TEOREMA DIVERGENSI Teorema divergensi Gauss Apabila V suatu ruang dibatasi dengan luasan tertutup S, dan
A suatu fungsi vektor yang mempunyai derivatif kontinu, maka
. A dV A . n dS A . dS V
S
S
dengan n positif normal dari pada S.
Selanjutnya dibahas : Teorema Green pada Bidang. Teorema Stokes
ANALISIS VEKTOR
Silahkan KLIK KIRI
Hal 1 dari 16
Teorema Green pada Bidang. Bidang datar R dengan boundary kurve sederhana tertutup C, dengan kekhususan setiap garis sejajar sumbu koordinat memotong kurve C
paling banyak pada dua titik. y P3
d
R
P4
c
0
f2(x)
P2
P1 a
ANALISIS VEKTOR
f1(x)
b
x
Hal 2 dari 16
Diberikan fungsi M(x,y), N(x,y) terdefinisi kontinu dan masing-masing mempunyai derivative kontinu pada region R dan pada boundary C. Didefinjisikan
I1
R
N ( x , y ) dx dy x
dan
I2
M( x , y) y dx dy R
Ditinjau
I1
R
N ( x , y ) dx dy x
Integral I1 pada region R adalah equvalen dengan pengintegralan dari sub-curve C : P1P4P3 sampai dengan sub-curve C : P1P2P3 sehingga diperoleh
I1
R
ANALISIS VEKTOR
N ( x , y ) dx dy x
y d
x g2 ( y )
y c
x g1 ( y )
N ( x , y ) dx dy x Hal 3 dari 16
y d
y d
y c
y c
N ( g 2 ( y ),y ) dy
N ( g 2 ( y ),y ) dy
y d
y c
N ( g 2 ( y ),y ) dy
y d
y c
y c
y d
N ( g 1 ( y ),y ) dy
N ( g 1 ( y ),y ) dy
merupakan bentuk integral fungsi N(x,y) untuk x = g2(y),
yang berarti merupakan bentuk integral garis fungsi N(x,y) sepanjang sub-curve C : x = g2(y) dari titik P1 ke P3 (melalui P2).
y d
y c
N ( g1 ( y ),y )dy
merupakan bentuk integral fungsi N(x,y) untuk x = g1(y), yang berarti merupakan bentuk integral garis fungsi N(x,y) sepanjang sub-curve C : x = g1(y) dari titik P3 ke
P1 (melalui P4). ANALISIS VEKTOR
Hal 4 dari 16
Dengan demikian diperoleh
R
N ( x , y ) dx dy N ( x , y ) dy x
C
Selanjutnya ditinjau I2
R
M ( x , y ) dx dy y
R
M ( x , y ) dy dx y
Integral I2 pada region R adalah equivalen dengan pengintegralan dari sub-
curve C : P4P1P2 sampai dengan sub-curve C : P2P3P4 sehingga diperoleh I2
R
ANALISIS VEKTOR
M ( x , y ) dx dy y
x b
y f 2 ( y )
x a
y f 1 ( y )
M ( x , y ) dy dx y
Hal 5 dari 16
Dengan cara yang sama akan diperoleh
R
atau
R
M ( x , y ) dx dy x
R
R
ANALISIS VEKTOR
N ( x , y ) dx dy N ( x , y ) dy x
M ( x , y ) dx dy x
N ( x , y ) dx dy x
R
C
C
R
M ( x , y )dx
Apabila kedua ruas persamaan dan persamaan
M ( x , y ) dx dy M ( x , y ) dx x
C
M ( x , y )dx
dijumlahkan akan diperoleh
C
M ( x , y ) dx dy x
M ( x , y )dx N ( x , y )dy
C
C
Hal 6 dari 16
Atau dapat disajikan sebagai
R
N ( x , y ) M ( x , y ) dx dy x x
M ( x , y )dx
N ( x , y ) dy
C
yang dikenal sebagi Teorema Green pada Bidang.
Teorema Green pada Bidang. Apabila R suatu luasan tertutup pada bidang x0y, dengan boundary
curva sederhana tertutup C, dan apabila M(x,y) dan N(x,y) fungsi kontinu dengan derivative kontinu pada R, maka
M dx Ndy
C
R
N M x y
dx dy
dengan arah putar C positif.
ANALISIS VEKTOR
Hal 7 dari 16
Teorema Stokes Misalkan S suatu luasan yang proyeksinya pada bidang x0y, y0z, x0z masing-masing merupakan region bounded dengan kurva sederhana tertutup.
Apabila luasan S mempunyai representasi sebagai z = f(x,y), atau x = g(y,z), atau y = h(x,z) dengan f, g ataupun h masing-masing merupakan fungsi berharga tunggal, kontinu dan mempunyai derivative kontinu.
Apabila diberikan vektor fungsi A = A1 i + A2 j + A3 k , dan n adalah vektor satuan normal pada luasan S, maka diperoleh buhungan :
i A1 i x ANALISIS VEKTOR
A1
j
k
y
A1 A1 j k z z y
0
0
Hal 8 dari 16
Dengan demikian diperoleh
A A 1 n . j 1 n . k S y z
A1 i . n S
Selanjutnya apabila luasan S disajikan dengan z = f(x,y), dengan demikian suatu titik pada luasan S disajikan dengan vektor r = x i + y j + z k = x i + y j + f(x,y) k dan diperoleh r z f ( x , y ) j k j k y y y
Karena
r y
merupakan vektor tangent pada luasan S, berarti vektor
r y
dan n saling tegak lurus, sehingga n.
r z n. j n .k 0 y y
ANALISIS VEKTOR
atau
n. j
z n .k y
Hal 9 dari 16
Mengingat
A1 i . n S
A A 1 n . j 1 n . k S y z
maka diperoleh
A1 i . n S
A z A 1 n . k 1 n . k S y z y A A z 1 1 z y y
n . k S
Selanjutnya untuk vektor A, A = A1 i + A2 j + A3 k , pada luasan S dengan A1 = A1(x,y,z) = A1(x,y,f(x,y)) = F(x,y) sehingga diperoleh A1 A1 z F ( x , y ) y z y y
ANALISIS VEKTOR
dan
Hal 10 dari 16
A1 i . n S
A A z 1 1 z y y
n . k S
F ( x , y ) n . k S y
F ( x , y ) x y y
Selanjutnya diperoleh
A1 i . n dS S
R
F ( x , y ) dx dy y
dengan R merupakan proyeksi S pada bidang xOy.
ANALISIS VEKTOR
Hal 11 dari 16
Misalkan kurva sederhana tertutup C merupakan boundary R, maka berdasarkan Teorema Green pada bidang diperoleh hubungan
R
F ( x , y ) dx dy F ( x , y ) dx y
C
A ( x , y , z ) dx 1
C
sehingga diperoleh
A i . n dS A ( x , y , z ) dx 1
1
S
C
Dengan cara yang sama diperoleh
A
2
S
j . n dS A2 ( x , y , z ) dy
C
A k . n dS A ( x , y , z ) dz 3
S
ANALISIS VEKTOR
3
C
Hal 12 dari 16
Dengan demikian diperoleh hubungan
A
1
i . n dS
S
A j . n dS A k . n dS 2
3
S
S
A ( x , y , z ) dx A ( x , y , z ) dy A 1
2
C
C
3(
x , y , z ) dz
C
atau dapat disajikan sebagai
A . n dS A . dr S
C
ingat r = x i + y j + z k .
Formula di atas dikenal sebagai Teorema Stokes.
ANALISIS VEKTOR
Hal 13 dari 16
Teorema Stokes Apabila S suatu luasan terbuka, dua sisinya dibatasi oleh kurva
sederhana tertutup C, dan A suatu fungsi vektor yang mempunyai derivatif kontinu, maka
A . dr A . n dS A . dS
C
S
S
dengan arah putar C positif.
ANALISIS VEKTOR
Hal 14 dari 16
Diketahui bahwa M dx + N dy = (Mi + Nj) . (dxi + dyj) = A . dr , dengan A = Mi + Nj dan r = dxi + dyj. Selanjutnya apabila A = Mi + Nj maka
i
A
j
x
y
M
N
k
N M N M i j z z z x y 0
k
Dengan demikian diperoleh hubungan
A . k
ANALISIS VEKTOR
N M x y
Hal 15 dari 16
Selanjutnya diketahui teorema Green pada bidang
M dx
Ndy
C
R
N M x y
dx dy
dapat disajikan sebagai
A . dr A . k dR
C
R
dengan dR = dx dy
Dengan demikian terbukti bahwa Teorema Green pada bidang merupakan suatu kejadian khusus dari Teorema Stoke.
ANALISIS VEKTOR
Hal 16 dari 16
