1
INTEGRAL 1.PENGERTIAN INTEGRAL Integral adalah cara mencari suatu fungsi jika turunannya di ketahui atau kebalikan dari diferensial (turunan) yang disebut juga anti derivatif atau anti diferensial. Untuk menentukan integral tidak semudah menentukan turunan. Agar memperoleh gambaran yang jelas perhatikan turunan beberapa fungsi berikut: f(x) x ½x2 ⅓x3 ¼x4
f ’(x) 1 x x2 x3
f(x) 3x2 3x2+3 3x2-5 3x2-23
f ’(x) 6x 6x 6x 6x
Dengan memperhatikan hal di atas tampak bahwa jika f ’(x) = xn maka akan tetapi jika f ’(x) = 6x maka f(x) berasal dari berbagai macam fungsi 3x2 + c dengan c suatu konstanta. Dengan melihat beberapa contoh diatas dapat kita peroleh suatu aturan : Jika f ’(x) = x n maka f(x) =
1 n1
x n+1 + c.
2.INTEGRAL TAK TENTU. Rumus Integral Tak Tentu Bila dx/dy merupakan notasi untuk turunan maka notasi untuk integral adalah
Misalkan suatu
fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
f(x) dx.
Dibaca Integral dari f(x) terhadap x.
Bila F(x) anti derivatif dari f(x) maka F(x) + c juga anti derivatif dari f(x) ,dengan c adalah suatu konstanta. Secara umum integral f(x) terhadap x dapat ditulis : f(x) dx. = F(x) + c. Jika f(x) = xn maka
xn dx =
1 n1
xn+1 + c. untuk n ≠ 1 Inilah Rumus INTEGRAL TAK TENTU
Contoh Hitunglah : 1. x7dx Jawab: 1.
f(x) dx
x7dx =
2. 1 7 1
(4x3-`12x2+4x-7)dx
x7+1 +c
= 18 x8 + c 2.
(4x3-`12x2+4x-7)dx =
4 4
x4- 123 x3+ 42 x2- 71 x0+c
= x4-4x3+2x2-7x+c
2 LATIHAN 1 Tentukan hasil dari setiap pengintegralan berikut ini: 2 1. x dx
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
x4 dx 2x5 dx 8x7 dx (3x2-2) dx (5-x) dx (2x2-5x+3) dx (4x3 – 6x2+3x-6) dx x2(x+6) dx (3x+4)2 dx (1-x)
x dx
(4x-3)(2x-7)dx
PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU Dalam menentukan anti diferensial suatu fungsi turunan masih mengadung nilai konstanta c yang belum tertentu. Jika kita akan menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan maka harus ada data lain berupa nilai fungsi tertentu agar konstanta c dapat kita cari. Contoh 1: Tentukan rumus fungsi f (x) jika diketahui f’(x) = 6x2-2x+6 dan nilai fungsi f(2) = -7. Jawab: f(x) = f ' ( x)dx = (6 x 2 2 x 6)dx =
6 3
x 21 22 x 11 6 x c
= 2x3 x 2 6x c Mengingat f(2) = -7 maka : f(2) = 2(2)3 – 22 +6(2)+ c -7 = 16 – 4+12 + c -7-24 = c -31 = c Jadi f(x) = 2 x 3 x 2 6 x 31 . Contoh 2: Sebuah kurva y = f(x) melalui titik (2,0). Tentukan persamaan kurva jika persamaan gradien garis singgung di titik tersebut Adalah dy/dx = 2x-4. Jawab: Jika dy/dx = 2x-4 y = (2x-4) dx y = x2-4x + c. y = x2-4x + c 2 0 = 2 -4(2)+c . c=4 Jadi persamaan kurva tersebut adalah y = x2-4x +4 Titik (2,0) dilalui oleh kurva
3 LATIHAN 2: Tentukan rumus fungsi jika diketahui memiliki sifat-sifat sebagai berikut: 1. 2. 3. 4.
f’(x) = 2x dan f(4) = 10. f’(x) = 6x2 dan f(0) = 8 f’(x) = 3(x2 – 3) dan f(1) = 12 f’(x) = 6√ x dan f(4) = -7
5. f’(x) = x - 22 dan f(2) = 9 x
Tentukan persamaan kurva pada tiap titik (x,y) yang memenuhi kondisi di bawah ini: 1. 2. 3. 4. 5.
dy dx dy dx dy dx dy dx
= 8x – 3 dan kurva melalui titik (-1,10) = x2 - 12 dan kurva melalui titik (1, 1 ) 3
x
= 6x2 - 6 x + 3 dan kurva melalui (0,0) = 1 dan kurva melalui titik (9,4) x
dy = 6x2- 4 x + 3 dan kurva melalui titik (0,1) dx
INTEGRAL TERTENTU Berdasarkan teorema Fundamental / Dasar Jika f adalah fungsi kontinu pada interval [a,b] dan F adalah anti derivatif f pada [a,b] maka b
f ( x ) dx
F ( x ) F (b ) F ( a ) b
a
a
b
Penulisan Integral dalam notasi
disebut Integral Tertentu karena hasil yang diperoleh
f ( x)dx a
berupa suatu nilai tertentu, sedangkan a disebut sebagai batas bawah dan b disebut sebagai batas atas integral. 3
Contoh :Hitunglah : (3x 2 2 x 1)dx 2
Jawab: 3
(3 x
2
2 x 1) dx x 3 x 2 x
3 2
2
= (33+32+3)-(23+22+2) = (27+9+3) – (8+4+2) = 25
LATIHAN 3 Hitunglah nilai setiap integral tertentu berikut ini: 3
1. 2.
3
(6 x
)dx
2
7. (4 x 3x )dx
12.
dx
1
8.
(12 x
9. (6 x 2
(5 2 x 6 x
1 4
1
2
2 )dx x2
(3x 6)(2 x 5)dx
1 2
1
x )dx
2
2 3
(3 x )dx 0
( x 5)
2
0
2
11.
(7 x)dx
0
1 4
4.
6.
1
2 9
3.
2
5
(4 x)dx
)dx
13.
(1 3x)(1 x)dx
1 1
14.
2 x( x 1)( x 1)dx
1
..
4 6
5.
1
1
6 dx x2
4
10. (4 x 3) 2 dx
15.
0
2
4 dx x3
5. PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU A. MENGHITUNG LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU X Menentukan luas dari suatu daerah antara kurva dan sumbu x dengan menggunakan integral tertentu . Jika daerah dibatasi oleh kurva y= f (x) , sumbu x pada [a,b] maka untuk menentukan luasnya dengan menggunakan integral tertentu adalah sebagai berikut: b
L = f ( x)dx = [F(x)] ba = F(b) –F(a )
diambil nilai mutlak
a
Contoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 sumbu x ,garis x=1 dan garis x=2. Jawab: 2
x
L =
2
dx
1
1 [ x 3 ]12 3 1 1 ( .2 3 ) ( .13 ) 3 3 8 1 ( ) 3 3
= = = .
= 7 3
= 21 3
satuan luas.
Jadi luas daerahnya adalah 2 1 3
satuan luas.
LATIHAN 4 I. Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal - soal berikut ini dengan menggunakan pengintegralan.
5
1.
2
3.
4.
5.
6.
II. Hitunglah dengan menggunakan rumus luas geometri. Untuk soal I.1 dan I.3 III. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y dan sumbu koordinat atau garis yang disebutkan. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11. 12. 13. 14. 15.
y y y x y y y y y y y y y y y
= x2 , sumbu x , garis x = 0 dan x = 2 = x2 + 2x +4 , sumbu x , sumbu y , garis x = 3. = x(x-4) dan sumbu x. = 3y2- 9 garis x = 0, y = 0 dan y = 1.. = x2 – 5x. dan sumbu x. = x3 sumbu x , garis x = -1 dan garis x = 3. = √ x sumbu x garis x = 1 dan x = 4. = x3- 3x2 + 2x sumbu x, garis x = 0 dan garis x = 2 = x 3- x2–6x sumbu x. = x2 –1 sumbu x. = (x – 5) 2 sumbu y, sumbu x. = x 3 - 9x sumbu x = x(5-x) dan sumbu x = 12 – 4x - x2 dan sumbu x. = 9 - x2 dan sumbu x
B. MENGHITUNG LUAS ANTARA DUA KURVA Jika f dan g dua fungsi yang kontinu pada interval [a,b] dan f(x) ≥ g(x) dalam [a,b] dengan syarat f(x) dan g(x) tidak berpotongan pada [a,b]. Maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g dalam [a,b] adalah :
6 b
rumus ini berlaku untuk : * f dan g non negatip (gambar 1)
( f ( x) g ( x))dx a
* f dan g negatif (gambar 2) * f positif dan g negatif (gambar 3)
gambar 1
gambar 2
gambar 3
Contoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2 Jawab: *) Tentukan dahulu koordinat titik potong kedua kurva sebagai batas integral dengan cara sebagai berikut: x2 + 3x = 2x + 2 x2 + 3x - 2x –2 = 0 x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0 x = -2 atau x = 1 -2
-1
. Jadi x = -2 dan x = 1 sebagai batas integral.
1
*) Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 3x dan y = 2x + 2 dengan batas bawah x = -2 dan batas atas x = 1 sebagai berikut: 1
L=
[(2 x 2) ( x
2
3 x)]dx
2 1
=
2
(2 x x )dx
2
= = =
1 2 1 3 1 x x ] 2 2 3 1 1 8 (2 ) (4 2 ) 2 3 3
[2 x
4
1 2
**)Jadi luasnya adalah 4 1 satuan luas 2
LATIHAN 5 :A Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yang ditentukan: 1. 2. 3. 4. 5.
y = x2 dan y = 2x + 1 y = x2 dan y = 2x - x2 x = y2 dan x – y – 2 = 0 y = x dan y = x2 y = 2 - x2 dan x + y = 0
6. 7. 8. 9. 10.
y y y y y
= x3 dan y =½ x2 = 9 - x2 dan x – y +3 = 0 = x2 – 7x + 10 dan y = 2 – x = x2 dan y = 2 - x2 =. x2 – 4 dan y = 8 - 2x2
B. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini
7
1.
2
3.
4.
5.
6.
8 C. MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR Bagaimana menghitung volume dari benda yang dibentuk oleh bangun berikut jika bangun diputar mengelilingi sumbu x
Bentuk benda yang terjadi jika bangun diputar mengelilingi sumbu x adalah sebagai berikut:
1. MENGHITUNG VOLUME BENDA PUTAR MENGELILINGI SUMBU X Perhatikan daerah yang dibatasi kurva y = f(x) pada [a,b] yang diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o pada gambar dibawah ini: y y= f(x)
a
0
b
x
Untuk menghitung volume dari benda tersebut maka dibuat potongan - potongan melingkar yang sangat kecil berbentuk tabung seperti gambar dibawah ini: Jika jari – jari tabung tersebut y dan tingginya δx Maka : δV = π y2 δx Sehingga volume benda putar tersebut merupakan jumlah potongan tabung-tabung yaitu y
y= f(x)
0
a
b
n
x
V
2 i
= y x i 1
dengan n jumlah potongan tabung.
Untuk δx yang sangat kecil akan dihasilkan pendekatan volume yang sangat sempurna yaitu : n
V
= δLimit x 0
2 i
y x
i
i 1
Bentuk ini dapat dinyatakan dalam integral sebagai berikut: b
V = y 2 dx Ini rumus volume benda yang diputar mengelilingi sumbu x. a
Contoh: Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 3x + 2 pada [1,4] diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o. Jawab: 4 y= 3x+ 2
V = y 2 dx 1 4
y
V = (3 x 2) 2 dx
2
1
0
1
4
x
9 4
V = (9 x 2 12 x 4)dx 1
3
2
4
V = [ 3 x 6 x 4 x ]1 V = (192 96 16 ) ( 3 6 4 ) V = 291 Jadi volumenya adalah 291 satuan volume. LATIHAN 6 A. Hitunglah volume dari benda yang dihasilkan dari pemutaran 360o grafik berikut ini: 1.
2.
7.
8.
y= x + 2
y
y
y y = 3x - x 2
y= x y
y = –6x 0
1
3
x 0
0
3
x
0
y
3
3
x
x
y y= x 2 y = 4 - x2
1. 0
3
x
0
5.
6.
2
x
y
y y = x2 y= x
0 6
0
6
x
x
B. Hitunglah volume dari benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva mengelilingi sumbu x sejauh 360o pada batas yang ditentukan: 1. y = x pada [1,10] 2. y = x2 sumbu x ,sumbu y dan garis x = 6.
5. y = x 2 1 x = 0 dan x = 1 6. y = 9 ,x =1 dan x = 4
3. y = 1 x sumbu x dan garis x = 8
7. y = 6 – x , sumbu x dan sumbu y
x
2
4. y =
x sumbu x , sumbu y, garis x = 9
2 . VOLUME BENDA PUTAR MENGELILINGI SUMBU Y Untuk menentukan volume benda putar mengelilingi sumbu y dengan Integral adalah sebagai berikut n 2 : V = xi y dengan n adalah jumlah potongan tabung. i 1
Untuk δy yang sangat kecil akan diperoleh pendeka yang sangat sempurna yaitu: n y
V
x= f(y)
= δLimit x 0
2 i
x y
i
i 1
b
Bentuk ini dapat dinyatakan dalam integral sebagai berikut b
V = x 2 d y Ini rumus volume benda yang diputar
a
0
x
a
mengelilingi sumbu y.
10 Contoh: Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = 1 x 2 sumbu y , garis y = 0 dan y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sebesar 360o
2
Jawab: b
2
y = 1 x 2 x 2 2 y maka V = x 2 dy V 2 ydy 2 a 0 2
y
V 2 ydy 0
x2
y=
V [ y 2 ]12
2
V = (4) (0) V = 4 satuan volume.
x
0
Jadi volumenya adalah 4
satuan volume.
LATIHAN 7 Hitunglah volume benda putar bila daerah berikut diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360o 1. y = x dan y = 6. 2. y = x dan garis y = 1. 3. xy = 1 garis y = 2 dan y = 6. 4. y = x 2 1 , y = 0 dan y = 1. 5. y = 9 x 2 ,garis y = -9 dan y = 9 6. x2=y(1-y)2, garis y = 0 dan y = 1 7. y = 1 x , garis x = 4 x = 2y dan sumbu y 8. y = x + 1 untuk 1 < y < 4 9 . x = 22 , garis y = 2 dan y = 4 y
10. y = x1/3 dan y = 8.
3. VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA. Jika f dan g fungsi yang kontinu dan non negatip sedemikian sehingga f(x) ≥ g(x) pada [a,b] dan L adalah daerah yang dibatasi y 1 f ( x ) dan y 2 g ( x ) garis x = a dan x = b seperti gambar berikut ini: Jika daerah tersebut diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu x y= f(x) Maka volumenya dihitung dengan rumus: y y= g(x)
b
V = ( y12 y 22 )dx 0
a
a b
x
Jika diputar mengelilingi sumbu y maka rumusnya adalah: b
V = ( y12 y 22 )dx a
Contoh: Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu x satu putaran penuh. Jawab :
11 Tentukan terlebih dahulu titik potong kedua kurva tersebut. x2 = x + 2 x2 – x –2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 x = 2 atau x = -1 Jadi batas – batas daerahnya adalah x = 2 dan x = -1, sehingga volumenya adalah : 2
b 2 1
2 2
V = ( y y )dx
V = [( x 2) 2 ( x 2 ) 2 ]dx 1
a
2 2 4 V = [( x 4 x 4 x )]dx
1
1 1 = [ x 3 2 x 2 4 x x 5 ]21 3 5 2 2 1 1 = (2 8 8 6 ) ( 2 4 ) 3 5 3 5 2 = 14
3 2 Jadi volumenya adalah 14 satuan volume. 3
LATIHAN 8 Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar mengelilingi sumbu yang ditentukan. 1. y = x2 , y = x ,garis y = 4 , dengan sumbu putar y. 2. y = x2/3, y = x3 dengan sumbu putar x. 3. x = -y2 – 3y + 6, garis x + y – 3 = 0 , dengan sumbu putar y. 4. y = x2 , y = x , dengan sumbu putar x. 5. y = (2 - x2) 2 , y = 1, sumbu putarnya adalah sumbu x. 6. y = 1 + x2 dan y = 9 - x2 dengan y sebagai sumbu putar. 7. y2 = x dan y = x2 , dengan sumbu putar x. 8. y = x2 dan y = x4 , dengan sumbu putar x. 9. y = x dan y = x2, dengan sumbu putar x. 10. y = x2 dan y = 6x - x2, dengan sumbu putar x.
