Diskusi 1 Pengantar Statistika Matematik(a) (Pra S2) “Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika” Tanggal 19 Februari 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1. Enam laki-laki dan 5 perempuan melamar suatu pekerjaan di PT KhrshFin. Empat dari mereka terpilih secara acak untuk diwawancarai. Misalkan X menyatakan banyak perempuan yang terpilih. Tentukan fungsi peluang f (x). Tentukan peluang bahwa satu atau dua perempuan terpilih. Berapa banyak perempuan yang diharapkan terpilih? 2. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi distribusi: 0, x < −2 0.1, −2 ≤ x < 1.1 FX (x) = 0.3, 1.1 ≤ x < 2 0.6, 2 ≤ x < 3 1, x≥3 Tentukan f (x). Hitung P (2 < X < 3). Hitung P (X ≥ 3). Hitung P (X ≥ 3|X ≥ 0). Tentukan fungsi distribusi dari Y = X 2 . Hitung E(X). 3. Diketahui fungsi peluang peubah acak X p, 0.1, 0.3, P (X = x) = p, 4p, 0,
x = −1.9 x = −0.1 x = 20p x=3 x=4 x yang lain
Tentukan p. Hitung P (1.9 ≤ |X| ≤ 3). Hitung F (0), F (2), F (F (3.1)). Gambarkan FX (x). Hitung P (2X − 3 ≤ 4|X ≥ 2). Hitung E(X) dan E(F (X)). 4. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi distribusi: 0, x < −4 3/10, −4 ≤ x < 1 FX (x) = 7/10, 1 ≤ x < 4 1, x≥4 Tentukan variansi X dan Y = X 2 . Tentukan fungsi distribusi dari W = X 2 −1.
1
5. Misalkan peubah acak X menyatakan masa hidup (dalam jam) lampu. Asumsikan fungsi peluang X adalah { fX (x) =
2 x, 3/4,
0 ≤ x < 1/2 2<x<3
Tentukan proporsi lampu yang memiliki masa hidup lebih dari 15 menit. Hitung E(X).
2
Diskusi 2 Pengantar Statistika Matematik(a) (Pra S2) “Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika” Tanggal 26 Februari 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1. Seorang pemain futsal bermain selama waktu (dalam menit) yang dinyatakan dalam fungsi peluang sbb: Hitung peluang pemain tersebut bermain (i) lebih dari 15 menit (ii) antara 20 dan 35 menit (iii) kurang dari 20 menit 2. Seorang penjual (baca: sales) memiliki dua agenda pertemuan dengan calon klien untuk menjual suatu produk. Pertemuan pertama berpotensi untuk terjualnya produk dengan peluang 0.3; pertemuan kedua mungkin akan menghasilkan penjualan dengan peluang 0.6. Penjualan yang terjadi boleh jadi (dengan peluang sama) produk kelas 1 dengan harga 1000 ribu atau produk standar dengan harga 500 ribu. Tentukang fungsi peluang dari peubah acak X yang menyatakan nilai penjualan (dalam ribu). 3. Misalkan X memiliki fungsi peluang f (x) = x/2, 0 < x < 2. Misalkan Y = 1/(4 X + 2). Tentukan fungsi distribusi dan fungsi peluang dari Y . Hitung V ar(Y ) dan V ar(Y 2 ). 4. Peubah acak X memiliki fungsi peluang f (x) = a x + b x2 , 0 < x < 1. Jika E(X) = 0.6, tentukan (i) P (X < 0.5) (ii) V ar(X) 5. Misalkan X peubah acak yang bernilai diantara 0 dan c; P (0 ≤ X ≤ c) = 1. Tunjukkan bahwa V ar(X) ≤ c2 /4
3
Diskusi 3-4 Pengantar Statistika Matematik(a) (Pra S2) “Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika” Tanggal 5, 13 Maret 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1. Dalam suatu persidangan versi AS, diketahui bahwa untuk menentukan hukuman/keputusan terhadap terdakwa diperlukan 9 votes dari 12 anggota juri. Peluang seorang juri mengatakan tidak bersalah pada orang yang bersalah adalah 0.2. Sedangkan peluang juri memutuskan bersalah pada orang yang tidak bersalah adalah 0.1. Jika setiap juri saling bebas dan jika 65% terdakwa adalah bersalah, tentukan peluang bahwa juri membuat keputusan yang benar. 2. Suatu jasa pengetikan skripsi memperkerjakan A, B, C. Rata-rata banyaknya kesalahan ketik per halaman adalah 3 saat pengetinya A, 4.2 jika diketik B dan 2.1 apabila C yang mengetik. Jika pada tulisan dengan 7 halaman mungkin diketik oleh A, B, C dengan peluang sama, berapa peluang tidak ada kesalahan ketik? Berapa peluang ada paling banyak 3 kesalahan ketik? 3. Misalkan X memiliki distribusi peluang f (1) = 0.3; f (2) = 0.2; f (0) = 3 f (3). Hitung E(X) 4. Misalkan X memiliki nilai yang mungkin {0, 1, 2}. Untuk suatu c, f (i) = c f (i − 1), i = 1, 2. Hitung E(X) 5. Diketahui f (0) = 1 − f (1). Jika E(X) = 3 V ar(X), hitung f (0). 6. Misalkan X p.a, f (1) = p = 1 − f (−1). Tentukan c sdh E(cX ) = 1 7. Sebuah koin memiliki peluang θ untuk muncul MUKA saat dilantunkan. Koin dilantunkan hingga muncul MUKA atau BELAKANG dua kali. Tentukan banyaknya lantunan yang diharapkan. 8. Tim A dan Tim B bermain serangkaian pertandingan. Tim pertama yang memenangkan 3 pertandingan dinyatakan sebagai pemenang. Misalkan Tim A akan memenangkan pertandingan secara saling bebas dengan peluang α. Tentukan peluang bersyarat bahwa (i) Tim A adalah pemenang diberikan bahwa Tim A memenangkan pertandingan pertama (i) Tim A memenangkan pertandingan pertama diberikan bahwa Tim A adalah pemenang 9. Jika X peubah acak geometrik dengan parameter k, hitung E(1/X)
4
Diskusi 5-6 Pengantar Statistika Matematik(a) (Pra S2) “Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika” Tanggal 20, 27 Maret 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi peluang f (x) =
θ e−θ/x , x > 0, θ > 0, x2
Tentukan fungsi distribusi dan fungsi kesintasan dari X. Tentukan median dan modus dari X. 2. Diketahui: f (x) =
3 x (20 − x) , 0 < x < 20. 4000
Tentukan fungsi kesintasan dari X. Hitung mean dan variansi dari X. 3. Jika fungsi peluang dari X adalah f (x) = 2 x e−x , untuk x > 0, tentukan fungsi peluang Y = X 2 . 2
4. Kerugian acak X memiliki peluang 0.2 saat X bernilai nol. Kerugian terjadi dengan fungsi peluang proporsional terhadap 1 − x/20, untuk 0 < x ≤ 20. Tentukan fungsi distribusi dari X. Tentukan mean dari X. 5. Jelaskan sifat tanpa memory pada distribusi eksponensial 6. Misalkan Xi , i = 1, 2 peubah acak-peubah acak dengan fungsi peluang f (xi ) = θ e−θxi , xi > 0. Hitung P (X1 < X2 ) 7. Misalkan masa hidup (lifetime) sebuah lampu, sebelum akhirnya mati/terbakar, adalah p.a eksponensial dengan mean 10 (jam). Misalkan Ani memasuki ruangan dan mendapatkan lampu mati/terbakar. Jika Ani ingin bekerja di ruangan itu selama 5 jam, berapa peluang bahwa Ani dapat menyelesaikan pekerjaannya sebelum lampu mati/terbakar/padam? 8. Misalkan X peubah acak eksponensial. Manakah pernyataan berikut yang BENAR? E(X 2 |X > 1) = E((X + 1)2 ) E(X 2 |X > 1) = E(X 2 ) + 1 E(X 2 |X > 1) = (E(X) + 1)2 )
5
9. Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir dan Fur datang ke toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antri). Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan untuk setiap petugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit? Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3? Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ? 10. Jika X1 dan X2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling bebas, tunjukkan P (X1 < X2 | min(X1 , X2 ) = t) =
r1 (t) , r1 (t) + r2 (t)
dimana ri (t) fungsi laju kegagalan untuk Xi . 11. Misalkan Xi berdistribusi eksponensial dengan parameter θi , dimana i = 1, 2, 3. Hitung P (X1 < X2 < X3 ) 12. Seorang nasabah yang datang ke suatu kantor administrasi akan dilayani oleh petugas K1, lalu petugas K2, lalu pulang. Waktu layanan petugas Ki adalah peubah acak eksponensial dengan parameter βi , i = 1, 2. Ketika Rose datang, terlihat K1 sedang kosong (tidak sedang melayani nasabah). Sedangkan 2 nasabah ada di K2 (seorang nasabah A dilayani dan seorang lain B antre). Hitung peluang nasabah A masih dilayani ketika Rose pindah ke K2? Hitung peluang nasabah B masih dilayani ketika Rose pindah ke K2?
6
