2. Peubah Acak (Random Variable) EL2002-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan B. Suksmono
Isi 0. • • • • • • • • •
Review dari EL2009 Konsep Peubah Acak Sebaran Peluang Diskrit Sebaran Peluang Kontinyu Sebaran Empiris Sebaran Peluang Gabungan Nilai Harap Hukum Nilai Harap Sifat Variansi Teorema Chebyshev
Konsep Pubah Acak • Eksperimen statistik dipakai untuk menyatakan proses dimana pengukuran peluang dilakukan. • Seringkali, yang lebih penting bukanlah detail dari hasil eksperimen, tetapi gambaran numerik terkait eksperimen tsb. Contoh: pelantunan koin 3 kali memberikan hasil S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} • Gambaran umum mengenai jumlah H yang muncul dapat dilakukan jika nilai-nilai 0, 1, 2, atau 3 bisa dikaitkan dengan hasil diatas. Hal ini dilakukan melalui konsep peubah acak (random variable).
Definisi • Def.2.1: Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan riil yang ditentukan oleh setiap anggota dari ruang cuplikan disebut sebagai peubah acah (random variable). S
Random variable
R -2
0
1
• Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dengan huruf kecil-nya, yakni x untuk kasus ini. Untuk kasus pelantunan koin tsb diatas, X akan bernilai 2 untuk peristiwa: E = {HHT, HTH, THH}
Contoh • Contoh 2.1 Dua bola diambil berturutan secara acak, tanpa penggantian, dari suatu wadah yang berisi empat bola merah (R) dan tiga bola hitam (B). Hasil dapat muncul dan nilai y dari peubah acak Y, dimana Y menyatakan banyaknya bola merah adalah Peristiwa
y
RR
2
RB
1
BR
1
BB
0
… • Contoh 2.2: Petugas penyimpanan helm mengembalikan helm dari tiga orang pegawai Smith, Jones, dan Brown dalam urutan spt itu. Jika helm diambil acak dan dikembalikan sesuai urutan pegawai diatas, dan m menyatakan jumlah helm yang kembali ke pemilik sebenarnya , kemungkinan berikut bisa terjadi: Peristiwa SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
m 3 1 1 0 0 1
Peubah acak diskrit dan kontinyu • Def.2.2: Ruang cuplikan yang mengandung sejumlah berhingga titik cuplikan, atau sejumlah tak berhingga titik sebanyak seluruh bilangan bulat, disebut sebagai ruang cuplikan diskrit, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai peubah acak diskrit. • Def.2.3: Ruang cuplikan yang mengandung sejumlah takberhingga titik cuplikan, sebanyak seluruh titik dalam segmen garis, disebut sebagai ruang cuplikan kontinyu, dan peubah acak yang didefinisikan dalam ruang ini disebut sebagai peubah acak kontinyu.
Sebaran Peluang Diskrit
Sebaran peluang diskrit • Dalam kasus pelantunan koin tiga kali, peubah X yang menyatakan banyaknya H muncul akan memberikan peluang 3/8 untuk x=2. • Untuk kasus pengembalian helm, peluang tidak satupun pegawai mendapatkan helm yang benar, yakni m=0, adalah 2/6=1/3. Kita bisa membuat tabel berikut: m
0
1
3
P(M=m)
1/3
1/2
1/6
• Nilai m menyatakan semua kasus yang mungkin terjadi, sehingga seluruh peluang akan berjumlah 1. • Seringkali lebih praktis menyatakan semua kemungkinan peubah acak X kedalam formula. Jadi kita tuliskan f(x) = P(X=x) , misalnya f(3) = P(X=3)
Fungsi atau sebaran peluang •
Def.2.4: Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau sebaran peluang dari peubah acak X jika, untuk setiap hasil yang muncul x berlaku: 1. f(x) ≥ 0 2. Σx f(x) = 1 3. P(X =x) = f(x)
•
Contoh 2.3: Tentukan sebaran peluang dari jumlah sepasang mata dadu jika dilantunkan. Jawab: Andaikan X peubah acak yang nilainya x merupakan jumlah pasangan mata dadu. Maka x akan bernilai dari 2 sampai 12. Sepasang dadu akan memiliki kombinasi muncul sebanyak 6⋅6 = 36 cara, masing-masing dengan peluang 1/36.
•
.. Mata Dadu
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
X
x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
f(x)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Sebaran kumulatif • Def.2.5: Sebaran kumulatif F(x) dari peubah acak diskrit X dengan sebaran peluang f(x) adalah F(x) = P(X ≤ x) = Σt≤x f(t) •
•
Contoh 2.4 dan 2.5: Suatu koin dilantunkan empat kali. Tentukan: 1) formula sebaran peluang munculnya H yaitu f(x), dan 2) sebaran kumulatif F(x) nya. Jawab: 1. Jumlah titik cuplikan ada 24 = 16. Jika x menyatakan banyaknya muncul H, akan ada kombinasi sebanyak C(4,x). Dengan demikian f(x) = C(4, x)/16, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4 f(0) = (4!/4!)/16 = 1/16 ; f(1)=(4!/3!)/16 = 4/16; f(2) = (4!/(2!2!))/16 = 6/16; f(3) = f(1); f(4)= f(0); 1. Berdasarkan Def.2.5, diperoleh : F(0) = f(0) = 1/16; F(1) = f(0) + f(1) = 5/16; ... dst
… •
Dengan demikian
⎧0, untuk x < 0 ⎪ 1 , untuk 0 ≤ x < 1 ⎪ 16 ⎪⎪ 516 , untuk 1 ≤ x < 2 F (x ) = ⎨ 11 , untuk 2 ≤ x < 3 ⎪ 16 ⎪1516 , untuk 3 ≤ x < 4 ⎪ ⎪⎩1, untuk x ≥ 4
F(x) 1 3/4 1/2 1/4
0
1
2
3
4
Sebarang kumulatif diskrit
x
Sebaran peluang dlm bentuk grafis •
6/16
Dari contoh 2.4: f(x) = C(4, x)/16 X
0
1
2
3
4
f(x)
1/16
4/16
6/16
4/16
1/16
6/16
f(x)
5/16
5/16
4/16
4/16
3/16
3/16
2/16
2/16
1/16
f(x)
Luas=f(x)
1/16
0
1 2 3 Bar-chart
4
x
0 1 2 3 4 Histogram peluang
x
2.3 Sebaran peluang kontinyu
Arti kerapatan peluang (kontinyu) • Tinjau sebaran tinggi badan dari orang berumur 21 thn. Antara sebarang dua nilai, mis. 163.5 – 164.5, ada tak hingga macam tinggi badan. – Peubah acak kontinyu memiliki peluang nol untuk suatu nilai eksak dari peubah acak ini. P(a<X≤b) = P(a<X
• Peubah acak kontinyu tidak dapat ditampilkan secara tabular, namun bisa dinyatakan dalam rumus. • Peubah acak kontinyu dinyatakan dalam suatu fungsi rapat peluang f(x)
Fungsi rapat peluang kontinyu • Suatu fungsi rapat peluang dibentuk sedemikian hingga integrasi daerah dibawah kurva ke seluruh X memberikan luas sebesar satu. f(x)
a
b
b
x
P (a < X < b ) = ∫ f ( x )dx a
• Penentuan nilai peluang dalam rentang peubah acak antara a dan b.
Def. fungsi rapat peluang kontinyu •
Def.2.6: Suatu fungsi f(x) adalah fungsi rapat peluang untuk peubah acak kontinyu X yang didefinisikan ke seluruh himpunan bilangan riil R, jika 1. 2. 3.
•
•
f(x) ≥ 0 untuk semua x∈R ∫∞-∞ f(x) dx = 1. P(a<X
Contoh: andaikan peubah acak X memiliki fungsi rapat peluang: f(x) = x2/3; -1<x<2 dan f(x)=0 selain itu. Tentukan: (1) kondisi 2 pada Def.2.6, dan (2) Tentukan P(0< X ≤1) Jawab: 1) ∫∞-∞ f(x) dx = ∫2-1(x2/3)dx = x3/9|2-1 =(8/9) + (1/9) = 1 2) P(0< X ≤1) = ∫10(x2/3)dx= x3/9|10= 1/9
Sebaran peluang kumulatif kontinyu • Def.2.7: Sebaran peluang kumulatif F(x) dari suatu peubah acak kontinyu X dengan fungsi kerapatan f(x) diberikan oleh x F (x ) = P( X ≤ x ) = ∫ f (t )dt −∞
• Ada dua hasil langsung dari Def.2.7, yaitu: 1) P(a<X
Contoh • Soal: Untuk fungsi pada contoh 2.6., tentukan F(x) dan gunakan untuk menghitung P(0< X ≤1) • Jawab: F(x) = ∫∞-∞ f(t) dt = ∫x-1 (t2/3)dt = t3/9|x-1 = (x3+1)/9 Oleh karena itu, P(0< X ≤1) = F(1) – F(0) = (2/9) – (1/9) = 1/9
2.4 Sebaran Empiris
Sebaran frekuensi relatif • Dalam percobaan, seringkali fungsi rapat peluang f(x) untuk peubah acak kontinyu X tidak diketahui. • Pemilihan f(x) harus mempertimbangkan setiap informasi yang tersedia dari data. • Tinjau sebaran frekuensi relatif dari 40 buah umur batere mobil dalam Tabel 2.1. Pabrik menjamin umur batere adalah 3 tahun. Tabel 2.1. Umur batere dalam tahun 2.2 3.4 2.5 3.3 4.7
4.1 1.6 4.3 3.1 3.8
3.5 3.1 3.4 3.7 3.2
4.5 3.3 3.6 4.4 2.6
3.2 3.8 2.9 3.2 3.9
3.7 3.1 3.3 4.1 3.0
3.0 4.7 3.9 1.9 4.2
2.6 3.7 3.1 3.4 3.5
Lanjutan … • Andaikan diambil 7 kelas, dng demikian besar interval adalah (max-min)/kelas = (4.7-1.6)/7=0.443. Tabel 2.2 menunjukkan sebaran frekuensi relatif-nya. Tabel 2.2 Interval Kelas
Titik tengah kelas
Frekuensi (f)
Frekuensi relatif
1.5 - 1.9
1.7
2
0.050
2.0 - 2.4
2.2
1
0.025
2.5 – 2.9
2.7
4
0.100
3.0 – 3.4
3.2
15
0.375
3.5 – 3.9
3.7
10
0.250
4.0 – 4.4
4.2
5
0.125
4.5 – 4.9
4.7
3
0.075
Histogram dan estimasi fungsi rapat peluang 0.375
f(x)
0.250
0.125
1.7
2.2
2.7
3.2
3.7
4.2
4.7
• Bentuk kurva: lingkaran? Hiperbola? Elips? Parabola f(x) = ax2 + bx + c, untuk a, b, c tertentu? • Banyak fungsi kerapatan peluang yang dapat dinyatakan dalam kurva berbentuk lonceng (Gaussian).
Skewness dari data • Sebaran bersifat simetrik (setangkup) atau tak simetrik (skewed).
Skew ke kanan
setangkup
Skew ke kiri
Sebaran kumulatif • Berdasarkan Tabel 2.2, kita dapat membuat sebaran frekuensi kumulatif dari umur batere, spt pada Tabel 2.3 dan estimasi F(x). Batas kelas
Frekuensi kumulatif relatif
< 1.45
0.000
< 1.95
0.050
< 2.45
0.075
< 2.95
0.175
< 3.45
0.550
< 3.95
0.800
< 4.45
0.925
< 4.95
1.000
Frekuensi kumulatif relatif 1.000
0.750
F(x) decile ke tujuh ~3.70
*
*
*
0.500
0.250
*
Kuartil pertama ~3.05
* * *
1.45
*
2.45
3.45
4.45 Umur batere
2.5 Sebaran Peluang Gabungan
Peluang gabungan diskrit • Jika dimensi ruang cuplikan lebih dari satu, misalnya hasil pengukuran dua besaran P dan V yng dinyatakan sbg (p, v), kita sebut sebaran peluangnya sebagai sebaran peluang gabungan. •
Def.2.8: Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari dua peubah diskrit X dan Y jika
1. f(x,y) ≥ 0 untuk seluruh (x,y) 2. ∑x ∑y f(x,y) = 1 3. P[(X,Y)∈A] = ∑∑A f(x,y) untuk sebarang daerah A dalam bidang xy.
Contoh 2.8 • Soal: Suatu kotak berisi tiga refil (tinta isian) berwarna biru, dua refil merah, dan 3 refil hijau. Akan diambil dua refil secara acak dari kotak tsb. Jika X menyatakan jumlah refil biru, dan Y jumlah refil merah, tentukan: (1) fungsi peluang gabungan f(x,y), dan (2) P[(X,Y)∈A], dimana A adalah daerah {(x,y)|x + y≤1}. • Jawab: pasangan (x,y) yang dapat muncul adalah (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2), dan (2,0). Tinjau f(0,1) yang menyatakan peluang terpilihnya refil merah dan hijau (karena refil biro nol). Jumlah total kombinasi terpilihnya dua refil dari delapan buah refil yang ada di dalam kotak adalah C(8,2) = 8!/(6!)(2!)=8⋅7/2=28. Cacah kombinasi terpilihnya satu dari dua refil berwarna merah dan satu dari tiga refil hijau adalah C(2,1)⋅C(3,1) = 2⋅(3!/2!) = 6. Dengan demikian, f(0,1) = 6/28 =3/14. Dengan cara yang sama, nilai f(x,y) untuk seluruh rentang nilai diskrit x dan y yang mungkin dapat ditentukan. Hasilnya ditampilkan pada Tabel 2.4 berikut ini.
… Tabel 2.4 Sebaran peluang gabungan y
x
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
-
2
1/28
-
-
2). P[(X,Y)∈A] = P(X + Y ≤ 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = 3/28 + 3/14 + 9/28 = 9/14
Peluang gabungan kontinyu •
•
Def.2.9: Suatu fungsi f(x,y) adalah fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak kontinyu X dan Y jika 1. f(x,y) ≥0 untuk semua (x, y) 2. ∫∫-∞∞ f(x,y) dxdy = 1 3. P[(X,Y)∈A] = ∫∫Af(x,y) dx dy Contoh 2.9: Tinjau fungsi rapat peluang berikut f(x,y) = x(1+3y2)/4; 0<x<2, 0
∞ ∞
(
)
x 1+ 3y2 (1) ∫ ∫ f (x, y )dxdy = ∫ ∫ dxdy 4 − ∞− ∞ 0 0 1 2
⎛ x 3x y = ∫ ⎜⎜ + 8 8 0⎝ 1
2
⎛ 1 3y = ∫ ⎜⎜ + 2 2 0⎝ 1
2
2
2
x=2
⎞ ⎟⎟ dy ⎠ x =0 1
⎞ ⎛y y ⎞ 1 1 ⎟⎟dy = ⎜⎜ + ⎟⎟ = + = 1 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠0 2 2 3
(2) P[( X , Y ) ∈ A] = P(0 < X < 1, 14 < Y < 12 ) 1
(
)
x 1+ 3y2 dxdy = ∫∫ 4 1 0 21
4
1
⎛ x 3x y = ∫ ⎜⎜ + 8 1 ⎝ 8 4 2
2
2
2
x =1
⎞ ⎟⎟ dy = ⎠ x =0
1
⎛ 1 3y ∫1 ⎜⎜⎝ 8 + 8 4 2
1 ⎞ 23 ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 = ⎜ + ⎟−⎜ + ⎟= ⎝ 16 64 ⎠ ⎝ 32 512 ⎠ 512
2
1
⎞ ⎛y y ⎞ 2 ⎟⎟dy = ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎠ ⎝8 8 ⎠1 3
4
Sebaran peluang marjinal • Jika f(x,y) adalah sebaran gabungan dari peubah acak X dan Y, maka sebaran peluang untuk masing-masing peubah acak X dan Y (sebaran marjinal) adalah: Diskrit: g(x) = ∑y f(x,y) h(y) = ∑x f(x,y) Kontinyu: g(x) = ∫-∞∞ f(x,y) dy h(y) = ∫-∞∞ f(x,y) dx
… • Fungsi g(x) dan h(y) disebut sebagai sebaran marjinal dari X dan Y. Bahwa masing-masing benar berupa fungsi sebaran dapa diperiksa berdasarkan Def.2.4. dan Def.2.6. Sbg contoh, untuk kasus kontinyu: ∫-∞∞ g(x) dx = ∫-∞∞∫-∞∞ f(x,y) dy dx = 1 dan P(a<X
= P(a<X
Sebaran bersyarat diskrit • Kembali ke definisi peluang bersyarat: P(B|A) = P(A∩B)/P(A), P(A)>0 Jika A dan B adalah peristiwa yang dimana X=x dan Y=y, P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y)/P(X=x) = f(x,y)/g(x) ; g(x) >0 untuk peubah acak diskrit X dan Y. • Dapat ditunjukkan bahwa fungsi f(x,y)/g(x) memenuhi syarat sebagai sebaran peluang dan akan dituliskan sebagai f(y|x), yakni: f(y|x) = f(x,y)/g(x), g(x)>0 dan disebut sebagai sebaran bersyarat dari peubah acak diskrit Y, diberikan X=x. •
Dengan cara sama, sebaran bersyarat f(x|y) dari peubah acak X jika diberikan Y=y dapat dituliskan sebagai
f(x|y) = f(x,y)/h(y),
h(y)>0
Sebaran bersyarat kontinyu • Perdefinisi, sebaran rapat peluang bersyarat dari peubah acak kontinyu X, jika diberikan Y=y adalah f(x|y) = f(x,y)/h(y), h(y)>0 sedangkan sebaran rapat peluang bersyarat untuk peubah acak kontinyu Y, diberikan X=x, adalah f(y|x) = f(x,y)/g(x), g(x)>0 • Peluang dari peubah acak kontinyui X yang terletak antara a dan b, jika diketahui Y=y, dapat dihitung sbb: P(a<X
Contoh 2.10 • Soal: Mengacu ke contoh 2.8 tentang pengambilan refil tinta, tentukan f(x|1) dan P(X=0|Y=1). • Jawab: f(x|1) = f(x,1)/h(1), tentukan tlbh dulu h(1) h(1) = ∑x=01 f(x,1) = (3/14)+(3/14)+0 = 3/7 Karena itu f(x|1) = (7/3) f(x,1), untuk x=0, 1, 2. Karena itu f(0|1) = (7/3) f(0,1) = (7/3)(3/14) = ½ f(1|1) = (7/3) f(1,1) = (7/3)(3/14) = ½ f(2|1) = (7/3) f(2,1) = (7/3) (0) = 0 dan sebaran bersyarat untuk X, diberikan Y=1 adalah
x f(x|1)
0 ½
1 ½
• Akhirnya, P(X=0|Y=1) = f(0|1) = 1/2
2 0
Contoh 2.11 • Soal: Fungsi kerapatan gabungan dari peubah acak X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) = 8xy; 0<x<1, 0
Jawab: Berdasarkan definisi, kita peroleh hasil-hasil berikut ini: g(x)= ∫-∞∞ f(x,y) dy = ∫0x 8xy dy = 4xy2|xy=0 = 4x3 ; 0<x<1 h(y)= ∫-∞∞ f(x,y) dx = ∫0y 8xy dx = 4x2y|yx=0 = 4y3 ; 0
Kebebasan Statistik • Contoh 2.12: Tinjau kasus fungsi kerapatan bersama pada Contoh 2.9. Tentukan g(x), h(y), f(x|y), dan P(1/4<X<1/2|Y=1/3) • Jawab: Berdasarkan definisi kita peroleh g(x)= ∫-∞∞ f(x,y) dy = ∫0x x(1+3y2)/4 dy = x/2; 0<x<2 h(y)= ∫-∞∞ f(x,y) dx = ∫0y x(1+3y2)/4 dx = (1+3y2)/2 ; 0
… • Bukti: substitusikan f(x,y) = f(x|y)h(y) ke sebaran marjinal dari X, yakni g(x)= ∫-∞∞ f(x,y) dy= ∫-∞∞ f(x|y)h(y) dy Karena f(x|y) tdk bergatung y, maka peluang bersyarat ini bisa dikeluarkan dari integral. Akibatnya g(x)= f(x|y) ∫-∞∞ h(y) dy = f(x|y)⋅1 = f(x|y) Oleh karena itu g(x) = f(x|y) dan f(x,y) = g(x)⋅h(y) • Hasil ini dirangkum dalam definisi berikut
Def. Kebebasan Statistik • Def.2.10: Andaikan X dan Y dua peubah acak, baik diskret maupun kontinyu, dengan sebaran peluang gabungan f(x,y) dan sebaran marjinal g(x) dan h(y). Peubah acak X dan Y disebut bebas secara statistik, jika dan hanya jika, f(x,y) = g(x)⋅h(y) untuk semua nilai (x,y) • Peubah acak kontinyu pada contoh 2.12 adalah bebas secara statistik • Peubah acak kontinyu pada contoh 2.11 tidak bebas statistik • Berdasarkan contoh 2.8: f(0,1) = 3/14 g(0) = ∑2y=0 f(0,y) = 3/28 + 3/14 + 1/28 = 5/14 h(1) = ∑2x=0 f(x,1) = 3/14 +3/14 + 0 = 3/7 Jelas bahwa f(0,1) ≠g(0)⋅h(1), dengan demikian X dan Y dalam contoh 2.8 tidak bersifat bebas secara statistik
Generalisasi ke n-buah peubah acak • Hasil-hasil yang diperoleh dari 2-buah peubah acak dapat digeneralisasi ke n-buah peubah acak. Tinjau fungsi peluang bersama f(x1, x2, …, xn) dari peubah acak X1, X2, …, Xn. • Sebaran marjinal untuk X1 diberikan oleh diskrit: g(x1) = ∑x2 …∑xn f(x1, x2, …, xn) kontinyu: g(x1) = ∫-∞∞… -∞∞ f(x1, x2, …, xn)dx2…dxn • Sebaran marjinal gabungan φ(x1, x2) diskrit: φ(x1, x2) = ∑x3 …∑xn f(x1, x2, …, xn) kontinyu: φ(x1, x2) = ∫-∞∞… -∞∞ f(x1, x2, …, xn)dx3…dxn • Sebaran gabungan bersyarat X1, X2, X3 diberikan X4= x4, X5= x5, …, Xn= xn adalah
f(x1, x2, x3| x4, x5, …, xn) = f(x1, x2, …, xn) /g(x4, x5, …, xn)
Generalisasi kebebasan statistik •
Def.2.11: Andaikan X1, X2, …, Xn adalah n-buah peubah acak, diskrit atau kontinyu, dengan sebaran peluang bersama f(x1, x2, …, xn) dan sebaran marjinal f1(x1), f2(x2), …, fn(xn). Peubah acak X1, X2, …, Xn disebut saling bebas secara statistik jika dan hanya jika f(x1, x2, …, xn) = f1(x1)⋅f2(x2) ⋅ … ⋅ fn(xn)
•
Contoh 2.13: Andaikan X1, X2, dan X3 adalah tiga peubah acak yang saling bebas secara statistik dan andaikan masing-masing memiliki fungsi rapat peluang: f(x) = e-x , x>0 =0 , selain itu Tentukan P(X1<2, 1<X2<3, X3>2) Jawab: Fungsi rapat peluang bersama dari X1, X2, dan X3 adalah f(x1, x2, x3) = f(x1) f(x2) f(x3) = e-x1 e-x2 e-x3 = exp(-x1 - x2 - x3), x1>0, x2>0, x3>0
•
maka P(X1<2, 1<X2<3, X3>2) = ∫2∞ ∫13 ∫02 exp(-x1 - x2 - x3) dx1dx2dx3
=(1 - e-2) (e-1 - e-3) e-2 = 0.0376
Latihan • • • •
Peluang marjinal: 23 dan 24 Peluang bersyarat: 27 dan 28 Kebebasan statistik: 29, 30 Joint PDF: 32
2.6 Nilai Harap dari Peubah Acak
Konsep dan Definisi • Jika dua buah koin dilantunkan 16 kali dan X menyatakan jumlah munculnya sisi H per-lantunan, maka X dpt bernilai 0, 1, atau 2. Jika eksperimen ini menghasilkan 4 lantunan tanpa H, 7 lantunan dengan 1H, dan 5 lantunan dengan 2H, maka rata-rata jumlah H perlantunan dari dua koin adalah: (0⋅4 + 1⋅7 + 2⋅5)/16 = 1.06 • Nilai rata-rata dari peubah acak yang demikian disebut sebagai nilai harap (expected value). • Def.2.12: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(x). Nilai harap dari X adalah E(X) = ∑x x⋅f(x) ; untuk X diskrit ; untuk X kontinyu = ∫-∞∞ x⋅f(x)dx
Contoh 2.14 • Soal: Hitung nilai harap dari jumlah Kimiawan dalam seleksi suatu Komite yang terdiri dari tiga orang, berdasarkan 4 kandidat Kimiawan dan 3 kandidat Biologiwan • Jawab: Jika X menyatakan banyaknya Kimiawan dalam Komite, maka sebaran peluang dari X akan diberikan oleh f(x) = C(4, x)⋅C(3, 3-x)/C(7,3); x=0, 1, 2, 3 -----------------------------------------------------------------{kombinasi x dari 4 Kimiawan} * {kombinasi (3-x) dari 3 angg. komite}
yakni f(0)=1/35, f(1)=12/35, f(2)=18/25, dan f(3)=4/35. Oleh karena itu: E(X) = 0⋅(1/35)+1⋅(12/35)+2⋅(18/35)+3⋅(4/35) = 12/7 = 1.7
Contoh … • Soal: Andaikan X peubah acak yang menyatakan waktu hidup lampu tabung dalam jam. Fungsi kerapatan peluangnya dinyatakan sebagai: f(x) = 20.000/x3, x>100 =0 , selain itu Tentukan nilai harapan hidup dari tabung jenis ini. • Jawab: Berdasarkan Def.2.12, maka E(X) = ∫∞100 x⋅(20.000/x3)dx = ∫∞100 (20.000/x2)dx = = 20.000 (-x-1)|∞100 = 0+200 = 200
Nilai harap g(X) • Tinjau fungsi g(X) dari peubah acak X. Sbg contoh untuk X diskrit dengan sebaran peluang f(x), dimana x=-1, 0, 1, 2 dan g(X)=X2, maka P[g(X)=0] = P(X=0) = f(0) P[g(X)=1] = P(X=-1)+P(X=1) = f(-1)+f(1) P[g(X)=4] = P(X=2) = f(2) Perdefinisi 2.12, E[g(X)] = ∑g(x) g(x)P[g(X)=g(x)] = 0⋅P[g(X)=0] + 1⋅P[g(X)=1]+4⋅P[g(X)=4] = 0⋅f(0) + 1⋅[f(1)+f(-1)] +4⋅f(2) = ∑x g(x)⋅f(x) • Hasil ini diformulasikan sebagai Teorema 2.1
Nilai harap dari g(X) … • Teorema 2.1: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(x). Nilai harap dari fungsi g(X) adalah E[g(X)]= ∑x g(x)⋅f(x) ; jika X diskrit ; jika X kontinyu = ∫-∞∞ g(x)⋅f(x)dx • Contoh 2.17: Andaikan X adalah peubah acak dengan sebaran peluang berikut x | 0 1 2 3 ---------------------------------------------f(x)| 1/3 ½ 0 1/6 Tentukan nilai harap dari Y = (X-1)2 • Jawab: Berdasarkan Teorema 2.1, nilai harap dari Y adalah E[(X-1)2] = ∑03 (x-1)2 f(x) = (-1)2⋅f(0) + (0)2⋅f(1) + (1)2⋅f(2) + (2)2⋅f(3) = (1)2⋅(1/3) + (0)⋅(1/2) + (1)⋅(0) + (4)⋅(1/6) = 1
Nilai harap dari g(X,Y) • Def.2.13: Andaikan X dan Y peubah acak dengan sebaran peluang bersama f(x,y). Nilai harap dari fungsi g(X,Y ) adalah E[g(X,Y)] = ∑x,y g(x,y)⋅f(x,y) ; jika X dan Y diskrit = ∫-∞∞ ∫-∞∞ g(x,y)⋅f(x,y)dxdy ; jika X dan Y kontinyu y
x
0
1
2
0
3/28
9/28
3/28
1
3/14
3/14
-
2
1/28
-
-
•
Contoh 2.19: Andaikan X dan Y dua peubah acak dengan sebaran peluang spt pada Tabel 2.4 (lihat sebelah). Tentukan nilai harap g(X,Y)=XY !
• Jawab: Perdefinisi 2.13, kita dapat menyatakan E(XY) = ∑2x=0 ∑ 2y=0 xy⋅f(x,y) = 0⋅0⋅f(0,0) + 0⋅1⋅f(0,1) + 0⋅2⋅f(0,2) + 1⋅0⋅f(1,0) + 1⋅1⋅f(1,1) + 2⋅0⋅f(2,0) = 0 + 0 + 0 + 0 + f(1,1) + 0 = f(1,1)
2.7 Hukum Nilai Harap
Teorema • Teorema 2.2: Jika a dan b konstanta, maka E(aX + b) = aE(X) + b • Corollary 1: Dengan membuat a=0, maka E(b) = b • Corollary 2: Dengan membuat b=0, maka E(aX) = aE(X)
Teorema • Teorema 2.3: Nilai harap dari jumlah atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi dari peubah acak X adalah jumlah atau perbedaan dari nilai harap fungsinya. Yakni E[g(X) ± h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)] •
Contoh 2.21: Dalam contoh 2.17, kita dapat menuliskan E[(X-1)2] = E(X2 – 2X +1) = E(X2) -2E(X) + E(1) Dari Corollary 1, E(1) = 1, Sehingga E(X) = 0⋅(1/3) + 1⋅(1/2) + 2⋅(0) + 3⋅(1/6) = 1 E(X2) = 0⋅(1/3) + 1⋅(1/2) + 4⋅(0) + 9⋅(1/6) = (1/2) + 1.5 = 2 Dengan demikian E[(X-1)2] = 2- 2⋅1 + 1 = 1 x | 0 1 2 3 ----------------------------------------------------------f(x)| 1/3 ½ 0 1/6
Teorema • Teorema 2.4: Nilai harap dari jumlah atau perbedaan dari dua atau lebih fungsi dari peubah acak X dan Y adalah jumlah atau perbedaan dari nilai harap fungsinya. Yakni E[g(X,Y) ± h(X,Y)] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)] • Corollary: Dengan membuat g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y diperoleh E[X ± Y] = E[X] ± E[Y] • Teorema 2.5: Andaikan X dan Y dua peubah acak yang saling bebas. Maka E[X⋅Y] = E[X] ⋅ E[Y]
Contoh 2.23 • Andaikan X dan Y dua peubah acak yang saling bebas dengan sebaran peluang f(x,y) = x(1+3y2)/4 ; 0<x<2, 0
(
)
(
x y 1+ 3y x y 1+ 3y E ( XY ) = ∫ ∫ dxdy = ∫ 4 12 0 0 0 1 2
2
(
2
)
1
3
(
x 1+ 3y x 1+ 3y E(X ) = ∫ ∫ dxdy = ∫ 4 12 0 0 0 1 2
2
(
2
)
1
3
(
2
)
2
1
2
)
x=2
(
)
2 y 1+ 3y2 5 dy = ∫ dy = 3 6 0 x =0
x=2
1
(
)
2 1+ 3y2 4 dy = ∫ dy = 3 3 0 x =0
xy 1 + 3 y x y 1+ 3y E (Y ) = ∫ ∫ dxdy = ∫ 4 8 0 0 0 1 2
2
2
)
1
x=2
(
)
5 y 1+ 3y2 dy = ∫ dy = 2 8 0 x =0 1
Terlihat bahwa, E(X)⋅E(Y)=(4/3)⋅(5/8) = (5/6) = E(XY)
2.8 Ekspektasi Khusus Momen ke-k dan variansi
Momen ke-k • Jika g(X) = Xk, Teorema 2.1 akan menghasilkan nilai yang disebut sebagai momen ke-k dari titik asal dari peubah acak X, yang dinyatakan sebagai μ’k. Karena itu
μ k' = E (X k ) = ∑ x k f ( x )
; X diskrit
x
∞
=
k x ∫ f (x )dx
; X kontinyu
−∞
• Jika k=0, kita dapatkan E(1) = 1 karena μ’0= E(1) = ∑x f(x) = 1 ; X diskrit ; X kontinyu = ∫∞-∞ f(x) dx =1 • Jika k=1, kita dapatkan μ’1=E(X), yaitu nilai harap peubah acak X. Momen pertama juga disebut mean dari peubah acak μ, jadi μ ≡ μ’1=E(X)
Momen ke-k thd mean, variansi • Jika g(X) = (X-μ)k, Teorema 2.1 menghasilkan momen kek terhadap mean dari peubah acak X, yang dilambangkan sebagai μk. Dengan demikian:
[
]
μk = E ( X − μ )k = ∑ (x − μ )k f (x ) ; X diskrit x
∞
=
k ( ) x − μ f ( x )dx ∫
; X kontinyu
−∞
• Momen kedua terhadap mean, μ2, memberikan ukuran keragaman (variability) hasil pengamatan terhadap mean. μ2 disebut juga sebagai variansi dari peubah acak X, dinyatakan sebagai σ2. σ2 = μ2 = E[(X-μ)2] • Akar kuadrat positif dari variansi disebut sebagai simpangan baku (standard deviation).
Variansi • Teorema 2.6: Variansi dari peubah acak X diberikan oleh σ2 = E(X2) - μ2 •
Bukti: σ2 = E[(X-μ)2] = E(X2 - 2μX+μ2) = E(X2) - 2μE(X) + E(μ2) = E(X2) - 2μ⋅μ + μ2 = E(X2) - μ2
Contoh 2.24 • Soal: Hitung variansi dari X, dimana X adalah banyaknya Kimiawan dalam komite yang terdiri dari 3 orang dan dipilih dari 4 Kimiawan dan 3 Biologiwan • Jawab: Dalam contoh 2.14 sudah didapatkan μ = 12/7. Selanjutnya E(X2) = 02⋅(1/35) + 12⋅(12/35) + 22⋅(18/35) + 32⋅(4/35) = 24/7 Oleh karena itu σ2 = 24/7 – (12/7)2 = 24/49
Contoh 2.25 • Soal: Tentukan mean dan variansi dari peubah acak X, dimana X memiliki fungsi kerapatan f(x) = 2(x-1), 1<x<2 = 0, selain itu • Jawab: 2
μ = E ( X ) = 2 ∫ x(x − 1)dx = 5 3
( )
2
1
E X 2 = 2 ∫ x 2 ( x − 1)dx = 17 6 1
Oleh karena itu: σ2 = (17/6) – (5/3)2 = 1/18
Kovariansi • Jika g(X,Y) = (X-μX)(Y-μY), dimana μX=E(X) dan μY= E(Y), Def. 2.13 akan menghasilkan nilai harap yang disebut kovariansi dari X dan Y, yng dilambangkan sebagai σXY atau cov(X,Y).
σ XY = E [( X − μ X )(Y − μY )]
= ∑∑ ( x − μ X )( y − μY ) f ( x, y ) x
y
∞ ∞
=
; X dan Y diskrit
∫ ∫ (x − μ )( y − μ ) f (x, y )dx dy ; X dan Y kontinyu X
− ∞− ∞
Y
Sifat-sifat Kovariansi • Kovariansi positif: – tingginya nilai X berasosiasi dengan tingginya nilai Y, dan – rendahnya nilai X berasosiasi dengan rendahnya nilai Y
• Kovariansi negatif: – tingginya nilai X berasosiasi dengan rendahnya nilai Y, atau sebaliknya
• Jika X dan Y saling bebas secara statistik, maka kovariansi akan bernilai nol. Hal sebaliknya tidak berlaku, kovariansi nol tidak berarti X dan Y saling bebas statistik.
Kovariansi .. • Teorema 2.7 Kovariansi dari dua buah peubah acak X dan Y dengan mean masing-masing μX dan μY adalah σXY = E(XY) - μX⋅μY • Bukti:
σXY = E[(X - μX)(Y - μY)] = E(XY- μXY- μYX+ μXμY) = E(XY)- μXE(Y)- μYE(X) +E(μXμY) = E(XY) - μXμY - μYμX+ μXμY = E(XY) - μXμY
Contoh 2.26 • Tinjau sebaran peluang bersama pada contoh 2.8. dan perhitungan 2.19 yang menghasilkan E(XY) = 3/14. y
x
0
1
2
h(y)
0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
3/14
3/14
-
12/28
2
1/28
-
-
1/28
g(x)
10/28
15/28
3/28
μX = E(X) = ∑2x=0 ∑ 2y=0 xf(x,y) = ∑2x=0 xg(x) = 0(10/28)+1(15/28)+2(3/28) =21/28=3/4
Sedangkan μY = E(Y) = ∑2x=0 ∑ 2y=0 yf(x,y)= ∑2y=0yh(y) = 0(15/28)+1(12/28)+2(1/28) = 14/28 = ½ Akibatnya σXY = E(XY) - μX μY = 3/14 – (3/4)(1/2) = -9/56
2.9 Sifat-Sifat Variansi
Sifat-sifat variansi … • Teorema 2.8: Andaikan X suatu peubah acak dengan sebaran peluang f(X). Variansi dari fungsi g(X) adalah σ2g(X) = E[{g(X) - μg(X)}2] • Teorema 2.9: Jika X suatu peubah acak dan b konstanta, maka σ2X+b = σ2X = σ2 • Teorema 2.9: Jika X suatu peubah acak dan a konstanta, maka σ2aX = a2σ2X = a2σ2
Sifat-sifat variansi … • Teorema 2.11: Jika X dan Y peubah acak dengan sebaran peluang gabungan f(x,y), maka σ2aX+bY = a2σ2X + b2σ2Y + 2abσXY • Corollary 1: Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas, maka
σ2aX+bY = a2σ2X + b2σ2Y • Corollary 2: Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas, maka
σ2aX-bY = a2σ2X + b2σ2Y
Contoh 2.8 • Soal: Jika X dan Y peubah acak dengan variansi σ2X = 2, σ2Y = 4 dan kovariansi σXY= -2, tentukan variansi dari peubah acak Z = 3X - 4Y + 8 • Jawab: σ2Z = σ23X - 4Y + 8 = σ23X-4Y ; T.2.9 = 9σ2X + 16σ2Y - 24σXY ; T.2.11 = 9⋅2 + 16⋅4 - 24⋅(-2) = 130
2.10 Teorema Chebyshev
Teorema Chebyshev dan Bukti • Teorema Chebyshev: Peluang sebarang peubah acak X jatuh dalam rentang k kali simpangan baku dari mean sekurangkurangnya adalah (1 - 1/k2). Yakni P(μ-kσ<X< μ+kσ) ≥ 1 – 1/k2
[
] ∫ (x − μ )
σ 2 = E ( X − μ )2 =
∞
2
f ( x )dx
−∞
μ − kσ
=
μ + kσ
μ − kσ
μ + kσ
∞
2 ( ) ( ) ( ) x − μ f x dx + x − μ f ( x )dx ∫ ∫ 2
−∞
•
2
μ − kσ
−∞
≥
∞
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x − μ f x dx + x − μ f x dx + x − μ f ( x )dx ∫ ∫ ∫ 2
μ + kσ
Karena integral kedua bernilai tak negatif. Selanjutnya, karena |x - μ| ≥ kσ berarti x ≥ μ+kσ atau x≤ μ-kσ, diperoleh (x - μ)2 ≥ k 2σ2
… Akibatnya
σ2 ≥ Dan bahwa
μ − kσ
∞
−∞
μ + kσ
2 2 k ∫ σ f (x )dx +
μ − kσ
∞
−∞
+k
∫ f (x )dx + μ ∫ σ
2 2 k ∫ σ f (x )dx
1 f (x )dx ≤ 2 k
Oleh karena itu μ + kσ
1 P(μ − kσ < X < μ + kσ ) = ∫ f ( x )dx ≥ 1 − 2 k μ − kσ Terbukti
Konsekuensi Teorema Chebyshev • Untuk k=2, teorema ini menyatakan bahwa peubah acak X memiliki peluang sedikitnya 1-(1/2)2 = ¾ untuk masuk dalam rentang dua kali simpangan baku dari mean.
μ + kσ σ
f(x)
f ( x )dx
∫ μ σ −k
2σ μ-2σ
μ
μ+2σ
Contoh 2.30 •
•
Soal: Suatu peubah acak X memiliki mean μ=8, variansi σ2=9 dan (fungsi) sebaran peluang yang tak diketahui. Tentukan: (1) P(-4<X<20) dan (2) P(|X-8|≥6). Jawab: simpangan baku σ= √9 = 3, μ=8 1.
2.
P(-4<X<20) = P[8-(4)(3)<X<8+(4)(3)] = P[μ - (4)(σ)<X< μ + (4)(σ)] ≥ 15/16 ; (1-1/k2)=1-1/16 P(|X-8|>6) = 1-P(|X-8|≤6) = 1 – P(-6<X-8<6) = 1 - P[μ -(2)(σ)<X<μ +(2)(σ)] ≤ ¼ (
Sekian
