2
II LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi sistem koordinat silinder, aliran fluida pada pipa lurus, persamaan dasar aliran fluida, serta metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000]. 2.1 Sistem Koordinat Silinder Beberapa persamaan differensial dapat dijelaskan dalam koordinat silinder. Dengan koordinat silinder, tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat , dan . Koordinat adalah jarak radial dari sumbu- , adalah sudut yang diukur dari sebuah garis sejajar dengan sumbu- (dengan arah yang berlawanan jarum jam dianggap positif) dan adalah koordinat sepanjang sumbu- . Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder dapat dilihat pada Gambar 1 berikut :
Misalkan adalah suatu fungsi skalar, maka turunan vektor kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut :
dengan merupakan suatu operator turunan yang didefinisikan sebagai berikut :
2.2 Aliran Fluida pada Pipa Lurus Berbagai karakteristik aliran fluida pada umumnya merupakan fungsi ruang dan waktu. Dalam aliran tiga dimensi karakteristik aliran fluida dapat berubah pada koordinat , dan yang merupakan fungsi dari waktu. Secara matematis kecepatan aliran fluida dapat dituliskan sebagai berikut : (
(
)
) Beberapa karakteristik umum dari aliran fluida adalah aliran dapat merupakan aliran tunak atau taktunak, termampatkan atau taktermampatkan dan aliran kental atau takkental. Jika kecepatan partikel yang diberikan konstan terhadap waktu, maka aliran fluida dikatakan tunak. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut [Faber, 1995] :
Gambar 1 Sistem Koordinat Silinder. Berdasarkan Gambar 1 diperoleh hubungan berikut :
dengan (
. Komponen-komponen kecepatan pada sistem koordinat silinder adalah kecepatan radial ( ), kecepatan tangensial ( ) dan kecepatan aksial ( ). Selanjutnya, kecepatan pada sebuah titik sembarang dapat dinyatakan sebagai : ̂
̂
)
(
)
Aliran fluida dapat pula dikatakan taktermampatkan (incompressible), jika fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan volume atau massa jenis ketika ditekan. Secara matematis aliran fluida taktermampatkan dapat ditulis sebagai berikut:
̂
di mana ̂ , ̂ dan ̂ masing-masing adalah vektor-vektor satuan dalam arah , dan .
Selanjutnya, jika terdapat aliran fluida di mana tegangan geser diabaikan, maka aliran disebut takkental (inviscid). Fluida yang memiliki karakteristik aliran fluida
3
taktermampatkan dan takkental disebut fluida ideal. Dalam banyak hal, fluida memiliki beberapa sifat untuk penyederhanaan matematis seperti aliran fluida bersifat seragam dan laminar. Suatu aliran dikatakan seragam apabila kecepatan fluida baik arah maupun besarnya tidak berubah dari titik ke titik sepanjang alirannya dalam waktu singkat, sehingga bentuk persamaan suatu aliran seragam dapat ditulis sebagai berikut :
dengan merupakan vektor arah. Aliran fluida dikatakan sebagai aliran laminar apabila partikel fluida bergerak berlapis-lapis seperti bentuk lembaran-lembaran tipis. Pada aliran laminar partikel fluida bergerak sepanjang alirannya berupa garis lurus yang sejajar dalam lapisan-lapisan fluida. Oleh karena itu garis-garis laluannya tidak akan berpotongan satu sama lain. Hal ini terjadi pada kecepatan aliran yang rendah sehingga menyebabkan gaya yang ditimbulkan akibat kekentalan (viscosity) fluida ini menjadi sangat menonjol. Kekentalan suatu fluida menyebabkan terjadinya gerakan relatif antar lapisan fluida yang bergerak sesuai kecepatan masingmasing sehingga timbul tegangan geser. Besarnya tegangan geser yang terjadi bervariasi dari titik ke titik pada penampang aliran. Tegangan geser mencapai maksimum saat batasan fluida terpenuhi dan perlahanlahan menurun dengan bertambahnya jarak lapisan. Tegangan geser dapat menghambat aliran suatu fluida sehingga menyebabkan terjadinya penurunan tekanan sepanjang penampang aliran. Sebagaimana diketahui, fluida terdiri atas aliran fluida Newtonian dan fluida non Newtonian. Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan kecepatan dikaitkan dalam hubungan berikut :
dengan merupakan tegangan geser pada fluida dan merupakan kekentalan fluida (viscosity) [Munson, Young, Okiishi, 2004]. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida non Newtonian yang sangat langka sehingga untuk mendapatkannya pun sangat sulit. Fluida Sisko merupakan salah satu fluida yang memiliki karakteristik plastik Bingham dan bentukknya berupa plastik padat. Tegangan
geser dan regangan geser fluida Sisko memiliki hubungan linier. Hal ini berarti bahwa fluida Sisko akan mengalir seperti air pada saat mencapai regangan geser tertentu. Contoh nyata dari fluida Sisko adalah lumpur. Pada beberapa kasus fluida ini digunakan dalam proses pengeboran yang diedarkan atau dipompakan dari permukaan melalui pipa bor menuju mata bor dan kemudian kembali ke permukaan melalui Annulus (celah antara pipa bor dengan lubang sumur). Dengan demikian untuk aliran fluida Sisko dalam pipa annulus dengan gerakan yang dimulai dari luar pipa memiliki persamaan tegangan geser sebagai berikut [Khan, Munawar, Abbasbandy, 2010]: (2.2) dengan tekanan, tegangan indentitas, dan merupakan tegangan geser ekstra. Tegangan geser ekstra adalah tambahan tegangan yang terjadi pada aliran fluida Sisko yang didefinisikan sebagai berikut :
[
.√
(
)/
] (2.3)
di mana dalam koordinat silinder, dinyatakan oleh [Shafieenejad et.al, 2009]:
(
)
[
]
(2.4) dengan (
)
Besaran dan merupakan parameterparameter yang bergantung pada jenis fluida yang ditinjau. 2.3 Persamaan Dasar Aliran Fluida Gerak partikel fluida dikendalikan oleh dua hukum, yaitu hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Persamaan dasar fluida didapatkan dari kedua hukum tersebut. Dalam hal ini diasumsikan sifat fisis dari gerak partikel fluida berupa elemen luas dalam dua dimensi, sehingga untuk setiap partikelnya akan diberikan koordinat ̂ dan ̂
4
yang merupakan fungsi dari waktu ̂ . Aliran fluida ini dideskripsikan sebagai suatu titik di bidang yang bergerak seperti partikel fluida sepanjang waktu ̂ . Peubah ̂ dan ̂ masingmasing menyatakan komponen kecepatan partikel dalam arah horizontal dan vertikal yang bergantung pada peubah ̂, ̂ dan ̂ . Rapat massa fluida dinyatakan oleh . 𝜌𝑤 ̂ 𝑧̂
𝑧̂
𝑧̂
𝑥̂
Dalam notasi vektor, turunan total dari ̂ dapat ditulis sebagai terhadap waktu berikut: ( ̂
̅)
(
)
dengan ̅ ( ̂ ̂). Jika diasumsikan bahwa aliran terjadi pada fluida taktermampatkan (incompressible), yaitu :
𝑧̂
̂ 𝜌𝑢̂
𝑧̂
𝑥̂
𝜌𝑢̂
𝑥̂
𝑥̂
𝑧̂
𝑧̂ 𝜌𝑤 ̂
𝑧̂
maka persamaan (2.5) memberikan persamaan berikut : ̂̂
𝑥̂
𝑥̂
𝑥̂
𝑥̂
̂
atau
Gambar 2 Kesetimbangan Massa. ̅
Menurut hukum kekekalan massa, laju perubahan massa dalam elemen luas pada Gambar 2 adalah selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar. Laju perubahan massa pada arah sumbu- adalah : ̂
̂
̂
̂
dan pada arah sumbû
̂
̂
adalah :
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂
sehingga laju perubahan massa fluida adalah : ̂
̂
̂
̂
̂
Untuk ̂
dan
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
̂ ̂
yang dikenal dengan persamaan kontinuitas. Persamaan tersebut menggambarkan perubahan rapat massa pada suatu titik tetap, sebagai hasil dari perubahan pada vektor kecepatan massa ̅ . Didefinisikan turunan total dari terhadap waktu ̂ , yaitu : ̂
(
̂
)
(
̂
̂
̂ ̂
)
(
)
)
( ) (2.7)
, diperoleh : ̂ ̂
̂
(
)
Jika fluida dengan kerapatan konstan di seluruh medan aliran, maka persamaan di atas menjadi :
̂ ̂
(2.6)
[Faber, 1995]. Persamaan kontinuitas dapat digunakan sesuai dengan sistem koordinat silinder. Persamaan kontinuitas pada koordinat silinder dapat dinyatakan sebagai berikut [Acheson, 1990] : (
̂
̂
Hukum kekekalan momentum diturunkan dari persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navie-Stokes adalah serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida baik cairan maupun gas. Persamaanpersamaan ini menyatakan bahwa perubahan momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya pada gaya gesekan (viskositas) yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Bentuk umum persamaan NavierStokes adalah : (
) (2.8)
5
dengan tekanan, menyatakan tegangan geser pada fluida dan merupakan gaya badan, yaitu sebuah gaya yang bekerja pada sistem. Gaya gravitasi dan gaya elektromagnetik merupakan contoh dari gaya badan [Batchelor, 1967]. Misalkan fluida pada pipa lurus yang dinyatakan dalam sistem koordinat silinder, perubahan tekanan hanya terjadi sepanjang sumbu- atau secara matematis dapat ditulis :
( ) [ ] sebagai berikut : (
)
, dan suatu fungsi H ) [
(
]
[ ]
atau (
[ ]
)
[ ]
) [ ] (2.13)
(
Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk dan masing-masing memberikan persamaan berikut: dan aliran fluida hanya sepanjang sumbu(yaitu ), maka persamaan (2.7) menjadi:
( (
) )
[
( )
Persamaan (2.9) Navier-Stokes.
( ) merupakan
( )]
[ ( )]
(2.10)
dengan suatu operator turunan taklinear dan ( ) fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada peubah bebas . Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi :
[ ]
bila
(2.11)
Operator secara umum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu dan yang masingmasing merupakan operator linear dan taklinear. Jadi persamaan differensial (2.10) dapat ditulis: [ ]
[ ]
(2.12)
( ) pendekatan awal yang Misalkan memenuhi persamaan (2.10) dan [ ] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
[
( )]
[ (
) )
) ]
Menurut persamaan (2.10) dan persamaan (2.11) diperoleh bahwa fungsi : (
)
(
)
( )
dan
(2.9) persamaan
2.4 Metode Perturbasi Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan diberikan persamaan differensial sebagai berikut :
) ]
dan ( (
Jika diasumsikan kecepatan dalam arah- saja, maka persamaan (2.8) menjadi :
[ (
( )
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan ( (
) )
( (
) )
dan
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ) dari ke 1 menyatakan perubahan nilai ( [ ] [( )] ke [ ]. Dalam topologi, proses ini disebut deformasi, sedangkan [ ] [( )] dan [ ] disebut homotopi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal , sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian . Untuk menentukan ( ) dilakukan sebagai berikut. Jika persamaan (2.13) diturunkan terhadap hingga kali dan dihitung pada kemudian dibagi oleh , maka diperoleh persamaan berikut : ( )
(
)
|
6
dan dinotasikan
masalah nilai awal yang dinyatakan oleh sistem persamaan differensial berikut : ( )
( ) (
)
(2.16)
| dengan syarat awal
(
Deret Taylor dari fungsi disekitar adalah : (
)
(
) terhadap
( )
)
| (
∑
)
|
(
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (2.16) adalah ( )
atau (
)
∑ (2.14)
Dalam metode perturbasi homotopi, fungsi ( ) yang dinyatakan pada persamaan (2.14) merupakan penyelesaian dari persamaan : ( Berdasarkan diperoleh (
)
.
(2.18)
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator linear sebagai berikut : [ ] dan
persamaan
(2.13),
maka [ ]
)
(
)[ ( ) ( [ ( )]
Jadi untuk diperoleh
)]
Berdasarkan persamaan persamaan berikut :
(2.13)
(
(
diperoleh
dari persamaan (2.14),
( Karena ( )
)
) (
)(
)
∑ ), maka diperoleh
Misalkan penyelesaian persamaan dinyatakan dalam persamaan berikut:
) (2.19) (2.19)
( ) ( )
( )
∑
(2.15) Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.10) ( ), dan dengan pendekatan awal ( ), diperoleh dengan menggunakan metode perturbasi. Jika persamaan (2.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13), maka diperoleh dengan cara menyamakan koefisien perpangkatan . Selanjutnya, tinjau
(2.20) Jika persamaan (2.20) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.19), kemudian dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan , maka koefisien memberikan persamaan berikut : (
)
Jika persamaan (2.21) diintegralkan dua kali terhadap dan memilih pendekatan awal ( ) , maka diperoleh :
7
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Penurunan dapat dilihat dalam lampiran 1. Selanjutnya, diperoleh penyelesaian dari persamaan (2.16) dengan syarat awal pada persamaan (2.17) hingga orde keempat sebagai berikut : ( )
Gambar 3 Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah nilai awal (2.16). Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa penyelesaian pendekatan dari masalah nilai awal (2.16) mendekati penyelesaian eksaknya dengan cukup baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diffrensial dengan nilai awal atau nilai batas yang diberikan.
