Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

5 April 2017

Garis Besar Pembahasan Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

SUB POKOK PEMBAHASAN


NILAI EKSPEKTASI

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS

RATAAN

MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

VARIANS

DAFTAR PUSTAKA

MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

15

5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN

1. Nilai Ekspektasi

VARIANS

2. Rataan

MOMEN

3. Varians

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

4. Momen

DAFTAR PUSTAKA

5. Fungsi Pembangkit Momen

15

5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3


1. Nilai Ekspektasi

VARIANS

2. Rataan

MOMEN

3. Varians


4. Momen

DAFTAR PUSTAKA

5. Fungsi Pembangkit Momen

15

5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Definisi

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(x )], didefinisikan sebagai: X E [u(X )] = u(x ) · p(x )

SUB POKOK PEMBAHASAN 4

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

x

DAFTAR PUSTAKA

15

5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Definisi


Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(x )], didefinisikan sebagai: X E [u(X )] = u(x ) · p(x )

SUB POKOK PEMBAHASAN 4

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

x

DAFTAR PUSTAKA

Contoh Misalkan fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk: p(x )

=

x , x = 1, 2, 3, 4, 5 15

Tentukan E [X 2 − 1] dan E[X(X+1)] 15

5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi


1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c 2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

5

RATAAN VARIANS

3. Jika c1 dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1 (X ) dan u2 (X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka: E [c1 · u1 (X ) + c2 · u2 (X )]

=

NILAI EKSPEKTASI


c1 · E [u1 (X )] + c2 · E [u2 (X )]

DAFTAR PUSTAKA

15

5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi


1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c 2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

5

RATAAN VARIANS

3. Jika c1 dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1 (X ) dan u2 (X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka: E [c1 · u1 (X ) + c2 · u2 (X )]

=

NILAI EKSPEKTASI


c1 · E [u1 (X )] + c2 · E [u2 (X )]

DAFTAR PUSTAKA

Contoh Lihat kembali soal pada contoh 1 Hitung E (X 2 − 1) dan E [X (X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi 15

5 April 2017

RATAAN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi


Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah p(x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: X E [X ] = x · p(x )

NILAI EKSPEKTASI 6

RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

x

DAFTAR PUSTAKA

15

5 April 2017

RATAAN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi


Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari X di x adalah p(x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: X E [X ] = x · p(x )

NILAI EKSPEKTASI 6


x

DAFTAR PUSTAKA

Contoh Jika Sandi melempar sebuah dadu seimbang, maka tentukan rataan dari munculnya angka pada mata dadu itu!

15

5 April 2017

VARIANS Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai : Var (X )

=

E [X − E [X ]]2

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7

VARIANS MOMEN

Var (X )


= E [X − µ]2

DAFTAR PUSTAKA

15

5 April 2017

VARIANS Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai : Var (X )

E [X − E [X ]]2

=

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7

VARIANS MOMEN

Var (X )


= E [X − µ]2

DAFTAR PUSTAKA

Definisi Varians Diskrit Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai: X (x − µ)2 · p(x ) Var (X ) = x 15

5 April 2017

VARIANS Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Sifat-Sifat Varians


a Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0


b Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka:

NILAI EKSPEKTASI RATAAN

Var (X + c)

=

Var (X )

8

VARIANS MOMEN

c Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka:

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

Var (aX + b)

= a2 · Var (X )

15

5 April 2017

VARIANS Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Sifat-Sifat Varians


a Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0


b Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka:

NILAI EKSPEKTASI RATAAN

Var (X + c)

=

Var (X )

8

VARIANS MOMEN

c Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka:


Var (aX + b)

= a2 · Var (X )

Contoh Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X adalah sebagai berikut : x 1 2 3 Hitung Var (X ) f (x ) 21 13 16

15

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Momen


Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka 0 momen ke-k (dinotasikan dengan µk ) didefinisikan sebagai : 0

µk


k

= E [X ], k = 1, 2, 3, · · ·

9


15

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si.

Definisi Momen


Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka 0 momen ke-k (dinotasikan dengan µk ) didefinisikan sebagai : 0

µk


k

= E [X ], k = 1, 2, 3, · · ·

9


Momen Diskrit

DAFTAR PUSTAKA

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi 0 peluang dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai : X 0 x k · p(x ) µk = x

15

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

Momen Sekitar Rataan Diskrit Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka momen sekitar rataan ke-k (dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai: X µk = (x − µ)k · p(x )

RATAAN VARIANS 10


x

15

5 April 2017

MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN

Contoh 1. Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X x 1 2 3 4 f (x ) 14 81 18 12 0 Hitunglah µ3

NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 11


2. Misalkan ufngsi peluang dari X berbentuk:

DAFTAR PUSTAKA

p(x )

=

1 , x = 1, 2, 3 3

Hitung µ3

15

5 April 2017

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Definisi


Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan Mx (t)) didefinisikan sebagai:


Mx (t)

=

E [e tX ]

VARIANS MOMEN

untuk −h < t < h dan h > 0

12


15

5 April 2017


Definisi


Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan Mx (t)) didefinisikan sebagai:


Mx (t)

E [e tX ]

=

VARIANS MOMEN

untuk −h < t < h dan h > 0

12


FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DISKRIT Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah fungsi peluang dari X di x , maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai: X Mx (t) = e tx · p(x ) x 15

5 April 2017


PENURUNAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN


Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan Mx (t) adalah fungsi pembangkit momennya, maka

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

Mxr (t)|t=0

=

0

RATAAN

µr

VARIANS MOMEN 13


15

5 April 2017


PENURUNAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN


Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan Mx (t) adalah fungsi pembangkit momennya, maka

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

Mxr (t)|t=0

=

0

RATAAN

µr

VARIANS MOMEN

Contoh

13

Misalkan fungsi peluang dari X berbentuk :


p(x )

=

1 2 C , x = 0, 1, 2 4 x

a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X 0

0

b. Hitung µ1 dan µ2 berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen 15

5 April 2017

Daftar Pustaka Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

I

I

I

N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.

RATAAN VARIANS MOMEN

J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 1980. M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill, 1982.

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 14

15

DAFTAR PUSTAKA

5 April 2017

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

Terima Kasih


Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 [email protected]

15

15

DAFTAR PUSTAKA

5 April 2017

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Recommend Documents