URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai

URUNAN PARSIAL Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: (i) Turunan parsial f terhadap x, dinotasikan dengan

f ( x, y ) atau fx(x,y), didefinisikan sebagai x

f ( x, y ) f ( x  x, y)  f ( x, y ) = lim x 0 x x

(ii) Turunan parsial f terhadap y, dinotasikan dengan

f ( x, y ) atau fy(x,y), didefinisikan sebagai y

f ( x, y  y)  f ( x, y ) f ( x, y ) = lim y 0 y y

Contoh: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = x2y +5x + 4. Selanjutnya tentukan turunan parsial f terhadap x dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3) Jawab: f ( x, y ) f ( x  x, y )  f ( x, y) = lim x 0 x x 2 ( x  x) y  5( x  x)  4  ( x 2 y  5 x  4) = lim x 0 x 2 x y  2 x.x. y  (x) 2 y  5 x  5x  4  ( x 2 y  5 x  4) = lim x 0 x 2 2 x.x. y  (x) y  5x = lim x 0 x = 2xy + 5

f ( x, y  y)  f ( x, y ) f ( x, y ) = lim  y  0 y y

x 2 ( y  y )  5 x  4  ( x 2 y  5 x  4) y 0 y

= lim

x 2 y y 0 y = x2 = lim

6

Sehingga turunan parsial f terhadap x di titik (2,3) adalah dan turunan parsial f terhadap y di titik (2,3) adalah

f (2,3) = 2(2)(3) + 5 = 17 x

f (2,3) = 22 = 4 y

Untuk memudahkan menentukan turunan parsial dari fungsi dua variable f(x,y) maka dapat dilakukan hal berikut. Apabila fungsi f diturunkan terhadap variable x maka y diperlakukan seperti konstanta dan apabila f diturunkan terhadap variable y maka x diperlakukan seperti konstanta.

Contoh: Tentukan turunan parsial terhadap x dan turunan parsial terhadap y fungsi yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y2 + xy2 + 4y. Jawab: f ( x, y ) = 12x3y2 + y2 x

f ( x, y ) = 6x4y + 2xy + 4 y

Soal: Tentukan

f ( x, y ) f ( x, y ) dan untuk x y

1. f(x,y) = 2x2y3 – x3y5 2. f(x,y) = x2 – 3xy + ln(x2 + y2)

TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI Contoh: Tentukan semua turunan parsial tingkat dua fungsi f yang dirumuskan dengan f(x,y) = 3x4y2 + xy2 + 4y. Jawab:

 2 f ( x, y ) x

2

 2 f ( x, y ) y

2

=

  f ( x, y )  2 2   = 36x y x  x 

=

  f ( x, y )    = 6x4 + 2x y  y  7

 2 f ( x, y )   f ( x, y )  3 =   = 24x y + 2y yx y  x 

  f ( x, y )   2 f ( x, y )   = 24x3y + 2y = x  y  xy Fungsi dua variabel f(x,y) yang memenuhi persamaan Laplace disebut Fungsi Harmonik. Persamaan Laplace:

 2 f ( x, y ) x 2

+

 2 f ( x, y ) y 2

= 0.

Contoh: Apakah fungsi berikut merupakan fungsi Harmonik? Tunjukkan! 1. f(x,y) = x3y – xy3 2. f(x,y) = e–y cos x ATURAN RANTAI UNTUK FUNGSI KOMPOSISI 1. Misal u dan v fungsi-fungsi yang didefinisikan u = u(x,y) dan v = v(x,y) dengan u dan v kontinu, mempunyai turunan parsial pertama di (x,y). F fungsi dari u dan v yang mempunyai turunan pertama yang kontinu dalam daerah terbuka D yang memuat (u,v), maka: F F u F v F F u F v dan     x u x v x y u y v y

Contoh: F(u,v) =3u2 – v2 dengan u = 2x + 7y dan v = 5xy Carilah

F F dan x y

2. Misal F fungsi dari u, v dan w dengan u, v dan w fungsi-fungsi kontinu dua variable u = u(x,y), v = v(x,y) dan w = w(x,y) yang mempunyai turunan parsial pertama dan semua turunan parsial pertama fungsi F kontinu, maka: F F u F v F w F F u F v F w       dan x u x v x w x y u y v y w y

Contoh: (u,v,w) =u3 + 2uvw + uw2 dengan u = xy, v = x – y, dan w = x/y Carilah

  dan . x y

8

TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Misal z = F(x,y) dan y = g(x), maka z = F(x, g(x)) menyatakan fungsi satu variable, sehingga berdasarkan aturan rantai diperoleh:

z F x F y z F F y      x x x y x x x y x

………………………….(*)

Jika z = 0 maka F(x,y) = 0 mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi x dan (*) menjadi

0

F F y  x y x

F F y  x  asalkan  0   F y x y

Analog dengan hal tersebut, jika z fungsi implisit variabel x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F(x,y,z) = 0 maka : F  F z  x z y dan   F F x y z

asalkan

z

F  0 z

Contoh: Tentukan

z z dan dari: x y

1. x2yz – xy + yz = 0 y+z

2. x3e

– y sin(x – z) = 0

3. xy – z2 +2xyz = 0

INKREMEN (PERTAMBAHAN) DAN DIFERENSIAL Definisi: Jika f fungsi dua variabel dan z = f(x,y), x dan y pertambahan variabel x dan y maka x = f(x,y) = f(x + x, y + y) – f(x,y) disebut pertambahan variabel z.

Definisi: Misalkan f fungsi dua variabel dan x dan y dengan turunan parsial pertama fx dan fy yang kontinu dalam daerah terbuka D dan z = f(x,y). Jika (x,y) titik dalam D dan x dan y bilangan sembarang sehingga (x + x, y + y) juga titik dalam D, maka: (i) diferensial variabel bebas dx dan dy dibatasi sebagai dx = x dan dy = y (ii) diferensial variabel tak bebas adalah dz = df(x,y) = fx (x,y) dx + fy (x,y) dy 9

Soal: Tentukan dz dari fungsi berikut: 1. z = x3 – xy2 + 3y 2. z =

x2 y y3  1

3. z = x2 sin 3y

TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN

Ingat:

f = fx laju perubahan f terhadap jarak dalam arah X. x f = fy laju perubahan f terhadap jarak dalam arah Y. y

Jika u = cos  i + sin  j vektor satuan dengan titik awal P(x1,y1) maka turunan berarah f dalam arah u di bidang XY, dinotasikan dengan fu (x,y) atau

f ( x, y ) adalah: u

f ( x, y ) = fx(x,y) cos  + fy(x,y) sin  u Y

sin 

u

P(x1,y1)

cos 

0

X

Contoh Jika f(x,y) = 4x2 – xy + 3y2, tentukan turunan berarah f di titik P(2,–1) dalam arah a = 4i + 3j

Penyelesaian Vektor satuan u yang searah dengan a adalah

a 4 3 4 3 = i + j. Jadi cos  = dan sin  = a 5 5 5 5

fx(x,y) = 8x – y dan fy(x,y) = –x + 6y sehingga 4 3 f ( x, y ) = (8x – y) + (–x + 6y) 5 5 u

10

4 3 44 f (2,1) = (17) + (–8) = 5 5 5 u

Perhatikan :

f ( x, y ) = fx(x,y) cos  + fy(x,y) sin  u dapat dinyatakan sebagai hasil kali titik (dot product) dua vector sebagai berikut:

f ( x, y ) = (cos  i + sin  j ) . (fx(x,y) i + fy(x,y) j) u = u .  f ( x, y) dengan  f ( x, y) = (fx(x,y) i + fy(x,y) j) dan disebut gradien f.

MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM

Definisi Misalkan f fungsi dua variable maka f dikatakan mencapai maksimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(x,y)  f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai maksimum relatif. Sebaliknya, f dikatakan mencapai minimum relatif di titik (a,b) jika terdapat kitaran dari (a,b) demikian sehingga f(x,y)  f(a,b) untuk setiap (x,y) dalam kitaran itu, dan f(a,b) disebut nilai minimum relatif. Nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif biasa disebut nilai ekstrem relatif.

Syarat perlu agar f mencapai nilai ekstrem relatif di titik (a,b) adalah: f (a, b) f (a, b)  0 dan 0 x y

………………………… (**)

Titik (a,b) yang memenuhi (**) biasa disebut titik kritis.

Teorema (Tes Turunan Kedua) Misalkan f fungsi dua variable yang kontinu dan mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu juga, apabila (a,b) titik kritis f dan

  2 f (a, b)   2 f (a, b)    2 f (a, b)       x 2  y 2   xy      

2

maka:

11

(i) f mencapai nilai minimum relatif di (a,b) jika   0 dan

 2 f ( a, b)

(ii) f mencapai nilai maksimum relatif di (a,b) jika   0 dan

x 2

0

 2 f ( a, b) x 2

0

(iii) f tidak mencapai nilai ekstrem relatif di (a,b) jika   0 (iv) belum dapat disimpulkanapabila  = 0. Untuk (iii)   0 maka (a,b) disebut titik pelana

Contoh: 1. Tentukan nilai ekstrem, jika ada, untuk f(x,y) = 3x3 + y2 – 9x + 4y. 2. Tentukan jarak minimum titik pada z2 = x2y + 4 ke pusat koordinat.

12