATAAN VARIANS MOMEN 10


−∞

12

5 April 2017

Daftar Pustaka Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

I

I

I

N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.


J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 1980. M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill, 1982.

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 11

12

DAFTAR PUSTAKA

5 April 2017

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

Terima Kasih

RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

12

12

DAFTAR PUSTAKA

5 April 2017

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Recommend Documents