Turunan Fungsi Aljabar. , karena melengkung maka

Turunan Fungsi Aljabar A. Turunan sebagai Limit Fungsi

𝑓(𝑡)

∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 jika dan hanya jika 𝑡2 = ∆𝑡 + 𝑡1 𝑚= = =

𝑓(𝑡2 )−𝑓(𝑡1 ) 𝑡2 −𝑡1 𝑓(∆𝑡+𝑡1 )−𝑓(𝑡1 ) ∆𝑡 𝑓(∆𝑡+𝑡1 )−𝑓(𝑡1 )

= lim

, karena melengkung maka

∆𝑡 𝑓(∆𝑡+𝑡1 )−𝑓(𝑡1 ) ∆𝑡

∆𝑡→0

= 𝑓′(𝑡1 ) 𝑚 = lim

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)

∆𝑥→0

∆𝑥

= 𝑓′(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

Definisi (Pengertian) Misalkan fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑅 dan 𝑆 ⊆ 𝑅, maka fungsi 𝑓 dapat diturunkan di titik 𝑥 jika 𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑦 dan hanya jika lim ada. Turunan dapat dinotasikan 𝑓′(𝑥), 𝑦′, 𝑑𝑥 , atau 𝑑𝑥 . ∆𝑥 ∆𝑥→0

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥)! Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 Ditanya: 𝑓′(𝑥) ? Jawab: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑓(∆𝑥) = 3(∆𝑥)2 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 3(𝑥 + ∆𝑥)2

1

𝑓(∆𝑥 + 𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥 3(𝑥+∆𝑥)2 −3𝑥 2 = lim ∆𝑥

𝑓′(𝑥) = lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

= lim

∆𝑥→0

3(𝑥+∆𝑥)(𝑥+∆𝑥)−3𝑥 2 ∆𝑥 3(𝑥 2 +2𝑥∆𝑥+∆𝑥 2 )−3𝑥2 ∆𝑥 3𝑥 2 +6𝑥∆𝑥+3∆𝑥 2 −3𝑥 2 ∆𝑥 3𝑥 2 −3𝑥 2 +6𝑥∆𝑥+3∆𝑥 2 ∆𝑥 6𝑥∆𝑥+3∆𝑥 2 ∆𝑥 ∆𝑥(6𝑥+3∆𝑥) ∆𝑥 6𝑥+3∆𝑥 1

= lim 6𝑥 + 3∆𝑥 ∆𝑥→0

= 6𝑥 + 3(0) = 6𝑥 Jadi, 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 B. Turunan Fungsi Aljabar Teorema (Penjabaran dari definisi) Jika 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 , maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1 Bukti: Misal: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 𝑓′(𝑥) = 𝑎 lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)𝑛 −𝑓(𝑥)𝑛 ∆𝑥

∆𝑥→0

𝑥 𝑛 +𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+

= 𝑎 lim [

]

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 𝑥 ∆𝑥 2 +⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−1 +∆𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛 2

∆𝑥

∆𝑥→0

𝑥 𝑛 −𝑥 𝑛 +𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+

= 𝑎 lim [

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 𝑥 ∆𝑥 2 +⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−1 +∆𝑥 𝑛 2

∆𝑥

∆𝑥→0

𝑛𝑥 𝑛−1 ∆𝑥+

= 𝑎 lim [

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 𝑥 ∆𝑥 2 +⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−1 +∆𝑥 𝑛 2

∆𝑥

∆𝑥→0

∆𝑥(𝑛𝑥 𝑛−1 +

= 𝑎 lim [

∆𝑥

𝑛𝑥 𝑛−1 +

= 𝑎 lim [

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 𝑥 ∆𝑥+⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−2 +∆𝑥 𝑛−1 2

1

∆𝑥→0

= 𝑎 lim [𝑛𝑥 𝑛−1 + ∆𝑥→0 𝑛−1

= 𝑎 [𝑛𝑥

= 𝑎[𝑛𝑥 𝑛−1 ] = 𝑎𝑛𝑥 𝑛−1 = 𝑛𝑎𝑥 𝑛−1

+

]

]

𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 𝑥 ∆𝑥+⋯+𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−2 +∆𝑥 𝑛−1 ) 2

∆𝑥→0

]

]

]

𝑛(𝑛−1)

𝑥 𝑛−2 ∆𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑥∆𝑥 𝑛−2 + ∆𝑥 𝑛−1 ] 2 𝑛(𝑛−1) 𝑛−2 𝑥 (0) + ⋯ + 𝑛𝑥(0)𝑛−2 + (0)𝑛−1 ] 2

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥)! Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 2

Ditanya: 𝑓′(𝑥) ? Jawab: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑓′(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 2−1 = 6𝑥 Jadi, 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 C. Operasi Turunan 1) Penjumlahan Turunan Teorema (Penjabaran dari definisi) Jika 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), maka 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) Bukti: Misal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}+{𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 𝑦 ′ = lim [ ] ∆𝑥 ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

∆𝑥→0

+

𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

] + lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

]

∆𝑥 𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥) ∆𝑥

]

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)! Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 Ditanya: 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) ? Jawab: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥 2 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 2−1 + 2 ⋅ 2𝑥 2−1 = 6𝑥 + 4𝑥 = 10𝑥 Jadi, 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 10𝑥 2) Pengurangan Turunan Teorema (Penjabaran dari definisi) Jika 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), maka 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) Bukti: Misal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}−{𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 𝑦 ′ = lim [ ] ∆𝑥 ∆𝑥→0

′

𝑦 = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ′

∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

−

𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

]

∆𝑥 𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)

] − lim [ ∆𝑥→0

∆𝑥

]

𝑦 = 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)! Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 Ditanya: 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) ? 3

Jawab: 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 2 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 2−1 − 2 ⋅ 2𝑥 2−1 = 6𝑥 − 4𝑥 = 2𝑥 Jadi, 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) = 2𝑥 3) Perkalian Turunan Teorema (Penjabaran dari definisi) Jika 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥), maka [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) Bukti: Misal: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 𝑦 ′ = lim [ ] ∆𝑥 ∆𝑥→0

′

𝑦 = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [

]

∆𝑥 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}

+

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} ∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}

∆𝑥→0

∆𝑥

𝑦 ′ = lim [𝑓(∆𝑥 + 𝑥)] lim [ ∆𝑥→0

+

+

+

∆𝑥 {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)

]

]

]

∆𝑥 𝑔(𝑥){𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥) ∆𝑥

𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) 𝑦 ′ = 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑦 ′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]

] + lim [

∆𝑥→0

]

∆𝑥 𝑔(𝑥){𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)} ∆𝑥

]

] + lim [𝑔(𝑥)] lim [ ∆𝑥→0

∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

]

Contoh: Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′! Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 Ditanya: [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ ? Jawab: [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) = (2 ⋅ 3𝑥 2−1 )(2𝑥 2 ) + (3𝑥 2 )(2 ⋅ 2𝑥 2−1 ) = (6𝑥)(2𝑥 2 ) + (3𝑥 2 )(4𝑥) = 12𝑥 3 + 12𝑥 3 = 24𝑥 3 Jadi, [𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥)]′ = 24𝑥 3

4

4) Pembagian Turunan Teorema (Penjabaran dari definisi) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) Jika 𝑔(𝑥), maka [𝑔(𝑥)] ′ = [𝑔(𝑥)]2 Bukti: 𝑓(𝑥) Misal: 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

𝑦 ′ = lim [𝑔(∆𝑥+𝑥) ∆𝑥 ∆𝑥→0

′

𝑦 = lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [

] ]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦 ′ = lim [ ∆𝑥→0

′

𝑦 = lim [

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

⋅

1 ∆𝑥

] 1

⋅ 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] 1

] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

∆𝑥→0

1

] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]

∆𝑥

∆𝑥→0

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 1 ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)} 1

𝑦 ′ = lim [ 𝑦 ′ = lim [

] lim [

𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ = 𝑦′ =

𝑦 ′ = [ lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥

∆𝑥→0

] lim [𝑔(𝑥)] − lim [𝑓(𝑥)] lim [ ∆𝑥→0

∆𝑥→0

1

∆𝑥→0

𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥) ∆𝑥

]] lim [

1

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

𝑦 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] 𝑔(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1

𝑦 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] [𝑔(𝑥)]2 𝑦′ = Contoh:

]

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)} 1 lim [ ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} 1 lim [ lim [ ] ] ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} {𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} 1 lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1 lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 1 lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 1 − lim [ lim [ ] [ ]] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 𝑓(𝑥)

Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 , maka tentukan [𝑔(𝑥)] ′!

Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 𝑓(𝑥) Ditanya: [𝑔(𝑥)] ′ ?1 𝑓(𝑥)

Jawab: [𝑔(𝑥)] ′ = = = =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 (2⋅3𝑥 2−1 )(2𝑥 2 )−(3𝑥 2 )(2⋅2𝑥2−1 ) [2𝑥 2 ]2 (6𝑥)(2𝑥 2 )−(3𝑥 2 )(4𝑥) 4𝑥 4 12𝑥 3 −12𝑥 3 4𝑥 4

5

]

0

= 4𝑥 4 =0 𝑓(𝑥)

Jadi, [𝑔(𝑥)] ′ = 0 D. Teorema L’Hopital Teorema (Penjabaran dari definisi) Jika 𝑔 ≠ 0 dan 𝑥 ≠ 𝑐, maka 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) lim = lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑐 𝑔′(𝑥) Bukti: 𝑓(𝑥) Misal: 𝑦1 = 𝑔(𝑥) ′

𝑦1 = lim [ ∆𝑥→0

′

𝑦1 = lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥) − 𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(𝑥)

∆𝑥

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [

] ]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦1 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [ ∆𝑥→0

𝑦1 ′ = lim [

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

1

⋅ ∆𝑥] 1

⋅ 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]

] lim [

] lim [

∆𝑥

𝑦1 ′ = 𝑦1 ′ = 𝑦1 ′ = 𝑦1 ′ = 𝑦1 ′ =

]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 1 ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)} 1

] lim [

]

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)} 1 lim [ ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} 1 lim [ lim ] [ ] ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} {𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} 1 lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1 lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 1 lim [ − lim ] [ ] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 1 [ lim [ ] − lim [ ]] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦1 ′ =

1

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 1

𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥) 1 𝑦1 ′ = [ lim [𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) ] lim [𝑔(𝑥)] − lim [𝑓(𝑥)] lim [ ]] lim [ ] ∆𝑥 ∆𝑥 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) ∆𝑥→0

∆𝑥→0

∆𝑥→0

1

′

𝑦1 = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] 𝑔(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1

𝑦1 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] [𝑔(𝑥)]2 𝑦1 ′ =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ⋯ (1) [𝑔(𝑥)]2 𝑓′(𝑥)

Misal: 𝑦2 = 𝑔′(𝑥) 𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

𝑦2 = lim [𝑔(∆𝑥+𝑥) ∆𝑥→0

∆𝑥

]

𝑓(∆𝑥+𝑥) 𝑓(𝑥) − 𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(𝑥)

′

𝑦2 = lim [ lim [ ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

∆𝑥

]] 6

∆𝑥→0

∆𝑥→0

′

𝑦2 = lim [ lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

∆𝑥

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [

]]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦2 ′ = lim [ lim [ ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [ ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [

∆𝑥 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)

𝑦2 =

]]

] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]]

∆𝑥

∆𝑥→0

{𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}+{𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)}

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [ ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [

] lim [

𝑦2 ′ = lim [ lim [

1

]]

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)} 1

∆𝑥 {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}−{𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)}

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

] lim [

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1

] lim [

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) {𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} {𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)} 1

−

∆𝑥

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ =

1

] lim [

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 1 lim [ lim [ ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]] ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [ lim [

𝑦2 ′ =

1

⋅ 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]]

∆𝑥 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥) 𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)+0−𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥) 1

∆𝑥→0 ∆𝑥→0

′

1

⋅ ∆𝑥]]

]]

] lim [

∆𝑥

]]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

]]

𝑓(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)⋅𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1 lim [ lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 {𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)} 1 lim [ lim [ − ] lim [𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)]] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0

𝑦2 ′ = lim [[ lim [ ∆𝑥→0

{𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥)}𝑔(𝑥)

∆𝑥→0

∆𝑥

𝑓(𝑥){𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥)}

] − lim [ ∆𝑥→0

∆𝑥

]] lim [

1

]]

∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

𝑓(∆𝑥+𝑥)−𝑓(𝑥) 𝑔(∆𝑥+𝑥)−𝑔(𝑥) 1 𝑦2′ = ∆𝑥→0 lim [[ lim [ ] lim [𝑔(𝑥)] − lim [𝑓(𝑥)] lim [ ]] lim [ ]] ∆𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 ∆𝑥→0 𝑔(∆𝑥+𝑥)⋅𝑔(𝑥)

1 𝑦2′ = ∆𝑥→0 lim [[𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] ( ) ( )] 𝑔 𝑥 ⋅𝑔 𝑥 1

𝑦2 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] 𝑔(𝑥)⋅𝑔(𝑥) 1

𝑦2 ′ = [𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] [𝑔(𝑥)]2 𝑦2 ′ =

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) ⋯ (2) [𝑔(𝑥)]2

Dari (1) dan (2) 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑦1 ′ = dan 𝑦2 ′ = , maka [𝑔(𝑥)]2 [𝑔(𝑥)]2 𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥)

Jika 𝑦1 ′ = 𝑦2 ′ , maka lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→𝑐

Contoh:

𝑥→𝑐

Jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 − 12 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 = 2, maka tentukan [𝑔(𝑥)] ′!

Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 − 12 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 𝑓(𝑥) Ditanya: [𝑔(𝑥)] ′ ? Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 − 12 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 − 14𝑥 − 8 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 𝑔′(𝑥) = 1

7

dan

𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2

Cara1 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)] ′ = [𝑔(𝑥)]2 = = = = = = = =

(3𝑥 2 −14𝑥−8)(𝑥−2)−(𝑥 3 −7𝑥 2 −8𝑥−12)(1) [𝑥−2]2 (3𝑥 3 −6𝑥 2 −14𝑥2 +28−8𝑥+16)−(𝑥 3 −7𝑥 2 −8𝑥−12) (𝑥−2)(𝑥−2) 3𝑥 3 −6𝑥 2 −14𝑥 2 +28−8𝑥+16−𝑥 3 +7𝑥2 +8𝑥+12 𝑥 2 −4𝑥+4 3𝑥 3 −𝑥 3 −6𝑥 2 −14𝑥 2 +7𝑥 2 −8𝑥+8𝑥+28+16+12 2𝑥 3 −13𝑥 2 +56

𝑥 2 −4𝑥+4

𝑥 2 −4𝑥+4 2(2)3 −13(2)2 +56 (2)2 −4(2)+4 16−52+56 4−8+4

20 0

, tidak terdefinisi

Cara2 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) lim 𝑔(𝑥) = lim 𝑔′(𝑥) 𝑥→2

𝑥→2

= lim

3𝑥 2 −14𝑥−8

𝑥→2

1

= lim 3𝑥 2 − 14𝑥 − 8 𝑥→2

= 3(2)2 − 14(2) − 8 = 12 − 28 − 8 = −24 𝑓(𝑥) ′

Jadi, [𝑔(𝑥)] = −24 E. Aplikasi Turunan 1) Gradien Contoh: Jika diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 dan memotong sumbu 𝑋 di titik (2,0), maka tentukanlah gradiennya! Diketahui: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 memotong sumbu 𝑋 di titik (2,0) Ditanya: 𝑚 ? Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 𝑓′(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 𝑓′(2) = 3(2)2 + 6(2) = 12 + 12 = 24 𝑚 = 24 Jadi, 𝑚 = 24 1

Jika diketahui fungsi 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 3𝑥 2 tentukan koordinat titik singgung pada gradien −9! 1 Diketahui: 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 3𝑥 2 𝑚 = −9 Ditanya: koordinat titik singgung ? 1 Jawab: 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 3𝑥 2 Contoh:

8

𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 jika dan hanya jika 𝑚 = 𝑥 2 − 6𝑥 −9 = 𝑥 2 − 6𝑥 jika dan hanya jika 𝑥 2 − 6𝑥 = −9 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = 0 𝑥−3=0 𝑥=3 1 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 3 1 3 𝑦 = 𝑥 − 3𝑥 2 3 1 𝑦 = (3)3 − 3(3)2 3 𝑦 = 9 − 27 = −18 Jadi, koordinat titik singgung (3, −18) 2) Fungsi Naik dan Turun

Untuk setiap 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑆  Fungsi 𝑓 dikatakan naik jika 𝑥1 < 𝑥2 , maka 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )  Fungsi 𝑓 dikatakan turun jika 𝑥1 > 𝑥2 , maka 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) Contoh: Seorang nelayan melihat seekor lumba-lumba sedang berenang mengikuti kecepatan perahu mereka. Lumba-lumba tersebut berenang cepat, terkadang menyelam dan tiba-tiba melayang ke permukakaan air laut. Pada saat nelayan tersebut melihat lumba-lumba menyelam maka ia akan melihatnya melayang ke permukaan 15 detik kemudian dan kembali ke permukaan air laut setelah 3 detik di udara. Demikan pergerakan lumba-lumba tersebut diamati berperiode dalam beberapa interval waktu pengamatan.

9

3) Titik Stasioner Syarat mencapai nilai stasioner jika 𝑓′(𝑥) = 0 Contoh:

1

5

Jika 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 6𝑥, maka tentukanlah titik stasionernya! 1

5

Diketahui: 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 6𝑥 Ditanya: titik stasioner ? 1 5 Jawab: 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 6𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 jika dan hanya jika 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0 𝑥 − 2 = 0 atau 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 2 atau 𝑥 = 3 Jadi, titik stasionernya adalah (2,0) dan (3,0) 4) Kecepatan dan Percepatan 𝑑𝑥 𝑑𝑣 𝑣 = 𝑑𝑡 dan 𝑎 = 𝑑𝑡 Keterangan: 𝑥 = jarak 𝑡 = waktu 𝑣 = kecepatan 𝑎 = percepatan Contoh: Diketahui: Ditanya: Jawab: 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑑𝑡

Jika diketahui jarak yang ditempuh oleh benda adalah (2𝑡 3 ) meter dan pada saat 𝑡 = 5 detik, maka tentukan kecepatan dan percepatannya! 𝑥 = 2𝑡 3 pada saat 𝑡 = 5 detik 𝑣 dan 𝑎 ?

𝑑(2𝑡 3 )

= 𝑑𝑡 = 6𝑡 2 = 6(5)2 = 150 meter/detik 𝑎=

𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑(6𝑡 2 )

= 𝑑𝑡 = 12𝑡 = 12(5) = 60 meter/detik 2 Jadi, kecepatan adalah 150 meter/detik dan percepatan 60 meter/detik 2 5) Maksimum dan Minimum Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutupdilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut. 10

a) Menentukan nilai fungsi pada batas interval. b) Menentukan nilai stasioner apabila stationer dicapai pada xdi dalam interval. c) Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b). Jika 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 dan pada interval −1 < 𝑥 < 3, maka tentukanlah nilai maksimum dan minimum! Diketahui: 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 interval −1 < 𝑥 < 3 Ditanya: nilai maksimum dan minimum ? Jawab: Nilai fungsi pada batas interval 𝑓(−1) = −(−1)3 + 6(−1)2 = 1 + 6 = 7 𝑓(3) = −(3)3 + 6(3)2 = −27 + 54 = 27 Contoh:

Nilai stasioner 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑓′(𝑥) = −3𝑥 2 + 12𝑥 jika dan hanya jika −3𝑥 2 + 12𝑥 = 0 −3𝑥(𝑥 − 4) = 0 −3𝑥 = 0 atau 𝑥 − 4 = 0 𝑥 = 0 atau 𝑥 = 4 Nilai maksimum dan minimum 𝑓(0) = −(0)3 + 6(0)2 = 0 + 0 = 0 𝑓(4) = −(4)3 + 6(4)2 = −64 + 96 = 32 Sehingga pada interval −1 < 𝑥 < 3 diperoleh 𝑓(−1) = 7 𝑓(3) = 27 𝑓(0) = 0 Jadi, nilai maksimumnya 27 dan nilai minimumnya 0 Contoh:

Jika sebuah peluru ditembakkan dari permukaan tanah dengan jarak awal (−𝑡 3 + 6𝑡 2 ) meter dengan sudut elevasi 45°, 𝑔 = 10 meter/detik 2 , dan pada saat 𝑡 = 3 detik, maka berapa jarak maksimum yang dicapai peluru! Diketahui: 𝑥0 = (−𝑡 3 + 6𝑡 2 ) meter 𝛼 = 45° 𝑔 = 10 meter/detik 2 pada saat 𝑡 = 3 detik Ditanya: 𝑥𝑚𝑎𝑥 ? Jawab: 𝑥0 = −𝑡 3 + 6𝑡 2 𝑣0 = −3𝑡 2 + 12𝑡 = −3(3)2 + 12(3) = −27 + 36 = 9 𝑥𝑚𝑎𝑥 = = =

𝑣0 2 sin 2𝛼 𝑔 (9)2 sin 2(45°) 10 81 sin 90° 10 81(1)

= 10 = 8,1 meter Jadi, jarak maksimum yang dicapai peluru adalah 8,1 meter 11