VEKTOR Notasi Vektor ( ,
⃗ ( ,
,
,
)
)
⃗ di atas dapat dinyatakan dengan:
Vektor ⃗ atau Matriks ⃗= −
− − Maka = − Kombinasi linear vektor basis ⃗ = − maka; ⃗= ⃗=
⃗= ⃗=(
−
) ̂+(
−
) ̂+(
−
) =
̂+
̂+
=( , , )
Panjang Vektor Misalkan ⃗ =
̂+
| ⃗| =
+
+
=( , , )=
̂+
Vektor satuan ⃗ ditulis , dengan
, maka panjang vektor ⃗ adalah;
⃗
= | ⃗|
panjangnya satu dan searah ⃗.
Vektor satuan
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Cara segitiga
Cara jajaran genjang ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗+ ⃗= ⃗
⃗+ ⃗= ⃗
Jika ⃗ = ⃗+ ⃗ = Jika ⃗ =
dan ⃗ =
, maka ⃗ + ⃗ =
+
=
+ + +
dan panjangnya
−
=
− − −
dan panjangnya
( + ) +( + ) +( + ) dan ⃗ =
, maka ⃗ − ⃗ =
⃗− ⃗ =
( − ) +( − ) +( − ) Jika adalah sudut antara vektor ⃗ dan ⃗, panjang ⃗ + ⃗ dan ⃗ − ⃗ dapat ditentukan dengan aturan cosinus pada sebuah segitiga.
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 1
⃗= ⃗+ ⃗
⃗
⃗ ⃗= ⃗− ⃗
| ⃗| = ⃗ + ⃗ ⃗
= ⃗− ⃗
−⃗
= | ⃗| + ⃗
+ 2| ⃗| ⃗ cos
= | ⃗| + ⃗
− 2| ⃗| ⃗ cos
Pembagian Ruas garis dengan Vektor
⃗ ⃗ ⃗ Jika ⃗ adalah vektor posisi dari titik ∶ = ∶ , maka; ⃗=
∙⃗
Jika titik Jika titik
yang membagi garis
dengan perbandingan
∙⃗
pada ruas garis , maka dan positif ada di perpanjangan , maka salah satu
atau
negatif.
Perkalian dan Sudut Dua Vektor Untuk | | ≠ 0 dan | | ≠ 0 dan sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ maka perkalian titik (dot product) antara ⃗ dan ⃗ menghasilkan nilai skalar sebesar: ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ ∙ cos
⟹ cos
dengan ⃗ ∙ ⃗ =
=
∙ + ∙ + jika ⃗ tegak lurus ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = 0 catatan: ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ⃗∙ ⃗= ⃗∙ ⃗
⃗∙ ⃗ | ⃗|∙ ⃗
∙
Perkalian Silang Vektor ̂+ dan ⃗ = ̂+ ̂+ untuk | ⃗| ≠ 0 dan ⃗ ≠ 0 dan antara vektor ⃗ dan ⃗, berlaku rumus sebagai berikut: Jika ⃗ =
̂+
sudut
⃗× ⃗= Luas segitiga jika dua sisinya diketahui
dan
adalah
⃗× ⃗
Proyeksi Vektor Proyeksi skalar (panjang proyeksi) vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah; | ⃗| =
⃗∙ ⃗ ⃗
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 2
Proyeksi orthogonal vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah; ⃗=
⃗∙ ⃗ ⃗
∙⃗
CONTOH SOAL 1.
Diketahui vektor-vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 , ⃗ = 4 ̂ + 7 , ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ + , dan vektor ⃗ = ⃗ + 2 ⃗ − ⃗. Vektor ⃗ = . . . . a. 13 ̂ + ̂ − 16 d. 13 ̂ + ̂ + 16 b. 7 ̂ − 3 ̂ − 18 e. 7 ̂ − 3 ̂ + 18 c. 13 ̂ + 16 Pembahasan: 2 ⟹ ⃗ = −1 3 4 ⃗ =4 ̂+7 ⟹ ⃗ = 0 7 −3 ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ + ⟹ ⃗ = −2 1 ⃗ = ⃗ + 2⃗ − ⃗
2 4 −3 ⃗ = −1 + 2 0 − −2 3 7 1 2 + 8 − (−3) 13 ⃗ = −1 + 0 − (−2) = 1 16 3 + 14 − 1 ⃗ = 13 ̂ + ̂ + 16
⃗= 2 ̂− ̂+3
2.
Diketahui vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 , ⃗ = − ̂ + 2 ̂ − 5 , dan ⃗ = 3 ̂ + vektor ⃗ + ⃗ tegak lurus ⃗, nilai 2 = . . . . a.
−2 atau
d. 3 atau 2
b.
2 atau
e. −3 atau 2
c.
2 atau −
̂+
. Jika
Pembahasan: 2 ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 3 ⟹ ⃗ = −1 3 − ⃗ = − ̂+2 ̂−5 ⟹ ⃗ = 2 −5 3 ⃗=3 ̂+ ̂+ ⟹ ⃗= 1 − 2 ⃗ + ⃗ = −1 + 2 = 1 −5 −2 3
3.
Jika ⃗ + ⃗ tegak lurus ⃗ maka ⃗=0 ∙3 +1∙ −2∙1= 0 3 + −2=0 (3 − 2)( + 1) = 0 3 − 2 = 0 atau + 1 = 0 = atau = −1 Sehingga 2 = atau 2 = −2
−4 8 , ⃗ = −3 , dan ⃗ = −2 6 dari ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = . . . . 3 a. 3 3 d. 3 −4 3 b. −3 3 e. 3 −4 3 c. −3 3 4 Diketahui vektor ⃗ =
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
⃗+ ⃗ ∙
−2 7 . Jika vektor ⃗ tegak lurus ⃗, hasil −4 3 3 4 3 −3 −4
Hal 3
Pembahasan: −4 −9 −2 8 + −3 − 2 7 6 −2 −4 −4 − 9 + 4 −9 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = 8 − 3 − 14 = −9 6−2+8 12 3 ⃗ + ⃗ − 2 ⃗ = −3 3 −4
⃗ ⊥ ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = 0 (−4)( ) + (8)(−3) + (6)(−2) = 0 −4 − 24 − 12 = 0 −4 = 36 = −9 −9 Sehingga ⃗ = −3 −2
4.
⃗+ ⃗−2 ⃗ =
3 1 Diketahui vektor ⃗ = −3 , dan ⃗ = −7 . sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ adalah . . . . 4 −6 a. 135° d. 60° b. 120° e. 45° c. 90° Pembahasan: ⃗ ∙ ⃗ = 3(1) + (−3)(−7) + 4(−6) ⃗ ∙ ⃗ = 3 + 21 − 24 = 0 n Karena ⃗ ∙ ⃗ = 0 maka ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus atau ∠( ⃗, ⃗) = 90°
5.
Diketahui vektor ⃗ =
3 3 0 , dan ⃗ = 3 . Nilai sinus sudut antara vektor ⃗ dan ⃗ adalah −3 0
.... a.
−
d.
√2
b.
0
e.
√3
c. Pembahasan: ⃗ ∙ ⃗ = 3(3) + 0(3) + (−3)(0) ⃗∙ ⃗ = 9+0+0=9 | ⃗| = 3 + 0 + (−3) = √18 ⃗ = √3 + 3 + 0 = √18 ⃗∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ =
cos ∠ ⃗, ⃗ =
√
∙√
=
=
∠ ⃗, ⃗ = 60° sin ∠ ⃗, ⃗ = sin 60° = √3
| ⃗|∙ ⃗
6.
Diketahui segitiga ⃗ pada
Vektor proyeksi a. −12 ̂ + 12 ̂ − 6 b. −6 ̂ − 4 ̂ + 16 c. −6 ̂ + 4 ̂ − 16 Pembahasan:
dengan titik (2, −1, −3), (−1, 1, −11), dan ⃗ adalah . . . .
Misal ⃗ = ⃗ = − 2 −3 −1 ⃗= 1 − −1 = 2 −11 −3 −8 Misal ⃗ = ⃗ = − 4 2 2 ⃗ = −3 − −1 = −2 −2 −3 1 | ⃗| = 2 + (−2) + 1 = √9 = 3 ⃗ ∙ ⃗ = −3(2) + 2(−2) + (−8)(1) ⃗ ∙ ⃗ = −18
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
(4, −3, −2).
d. 12 ̂ − 12 ̂ + 6 e. −4 ̂ + 4 ̂ − 2
⃗ pada 2 −2 1 −4 = 4 −2 ̂−2
Vektor proyeksi ⃗∙ ⃗
⃗ = | ⃗| ⃗ = 2 ⃗ = −2 −2 1 ⃗ = −4 ̂ + 4
⃗;
Hal 4
7.
⃗ adalah vektor proyeksi ⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 pada ⃗ = 4 ̂ + 2 ̂ + 5 . Panjang ⃗ adalah . . . . a.
√5
d. 2√6
b.
√5
e. 4√6
c.
√2
Pembahasan: ⃗ merupakan vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, maka panjang ⃗ dapat dihitung dengan rumus proyeksi skalar;
2 ⃗ = 2 ̂ − 2 ̂ + 4 ⟹ ⃗ = −2 4 4 ⃗ = 4 ̂+2 ̂+5 ⟹ ⃗ = 2 5 ⃗ = √4 + 2 + 5 = √45 = 3√5 ⃗ ∙ ⃗ = 2(4) + (−2)(2) + 4(5) = 24
8.
| ⃗| =
Diketahui vektor-vektor ⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ − dan ⃗ adalah
dengan cos
=
√
⃗∙ ⃗ ⃗
| ⃗| =
√
= ×
√ √
=
√
√
= √5
dan ⃗ = − ̂ +
̂−2
. Sudut antara ⃗
. Proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah ⃗ = ̂ − ̂ + 2 . Nilai dari
=.... d. √7
a. √35
b.
e. √35
c. √5 Pembahasan: −3 ⟹ ⃗ = −2 − − ⃗ = − ̂+ ̂−2 ⟹ ⃗ = −2 1 ⃗ = ̂ − ̂ + 2 ⟹ ⃗ = −1 2 Vektor proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah ⃗, maka berlaku; ⃗= ⃗ − 1 = −1 −2 2 − = ⟹ =− =− ⟹ =− − =− ⟹ = ∠( ⃗, ⃗) =
√
=
⃗ = −3 ̂ − 2 ̂ −
cos √ √
9.
=
Substitusi
( (
) (
)( ) (
)(
)
)
)
(
(
=
√
=
5 5 5
) (
√
36
⃗∙ ⃗
)
=
)
∶
⃗ = (1, 2) dan vektor = 1 ∶ 2, panjang vektor
√ √
=±
√
= ± √35
= − √35 atau
⃗ = (2, 1). Jika titik
= √35
terletak pada
⃗=....
a.
√2
d.
√41
b.
√2
e.
√41
c.
√2
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
)
+9= + 9 = 16 =7 =
Jadi
sehingga
(
36 (5 + 9) = (24 ) (5 + 9) = 576
=±
=
Diketahui vektor
=
√6 ∙ 6 (5 + 9) = 8(3 ) 36 (5 + 9) = 24 Kuadratkan kedua ruas;
= | ⃗|| ⃗| (
√
Hal 5
Pembahasan: ⃗= ⃗= 1 2 ⃗= ⃗= 2 1 ∶ =1∶ 2⟹ ⃗ Maka ⃗ = ⃗ =
4 ⃗= = 1, dan
=2
=
=
5
3 3
⃗ = | ⃗| =
panjang vektor
+
⃗
| ⃗| =
+
=
= √41
10. Diketahui (4, 9, 1), (6, 3, −2), dan (−2, 6, 3) adalah titik titik sudut suatu segitiga. Luas segitiga itu sama dengan . . . . a. 36 d. 18 b.
30
e.
c. Pembahasan: Misal ⃗ =
⃗=
⃗=
−
⃗=
̂ ⃗× ⃗= 2 −6 ̂ ⃗× ⃗= 2 −6
6 4 2 3 − 9 = −6 −2 1 −3 −2 4 −6 = 6 − 9 = −3 3 1 2 −
=
̂ −6 −3 −3 2 ̂ ̂ ̂ −6 −3 2 −6 −3 2 −6 −3
⃗ × ⃗ = −12 ̂ + 18 ̂ + −6 ⃗ × ⃗ = −21 ̂ + 14 ̂ + −42 Luas ∆ = ⃗× ⃗
− 36 − 9 ̂ − 4 ̂
(−21) + 14 + (−42)
Luas ∆
=
Luas ∆
= √441 + 196 + 1764
Luas ∆
= √2401 =
SOAL LATIHAN 1.
3 1 −5 ,⃗= , dan ⃗ = maka panjang vektor ⃗ = ⃗ + ⃗ − ⃗ adalah . . . . −2 0 4 a. √5 d. 3√13 b. 2√13 e. 2√11 c. 17 Pembahasan: Jika ⃗ =
3 ,⃗ −2 ⃗= ⃗+ ⃗− ⃗= 3 + −2
⃗=
=
1 −5 , dan ⃗ = 0 4
⃗ 1 9 −5 − = 0 −6 4
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Maka; ⃗ = 9 + (−6) = √81 + 36 ⃗ = √117 = 3√13
Hal 6
2.
Diketahui ⃗ = −7 ̂ + 8 ̂ dan (1, −2). Jika | | = | ⃗| dan maka koordinat titik adalah . . . . a. (6, 10) d. (8, 10) b. (6, −10) e. (8, −10) c. (6, −6) Pembahasan: −7 8 (1, −2), dan misalkan ( , ) | | = | ⃗| dan berlawanan arah dengan ⃗ saling ⃗, sehingga vektor ⃗ dan berlawanan, maka; ⃗ = −⃗ −7 − =− 8
1 7 = −8 −2 −1 7 = +2 −8 −1=7⟹ =8 + 2 = −8 ⟹ = −10 Jadi koordinat titik (8, −10)
⃗ = −7 ̂ + 8 ̂ ⟹
3.
berlawanan arah dengan ⃗
−
Panjang vektor ⃗, ⃗, dan ⃗ + ⃗ berturut-turut adalah 12, 8, dan 4√7. Besar sudut antara ⃗ dan ⃗ adalah . . . . a. 45° b. 60° c. 90° Pembahasan: | ⃗| = 12, ⃗ = 8, dan ⃗ + ⃗ = 4√7 ⃗+ ⃗
= | ⃗| + ⃗
d. 120° e. 150°
+ 2 ∙ | ⃗| ∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗
= 12 + 8 + 2 ∙ 12 ∙ 8 cos ∠ ⃗, ⃗ 112 = 144 + 64 + 192 cos ∠ ⃗, ⃗ 4√7
112 = 208 + 192 cos ∠ ⃗, ⃗ −96 = 192 cos ∠ ⃗, ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ =
4.
=−
∠ ⃗, ⃗ = 120° Jika | ⃗| = 2, ⃗ = 3, dan sudut ⃗, ⃗ = 120° maka 3 ⃗ + 2 ⃗ = . . . . a. 5 d. 12 b. 6 e. 13 c. 10 Pembahasan: | ⃗| = 2, ⃗ = 3, dan sudut ⃗, ⃗ = 120° 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9| ⃗| + 4 ⃗ + 12| ⃗| ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ 3 ⃗ + 2 ⃗ = 9(2) + 4(3) + 12(2)(3) cos 120° 3⃗ + 2⃗
= 9(4) + 4(9) + 72 −
3 ⃗ + 2 ⃗ = 36 + 36 − 36 3 ⃗ + 2 ⃗ = 36 3 ⃗ + 2 ⃗ = √36 = 6
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 7
5.
Diketahui titik (1, −2, −8) dan titik (3, −4, 0). Titik terletak pada perpanjangan sehingga = −3 . Jika ⃗ vektor posisi titik , maka ⃗ = . . . . a. 4 ̂ − 5 ̂ + 4 d. −3 ̂ − ̂ − 12 b. 4 ̂ − 5 ̂ − 4 e. − ̂ − 5 ̂ − 2 c. − ̂ − 12 Pembahasan: ∙ ⃗
⃗= ∙
⃗
∙
∙
⃗=
⃗
⃗=
(1, −2, −8), (3, −4, 0) ⃗ = (1, −2, −8) dan ⃗ = (3, −4, 0) = −3 ⟹ : = 3 ∶ −1 Misalkan = 3 dan = −1, maka;
6.
Diketahui titik (4, 9, −6) dan 1 ∶ 3. Panjang =.... a. √15 b. 9 c. 3√10 Pembahasan:
4 ⃗ = −5 = 4 ̂ − 5 ̂ + 4 4
(−4, −3, 2). Titik
Jika titik a.
membagi
dengan perbandingan
d. 11 e. 3√17
−4 4 −8 ⃗ = −3 − 9 = −12 −6 2 8 ⃗ ⃗= −8 −6 ⃗ = −12 = −9 8 6 Sehingga; ⃗ = (−6) + (−9) + 6 ⃗ = √36 + 81 + 36 = √153 = 3√17
⃗ = (4, 9, −6) dan ⃗ = (−4, −3, 2) ⃗: ⃗ = 1 ∶ 3 ⟹ ⃗ = ⃗ ⃗= ⃗− ⃗
7.
=
, , 1 , (1, 0, 0) dan (2, 5, ) terletak pada satu garis lurus maka
0
b.
=....
d. 2 e.
c. 1 Pembahasan: , , 1 , (1, 0, 0) dan (2, 5, ) , , dan segaris, maka berlaku; ⃗= ⃗ − = ( − ) 3 3 1 2 2 2 = 0 − 5 5 − 5 2 2 0 1 1
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
1 −1 2 2 5 −5 2 = 2 −1 −1 −1 2 2 −5 2 = 5 2 − −1 1 − 2 = 2 ⟹ = −1
Hal 8
−1 = − Substitusi = −1; −1 = (−1) − (−1)
8.
−1 = − + 1 =2
Vektor ⃗ = (4, 3), vektor ⃗ = (1, −2), dan vektor ⃗ = (2, 7). Jika ⃗ = ⃗ + ⃗ maka =.... a. −3 d. 2 b. −2 e. 3 c. −1 Pembahasan: Substitusi = 1 ke persamaan; ⃗ = (4, 3), ⃗ = (1, −2), dan ⃗ = (2, 7) 4 + =2 ⃗= ⃗+ ⃗ 4(1) + = 2 4 2 1 = + 4+ =2 7 3 −2 4 2 = −2 = + −2 3 7 Sehingga; × = 1(−2) = −2 ×
9.
+
=1 Diketahui persegi panjang = ⃗ maka ⃗ ∙ ⃗ = . . . . a. 13 b. 60 c. 144 Pembahasan:
= 12 dan
dengan panjang
= 5. Jika
= ⃗ dan
d. 149 e. 156
=5 =√ + = √144 + 25 = √169 = 13 ⟹ | ⃗| = 13
⃗ cos
⃗
=
=
⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ | ⃗| cos ⃗ ∙ ⃗ = 12 ∙ 13 ∙
= 12 ⟹ | ⃗| = 12
10. Diketahui vektor ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 2 lurus pada vektor ⃗ jika = . . . .
= 144
dan ⃗ = 4 ̂ + 10 ̂ − 8 . Vektor ⃗ + ⃗ akan tegak
a.
1
d.
b.
−2
e. −1
c.
−
pembahasan: 2 ⃗ = 2 ̂ − ̂ + 2 ⟹ ⃗ = −1 2 ⃗ = 4 ̂ + 10 ̂ − 8 ⟹ ⃗ =
4 10 −8
4 2 ⃗ + ⃗ = −1 + 10 −8 2 4 +2 2+4 ⃗ + ⃗ = −1 + 10 = 10 − 1 −8 + 2 2−8
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
( ⃗ + ⃗) tegak lurus ⃗, maka; ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = 0 (4 + 2) ∙ 2 + (10 − 1) ∙ (−1) + (−8 + 2) ∙ 2 = 0 8 + 4 − 10 + 1 − 16 + 4 = 0 −18 + 9 = 0 18 = 9 =
Hal 9
11. Jika ⃗ = ̂ + , a. 3 b. 2 c. 1 Pembahasan:
⃗ = ̂+ ,
⃗=
̂ + 4 , dan ∠ d. −1 e. −2
⃗ = ̂ + ⟹koordinat titik (1, 0, 1) ⃗ = ̂ + ⟹ koordinat titik (0, 1, 1) ⃗ = ̂ + 4 ⟹ koordinat titik (0, , 4) 1 1 0 ⃗ = − = 0 − 1 = −1 1 1 0 0 0 0 ⃗= − = − 1 = −1 4 1 3 Diketahui ∠ = 60° ⟹ ∠ ⃗, ⃗ = 60° ⃗,
cos ∠
⃗∙ ⃗ ⃗∙ ⃗ ( ) ( )(
=
=
(
)
)
)
(2 − 2 ) = √2 − 4 + 20 4 − 8 + 4 = 2 − 4 + 20 4 − 2 − 8 + 4 + 4 − 20 = 0 2 − 4 − 16 = 0 Kedua ruas dibagi 2; −2 −8= 0 ( + 2)( − 4) = 0 = −2 atau = 4
( ) (
(
=....
2(1 − ) = √2 − 4 + 20 2 − 2 = √2 − 4 + 20 Kuadratkan kedua ruas;
⃗ =
cos 60° =
= 60° maka
)
√
12. Sudut antara vektor ⃗ = ̂ + (2 + 1) ̂ − √3 dan ⃗ adalah 60°. Jika panjang proyeksi ⃗ ke ⃗ sama dengan √5 maka = . . . . a.
4 atau −
d.
atau −1
b.
1 atau 4
e. − atau 1
c. 1 atau 2 Pembahasan: ⃗=
̂ + (2 + 1) ̂ − √3
√
=√
+4
+4 +1+3
⟹ ⃗ = 2 +1 − √3 ∠ ⃗, ⃗ = 60°
kedua ruas kalikan 2;
Misalkan panjang proyeksi ⃗ ke ⃗ adalah | ⃗|,
√5 = √8 + 4 + 1 5=8 +4 +1 8 +4 −4 =0 2 + −1=0 (2 − 1)( + 1) = 0
√5 = √8 + 4 + 1 Kuadratkan kedua ruas;
maka | ⃗| = √5 | ⃗| =
⃗∙ ⃗ ⃗
=
| ⃗|∙ ⃗
∠ ⃗, ⃗ ⃗
| ⃗| = | ⃗| cos ∠ ⃗, ⃗ √
=
+ (2 + 1) + − √3
13. Vektor ⃗ = −3 ̂ + 4 ̂ + 6 maka = . . . . a. 8 b. 10 c. 12 Pembahasan: ⃗ = −3 ̂ + 4 ̂ +
∙
⟹ ⃗=
= atau
= −1
cos 60°
dan ⃗ = 2 ̂ + 3 ̂ − 6 . Jika panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah d. −4 e. −6
−3 4
2 ⃗ = 2 ̂+3 ̂−6 ⟹ ⃗ = 3 −6
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Misalkan panjang proyeksi ⃗ pada ⃗ adalah | ⃗|, maka | ⃗| = 6 | ⃗| = 6=
⃗∙ ⃗ | ⃗| ( )
( ) (
(
)
)
Hal 10
6= 6=
42 = 6 − 6 6 = 6 − 42 6 = −36 = −6
√ √
6=
14. Diketahui vektor ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ + 2 orthogonal ⃗ pada ⃗ adalah . . . .
dan vektor ⃗ = 2 ̂ − 6 ̂ + 4 . Proyeksi vektor
a. 8 ̂ − 4 ̂ + 4 b. 6 ̂ − 8 ̂ + 6 c. 4 ̂ − 2 ̂ + 2 Pembahasan:
d. e.
4 ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ + 2 ⟹ ⃗ = −2 2 2 ⃗ = 2 ̂ − 6 ̂ + 4 ⟹ ⃗ = −6 4 ⃗ = 2 + (−6) + 4 = √4 + 36 + 16 ⃗ = √56 ⃗ ∙ ⃗ = 4(2) + (−2)(−6) + 2(4) ⃗ ∙ ⃗ = 8 + 12 + 8 = 28
̂−3 ̂+2 ̂− ̂+
Proyeksi vektor orthogonal ⃗ pada ⃗ adalah; ⃗∙ ⃗ ⃗= ∙⃗ ⃗
2 ∙ −6 √ 4 2 ⃗ = ∙ −6 4 2 1 ⃗ = ∙ −6 = −3 4 2 ⃗ = ̂−3 ̂+2 ⃗=
0 2 1 1 , ⃗ = 2√2 , dan ⃗ = . Jika panjang √2 √2 proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah 1, dan vektor ⃗ tegak lurus dengan vektor ⃗, nilai + =.... a. −1 d. 2 b. 0 e. 3 c. 1 Pembahasan:
15. Diberikan vektor-vektor berikut: ⃗ =
2 1 1 , ⃗ = 2√2 , √2
Diketahui; ⃗ = 0 ⃗= √2
Panjang proyeksi vektor ⃗ pada vektor ⃗ adalah | ⃗| = 1, dan ⃗ ⊥ ⃗. | ⃗| = 1=
⃗∙ ⃗ | ⃗| ( )
√ ( )
√ √
√
1= 1=
√
√ (
( + 2)√2 = 0 ( + 2) = 0 = −2 ⃗⊥ ⃗⟹ ⃗∙ ⃗=0 2(0) + 2√2( ) + √2 = 0 0 + 2 √2 + √2 = 0 Substitusi = −2: 2 √2 − 2√2 = 0 2 √2 = 2√2 =
√ √
=1
Sehingga; + = −2 + 1 = −1
)√
2 = 2 + ( + 2)√2
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 11
SOAL PENDALAMAN 1. (UM-UGM 2004) Jika ⃗, ⃗, ⃗, dan ⃗ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajar genjang dengan sejajar , maka ⃗ = . . . . a. − ⃗ + ⃗ + ⃗ d. − ⃗ − ⃗ + ⃗ b. ⃗ − ⃗ + ⃗ e. ⃗ + ⃗ + ⃗ c. ⃗ − ⃗ − ⃗ Pembahasan: Jika
⃗ ∕∕
⃗ maka;
Arah ⃗ = arah ⃗ = ⃗ Sehingga ⃗ = ⃗− ⃗= ⃗− ⃗ ⃗= ⃗− ⃗+ ⃗
2.
⃗
⃗
(UM-UGM 2006) Jika proyeksi vektor ⃗ = 3 ̂ + 4 ̂ ke vektor ⃗ = −4 ̂ + 8 ̂ adalah vektor ⃗, maka | ⃗| adalah . . . . a. √5 d. 1 b. 5 e. 3 c. √3 Pembahasan: ⃗ =3 ̂+4 ̂⟹ ⃗ =
3 4
| ⃗| = (−4) + 8 = √16 + 64 | ⃗| = √80 = 4√5
−4 8 ⃗ ∙ ⃗ = 3(−4) + 4(8) = 20
⃗ = −4 ̂ + 8 ̂ ⟹ ⃗ =
3.
Sehingga | ⃗| =
=
√
(UM-UGM 2008) Panjang proyeksi vektor ( , 5, −1) pada vektor (1, 4, 8) adalah 2, maka a. 6 d. 3 b. 5 e. 2 c. 4 Pembahasan: Misalkan; ⃗ = ( , 5, −1), ⃗ = (1, 4, 8), dan panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ adalah | ⃗| = 2. ⃗ ∙ ⃗ = (1) + 5(4) + (−1)(8) = + 12 | ⃗| = √1 + 4 + 8 = √81 = 9
4.
⃗∙ ⃗ | ⃗|
| ⃗| =
= √5
=....
⃗∙ ⃗ | ⃗|
2= 18 = + 12 =6
(UM-UGM 2013) Diketahui vektor-vektor ⃗ = ( , 1, − ) dan ⃗ = (1, , ). Jika ⃗ vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, ⃗ vektor proyeksi ⃗ pada ⃗, dan
sudut antara ⃗ dan ⃗ dengan cos
= , maka luas
jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗ adalah . . . . a.
√2
d.
b.
√6
e. 2
c.
√2
√6
Pembahasan: ⃗ = ( , 1, − ), ⃗ = (1, , ), dan ∠( ⃗, ⃗) = dengan cos =
| ⃗| = √1 + + = √2 + 1 ⃗ ∙ ⃗ = (1) + 1( ) + (− )( ) = 2 −
| ⃗| =
cos
+ 1 + (− ) = √2
+1
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
⃗∙ ⃗
= | ⃗|| ⃗| =
Hal 12
|⃗ | =
= 2 + 1 = 3(2 − ) 2 +1=6 −3 5 −6 +1=0 (5 − 1)( − 1) = 0 = atau = 1 Untuk = 1, maka ⃗ = (1, 1, −1) dan ⃗ = (1, 1, 1) | ⃗| = √2 + 1 = 2(1) + 1 = √3 | ⃗| = √2 + 1 = 2(1) + 1 = √3 ⃗∙ ⃗=2 − = 2(1) − 1 = 1 Panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗;
5.
⃗∙ ⃗ | ⃗|
=
√
= √3
Panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗; |⃗ | =
⃗∙ ⃗
= √3 ∠( ⃗, ⃗) = ∠( ⃗ , ⃗ ) = cos = ⟹ sin = √2 Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh ⃗ dan ⃗ adalah: = | ⃗ | ∙ | ⃗ | sin = √3 ∙ √3 ∙ √2 | ⃗|
=
√
= √2
(UM-UGM 2014) Diketahui vektor ⃗ dan ⃗ membentuk sudut sebesar . Jika panjang proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ sama dengan 2 sin dan panjang vektor ⃗ adalah 1, maka tan 2 = . . . . a.
d.
b.
e.
c. 1 Pembahasan: Substitusi ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| cos
Diketahui; ∠ ⃗, ⃗ = , ⃗ = 1 cos cos
⃗∙ ⃗
= | ⃗|∙
2 sin
⃗
⃗∙ ⃗
= | ⃗|∙ =
2 sin
| ⃗|
6.
tan
=
tan 2 =
⃗∙ ⃗ | ⃗|
=
| ⃗|
2 sin = cos =
⃗∙ ⃗
⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| cos Misalkan proyeksi vektor ⃗ pada ⃗ adalah ⃗, maka | ⃗| = 2 sin | ⃗| =
=
;
| ⃗|
tan 2 =
⃗∙ ⃗
= =
=
| ⃗|
(SIMAK UI 2009) Jika diketahui koordinat titik (3, 1, 2), (4, 3, 0), dan (1, 2, 5), maka luas segitiga sama dengan . . . . a. √14 d. 2√26 b.
√10
e.
√114
c. 3√10 Pembahasan: Misal ⃗ =
⃗=
⃗=
⃗=
−
̂ ̂ ⃗× ⃗= 1 2 −2 1
−
4 3 1 = 3 − 1 = 2 0 2 −2
1 −2 3 = 2 − 1 = 1 5 2 3 −2 3
⃗ × ⃗ = 6 ̂ + 4 ̂ + − −4 ⃗× ⃗ = 8 ̂+ ̂+5 Luas ∆ = ⃗× ⃗
− (−2 ̂) − 3 ̂
(8) + 1 + 5
Luas ∆
=
Luas ∆
= √64 + 1 + 25
Luas ∆
= √90 = √10
̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ × ⃗ = 1 2 −2 1 2 −2 1 3 −2 1
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 13
7.
(SIMAK UI 2010) Vektor ⃗, ⃗, ⃗ adalah vektor-vektor unit yang masing-masing membentuk sudut 60° dengan vektor lainnya. Maka ⃗ − ⃗ ∙ ⃗ − ⃗ adalah . . . . a.
−
d.
b.
−
e.
c.
−
√
Pembahasan: ∠ ⃗, ⃗ = ∠( ⃗, ⃗) = ∠ ⃗, ⃗ = 60° ⃗, ⃗, ⃗ adalah vektor-vektor unit, maka | ⃗| = ⃗ = | ⃗| = 1 ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ cos 60° ⃗∙ ⃗ = 1∙1∙ =
8.
⃗∙ ⃗= ⃗∙ ⃗= ⃗∙ ⃗=
⃗∙ ⃗= ⃗ =1 ⃗ − ⃗ ∙ ⃗− ⃗ = ⃗ ∙ ⃗− ⃗ ∙ ⃗− ⃗∙ ⃗ + ⃗∙ ⃗ ⃗− ⃗ ∙ ⃗− ⃗ = − −1+ =−
(SIMAK UI 2012) ,
Dalam segitiga ⃗=....
⃗ = ⃗,
⃗ = ⃗. Jika titik
adalah titik berat segitiga
a.
⃗+ ⃗
d.
⃗+ ⃗
b.
⃗+ ⃗
e.
⃗+ ⃗
c.
⃗+ ⃗
maka
Pembahasan: ⃗
⃗= ⃗ = ⃗+ ⃗ Karena merupakan titik berat, maka; ⃗= ⃗ ⃗= ∙ ⃗+ ⃗ = ⃗+ ⃗
⃗
⃗ merupakan garis berat maka
:
=
1: 1
9.
(UMB 2008) Diketahui titik-titik (0, 0, 3), (4, 0, 0), dan (0, 4, 0). Jarak titik (0, 0, 0) ke bidang yang melalui titik-titik , , dan adalah . . . . a.
√34
d.
b.
√34
e.
c.
√34
√34 √34
Pembahasan: ⃗ = (0, 0, 3) ⟹ ⃗ = (4, 0, 0) ⟹ ⃗ = (0, 4, 0) ⟹ Misalkan jarak titik melalui titik-titik , = =
+
⃗
+
⃗ = √0 + 0 + 9 = 3 ⃗ = √16 + 0 + 0 = 4 ⃗ = √0 + 16 + 0 = 4 (0, 0, 0) ke bidang yang , dan adalah , maka; ⃗
+
⃗
= + =
+ +
+
= = =
√
=
√34 =
√34
+
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 14
10. (SNMPTN 2010) Nilai agar vekor 2 ̂ + a. 6 b. 3 c. −1 Pembahasan:
̂+
dan 4 ̂ − 2 ̂ − 2 saling tegak lurus adalah . . . . d. −6 e. −3
2(4) + (−2) + 1(−2) = 0 8−2 −2= 0 −2 = −6 =3
Misalkan; ⃗ = 2 ̂ + ̂ + ⟹ ⃗ = (2, , 1) ⃗ = 4 ̂ − 2 ̂ − 2 ⟹ ⃗ = (4, −2, −2) Vektor ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus, maka; ⃗∙ ⃗=0
11. (SNMPTN 2011) Diketahui vektor ⃗ = ( , −2, −1) dan ⃗ = ( , , −1). Jika ⃗ tegak lurus pada ⃗ maka nilai adalah . . . . a. −1 d. 2 b. 0 e. 3 c. 1 Pembahasan: ⃗ = ( , −2, −1) ⃗ = ( , , −1) Vektor ⃗ dan ⃗ saling tegak lurus, maka; ⃗∙ ⃗=0 ( ) + (−2)( ) + (−1)(−1) = 0
−2 +1 =0 ( − 1)( − 1) = 0 =1
12. (SNMPTN 2012) Jika ⃗ dan ⃗ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut 60° maka ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = . . . a. b.
√
−1
d.
√
+1
e.
√
+1 +1
√
c. Pembahasan: ⃗ dan ⃗ adalah vektor satuan, maka | ⃗| = 1 dan | ⃗| = 1, ∠( ⃗, ⃗) = 60°. ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ + ⃗ ∙ ⃗ ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ | ⃗| cos ∠( ⃗, ⃗) + | ⃗|
( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = 1 ∙ 1 cos 60° + 1 ( ⃗ + ⃗) ∙ ⃗ = + 1 =
13. (SBMPTN 2013) Diketahui (4, 0, 0), (0, −4, 0) dan (0, 0, 5). Panjang proyeksi vektor ⃗ adalah . . . . √
a. b. c.
d.
√
⃗ pada vektor
√
e. 2√2
√
Pembahasan: Diketahui (0, 0, 5). ⃗= ⃗=
− −
(4, 0, 0), (0, −4, 0)
dan
0 4 −4 = 0 − 0 = 0 0 5 5 0 4 −4 = −4 − 0 = −4 0 0 0
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Misalkan proyeksi vektor adalah ⃗, maka;
| ⃗| =
⃗
⃗∙ ⃗
| ⃗| = | ⃗| =
⃗ pada vektor
(
⃗ )( (
) )
( (
)
( )
)
√
Hal 15
| ⃗| =
=
√
=
√
√
= 2√2
14. (SBMPTN 2014) Diberikan limas . Misalkan ∆ maka =....
⃗,
=
=
⃗ dan
a.
( +
+ )
d.
( +
b.
( +
+ )
e.
+
c.
( +
+ )
⃗ . Jika
=
adalah titik berat
+ )
+
Pembahasan: ⃗= Karena ⃗=
+ − merupakan garis berat, maka; ⃗
⃗=
⃗= ⃗= ⃗= ⃗=
⃗− ⃗− ⃗− ⃗=
⃗= ⃗= ⃗=
⃗=
⃗+
⃗ =( − )+
− − − ( − )
15. (SBMPTN 2015) Misalkan ( + 1, ) dan kurang dari
√
⃗=
∙
√ ∙
<
⃗ +
−
+ + )
⃗ terhadap
⃗
maka nilai yang mungkin adalah . . . .
√
<
−
(1, 2) sehingga panjang vektor proyeksi
+ 1, ), ⃗ = (1,2) Misalkan vektor proyeksi ⃗ terhadap adalah ⃗, maka; | ⃗| < ⃗
−
−
d. −1 < < 3 e. 1 < < 3
⃗=(
⃗
+
⃗= ( +
a. < −1 atau > 3 b. < −3 atau > 1 c. −3 < < 1 Pembahasan:
⃗∙
+
⃗= + Sehingga; ⃗= ⃗+ ⃗= +
√
⃗
√
<
√
+2 +1<4 +2 −3<0 ( − 1)( + 3) < 0 Pembuat nol: = −3 atau = 1 Jadi nilai yang mungkin adalah; −3 < < 1
16. (USM-STIS 2013) Jika sudut antara vektor ⃗ = ̂ − √2 ̂ − ....
dan ⃗ = ̂ + √2 ̂ −
a.
− atau
d. −√5 atau √5
b.
−1 atau 1
e. − √5 atau √5
c.
−√3 atau √3
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
adalah 60° maka
=
Hal 16
Pembahasan:
⃗ = ̂ − √2 ̂ − | ⃗| =
1 + −√2
| ⃗| = +3 ⃗ = ̂ + √2 ̂ − ⃗ =
⟹ ⃗ = 1, −√2, −
1 + √2
+ (− )
⟹ ⃗ = 1, √2, −
∠ ⃗, ⃗ = 60° cos ∠ ⃗, ⃗ = Dengan demikian; ⃗ ∙ ⃗ = | ⃗| ∙ ⃗ cos ∠ ⃗, ⃗ −1 =
+ (− )
⃗ = +3 ⃗ ⃗ ∙ = 1 ∙ 1 + −√2 ∙ √2 + (− ) ∙ (− ) ⃗∙ ⃗ = 1−2+ = −1
2
+3 ∙
+3 ∙
− 1 = ( + 3) −2 = +3 =5 = ±√5 = −√5 atau = √5
17. (USM-STIS 2015) 3 −1 Diketahui vektor-vektor ⃗ = 1 , ⃗ = 2 , ⃗ = −1 1
2 1
3
3 0
. Pernyataan berikut yang
benar adalah . . . . a. ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus b. c. d.
⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tumpul ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip
e. Pembahasan:
⃗ ∙ ⃗ = 3 ∙ (−1) + 1 ∙ 2 + (−1) ∙ 1 = −2 Karena ⃗ ∙ ⃗ hasilnya negatif maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tumpul. ⃗∙ ⃗=3∙ +1∙ + (−1) ∙ 0 =
Karena ⃗ ∙ ⃗ hasilnya positif maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut lancip. ⃗ ∙ ⃗ = (−1) ∙ +2∙ +1∙0=0 Karena ⃗ ∙ ⃗ = 0 maka ⃗ dan ⃗ membentuk sudut tegak lurus.
*ΨΦΦΦΦψΦΦΦΨ*
Siap UN dan SBMPTN Bidang Matematika
Hal 17
