VEKTOR Vektor adalah sesuatu yang mempunyai besaran atau panjang dan arah. Vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis terarah atau panah – panah di ruang-2 atau ruang-3 dengan arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal (initial point) dari vektor dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point). Suatu vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal
misalnya a,k,v,w dan x. Bila
membahas vektor maka bilangan menyatakan skalar.Semua skalar merupakan bilangan real dan dinyatakan dengan huruf kecil biasa misalnya a,k,v,w dan x. Sebagai contoh dalam gambar 1 , titik awal vektor v adalah A dan titik terminalnya adalah B, maka dapat
dituliskan v AB
B v A Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.
Vektor – vektor dianggap sama walaupun vektor – vektor tersebut diletakkan pada kedudukan yang berbeda – beda. Jika v dan w ekuivalen maka dituliskan v w .
Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor maka jumlah v + w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : Tempatkanlah vektor w sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal v. Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal v terhadap titik terminal w.
1
w
w
v
v+w v+w
v
v
w+v w
Definisi : Jika v dan w adalah sebarang dua vektor, pengurangan w dari v didefinisikan sebagai v – w = v + (-w). Untuk mendapatkan selisih v – w tanpa menggambarkan –w maka tempatkanlah v dan w sehingga titik awalnya berimpit; vektor dari titik terminal w ke titik terminal v adalah vektor v-w.
v-w
-w
v
v
w
v-w
w
Definisi : Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan riil taknol (skalar),maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan yang arahnya sama seperti arah v jika k 0 dan berlawanan dengan arah v jika k 0 . Kita definisikan kv 0 jika k 0 atau v 0 .
Perhatikan bahwa vektor
1v
mempunyai panjang yang sama seperti v tetapi
diarahkan berlawanan.Jadi tak lain dari negatif v yaitu : 1v v .
NORMA DAN ILMU HITUNG VEKTOR
2
Teorema : Jika u,v dan w adalah vektor – vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan k serta l adalah skalar maka berlaku hubungan berikut ini : a. u + v = v + u b. (u + v)+ w = u +(v + w) c. u + 0 = 0 + u = u d. u + (-u) = 0 e. k(lu) = (kl)u f. k(u + v) = ku + kv g. (k+l)u = ku + lu h. 1u = u
Panjang sebuah vektor v sering dinamakan norma v dan dinyatakan dengan v . Dari teorema Phytagoras diperoleh bahwa norma vektor v v1 ,v2 di ruang-2 adalah
v v12 v22 Misalkan v v1 , v2 , v3 adalah vektor di ruang-3. Dengan menggunakan penerapan teorema Pythagoras maka akan diperoleh :
v
2
OR RP 2
2
OQ OS RP 2
2
2
v12 v 22 v32
Dengan demikian diperoleh v v12 v22 v32 Jika P1 x1 , y1 , z1 dan P2 x2 , y 2 , z 2 adalah dua titik di ruang-3, maka jarak d antara
kedua titik tersebut adalah norma vektor P1 P2 . Karena P1 P2 x2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 maka d
x2 x1 2 y2 y1 2 z 2 z1 2
Demikian juga jika P1 x1 , y1 dan P2 x2 , y 2 adalah titik – titik di ruang-2 maka jarak diantara kedua titik tersebut diberikan oleh d
x2 x1 2 y2 y1 2
3
Definisi : Jika u dan v adalah vektor – vektor di ruang-2 atau ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u ∙ v didefinisikan sebagai berikut :
u v cos u v 0
jika u 0 dan v 0 jika u 0 dan v 0
HASIL KALI SILANG Definisi : Jika u (u1 , u 2 , u3 ) dan v v1 , v2 , v3 adalah vektor di ruang-3 maka hasil kali silang u v adalah vektor yang didefinisikan oleh : u v u 2 v3 u3 v2 , u3 v1 u1v3 , u1v2 u 2 v1
u Atau dalam notasi determinan u v 2 v2
u3 v3
,
u1 u 3 u1 u 2 , v1 v3 v1 v2
Teorema : Jika u,v dan w adalah sebarang vektor di ruang-3 dan k adalah sebarang skalar maka : a. u v = - (v u) b. u (v + w) = (u v) + (u w) c. (u + v) w = (u w) + (v w) d. k(u v) = (ku) v = u (kv) e. u 0 = 0 u = 0 f. u u = 0
RUANG VEKTOR
Definisi : Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-ntuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil a1 , a2 ,..., an . Himpunan semua tupel-nterorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan R n
4
Definisi : Jika u u1 , u 2 ,..., u n dan v v1 , v2 ,..., vn adalah sebarang vektor pada R n , maka hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) u v kita definisikan dengan u v u1v1 u 2 v2 ... u n vn
Norma Euclidis (panjang Euclidis) vektor u u1 , u 2 ,..., u n pada
u u u
12
R n adalah
u12 u 22 ... u n2 .
Jarak Euclidis di antara titik u u1 , u 2 ,..., u n dan titik v v1 , v2 ,..., vn pada R n didefinisikan oleh d u, v u v
u1 v1 2 u2 v2 2 ... u n vn 2
Vektor vektor yang mempunyai panjang yang sama dan arah yang sama disebut ekivalen. Jika v dan w ekivalen, maka kita menuliskann V = W.
Dua buah vektor dikatakan sama, jika panjang dan arahnya sama, Jadi vektor tidak tergantung kepada letaknya, tetapi tergantung pada panjang dan arahnya.
OPERASI OPERASI PADA VEKTOR 1.
PENJUMLAHAN VEKTOR Misal penjumlahan vektor V dan W kita mengenal 2 metode :
a. METODE JAJARAN GENJANG w V
Vektor hasil (resultan) didapat dari diagonal jajaan genjang yang dibentuk oleh V serta W setelah titik awal ditempatkan berimpit.
5
b. METODE SEGITIGA Resultant diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor (misal W) pada titik ujung vektor yang lainnya, maka resultant adalah vektor bertitik awal V, dan bertitik ujung dititik W. V+W W
V
2.
W
V
V+W
PERKALIAN SKALAR Jika K suatu skalar bilangan riil dan V suatu vektor maka perkalian skalar KV menghasilkan suatu vektor yang panjangnya IKI kali panjang V, dan arahnya sama dengan arah V bila K positif atau berlawanan dengan V bila K negative. Bila K = 0 maka KV = 0, disebut vektor nol yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnnya berhimpit.
Contoh : (1).
V = (1, -2) dan W = (7,6) Maka v + w = (1,-2) +(7,6) = (8,4) dan 4 V =4(1, -2) = (4, -8) Karena V – W = V + - (W), Maka V – W = = V + (- W) = (1 – 7, -2 -6) = (- 6, -8)
(2).
V = (1, -3, 2) dan W = (4, 2, 1) Maka V +W = (1,--3, 2) + (4, 2, 1) = (5, 2, 3) Dan 2 V = 2 (1 , -3, 2) = (2, -6, 4) Maka V – W = V + (- W) = (-3, -5, 1)
6
RUANG BERDIMENSI SATU (R1) Setiap bilangan riil dapat diawali oleh sebuah titik pada suatu garis lurus, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang berdimensi 1, ditulis R1 misal pilih O sebagai titik awal susunan koordinat dan suatu titik E dimana panjang OE = 1 Satuan
R
P
O
E
Titik O mewakili bilangan nol, Titik E mewakili bilangan satu. RUANG BERDIMENSI DUA (R2) Setiap bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membuat susunan koordinat di dalam ruang berdimensi dua, ditulis R2 Masing masing garis disebut sumbu koordinat.
O
E
C
RUANG BERDIMENSI TIGA (R3) Setiap triple bilangan riil dapat diwakili oleh sebuah titik didalam ruang berdimensi tiga ditulis R3 dengan membentuk suatu susunan koordinat yaitu mengambil 3 garis lurus.(tidak sebidang ) yang berpotongan di titik awal O .
7
VEKTOR DI DALAM RN Perhatikan susunan koordinat yang tegak lurus (Orthogonal) disebut pula susunan koordinat courtesian di R2.Suatu vektor disebut satuan bila panjangnya = 1
Y2 E2 o
E1
X1
e1 = OE1 yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E1 (1,0), e2 = OE2 yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya E2 (0,1) ditulis
e1 = 1e1 + Oe2 e2 = O e1 + 1e2
Disingkat menjadi
e1 = ( 1, O) e2 = ( O, 1)
Vektor a yang titik awalnya O (0,0) dan titik ujungnya titik A (a1, a2), Vektor a disebut Vektor posisi (radius vektor) dari titik A.
8
MATRIKS 1.1 Definisi Suatu matriks adalah himpunan bilangan – bilangan y menurut bentuk empat persegi panjang dan ditempatkan di dalam tanda ( ) atau [ ] seperti :
a11 a 21 A= a m1
a12
a13
a 22
a 23
am2
am3
a1n a2n a mn
atau
a11 a 21 A a m1
a12 a 22
a13 a 23
am2
a m3
a1n a2n a mn
a11 sampai a mn disebut elemen – elemen dari matriks dan dinyatakan elemen umum a ij dimana i dan j merupakan indeks dengan i indeks yang pertama berjalan dari 1 sampai m dan j indeks yang kedua berjalan dari 1 sampai n. Suatu matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar A atau aij .
1.2 Pengertian Baris dan Kolom Elemen – elemen yang disusun dengan arah mendatar seperti a11 a12
a13 a1n
disebut baris sedangkan elemen – elemen yang disusun dengan arah vertikal disebut kolom seperti :
a11 a 21
a31
a m1
Susunan elemen – elemen : a11 a12 a13 a1n disebut baris pertama. Susunan elemen – elemen a 21 a 22 a 23 a 2 n disebut baris kedua dan seterusnya. Terlihat bahwa untuk baris pertama indeks pertama dari a ij selalu sama dengan 1. Dengan demikian i 1 . Indeks pertama dari baris kedua selalu sama dengan 2. Dengan demikian i 2 dan seterusnya untuk baris ke- m indeks pertama selalu sama dengan m . Dengan demikian indeks pertama dari a ij selalu menunjukkan baris.
9
Susunan elemen – elemen a11 disebut kolom pertama
a 21
a31
a m1
Susunan elemen – elemen a12 disebut kolom kedua
a 22 a32
am2 Terlihat bahwa untuk kolom pertama indeks kedua dari a ij selalu sama dengan 1 dan untuk kolom kedua indeks yang kedua selalu sama dengan 2. Dengan demikian maka indeks yang kedua dari a ij selalu menunjukkan kolom, misal a23 artinya elemen a berada pada baris 2 dan kolom 3.
1.3 Type Dari Suatu Matriks Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks bertipe m n (dibaca m kali n). Matriks yang banyaknya baris dan kolom sama disebut matriks bujur sangkar (square matrix). Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai n baris dan n kolom disebut matriks ber ” order” n. Suatu matiks yang hanya mempunyai 1 baris saja seperti: B = [ b1 b2 bn], disebut dengan vektor baris atau matriks baris. Sedang dengan order kolom n = 1, disebut
matriks kolom atau vector kolom dengan bentuk :
c1 c2 C = c3 c m
Macam-Macam Matriks : a) Matriks Nol adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 0, seperti : 10
0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 b) Matriks bujur sangkar (MBS) adalah sebuah matriks dimana m = n (banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom). Contoh : misal matriks 33, adalah:
a11 A = a 21 a31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a33
Diagonal yang terdiri dari a11, a22, dan a33 adalah diagonal utama matriks. MBS banyak digunakan pada penyelesaian sistem persamaan linier, dalam sistem ini jumlah persamaan (baris) dan jumlah bilangan tak diketahui (kolom) harus sama untuk mendapatkan penyelesaian tunggal.
c) Matriks diagonal adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen kecuali diagonal utama adalah 0, dan berbentuk:
a11 0 A= 0 0
0
0
a 22 0 0
0 a 33 0
0 0 0 a 44
d) Matriks saklar, adalah matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama besar tetapi bukan nol atau satu.
e) Matriks identitas, adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utama bernilai 1 atau dapat juga disebut matriks satuan, seperti bentuk berikut ini:
1 0 I= 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 11
f) Matriks segitiga atas (MSA), adalah matriks yang semua elemen dibawah diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut:
a11 a12 0 a 22 A= 0 0 0 0
a13 a14 a23 a24 a33 a34 0 a44
g) Matriks segitiga bawah (MSB), adalah matriks yang semua elemen diatas diagonal bernilai 0, bentuknya sebagai berikut: a11 a A = 21 a 31 a 41
0 a 22
0 0
a 32 a 42
a 33 a 43
0 0 0 a 44
h) Matriks simetris, bila aij = aji, misalnya matriks simetris 33:
5 1 2 A = 1 3 7 2 7 8 i) Matriks simetris diagonal nol, bila aij = -aji, misalnya matriks simetris 33 yang semua unsur diagonalnya aji = 0.
0 1 2 A = 1 0 7 2 7 0 j) Matriks pita, adalah matriks yang mempunyai elemen sama dengan 0, kecuali pada satu jalur yang berpusat pada diagonal utama, bentuknya sebagai berikut: a11 a A = 21 0 0
a12 a 22
0 a 23
a 32 0
a 33 a 43
0 0 , disebut juga dengan matriks tridiagonal. a 34 a 44
12
k) Matriks transpose, adalah matriks yang terbentuk dengan mengganti baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris (notasinya AT).
a11 a 21 Untuk matriks: A = a m1
a12
a13
a 22
a 23
am2
am3
a1n a2n , a mn
a11 a21 a12 a22 T T maka transposenya (A ) adalah A = a1n a2 n
a31 am1 a32 am 2 a3n amn
Hukum – hukum yang berlaku : a. A B AT B T T
b. AT
T
A
c. k A k AT dengan k = scalar T
d. AB B T AT T
l) Matriks ortogonal adalah matrik bujur sangkar yang memenuhi aturan: [A]T . [A] = [A] [A]T = [I]
Aljabar Matriks MBS dapat dikenakan suatu operator matematika seperti penjumlahan, pengalian, dan pengurangan.
a) Kesamaan dua matriks Definisi : Dua matriks A dan B dikatakan sama bila elemen-elemen matriks A sama dengan elemen-elemen matriks B dan ukuran keduanya adalah sama, aij = bji untuk semua nilai i dan j.
13
2 3 1 Contoh : A 5 4 6 3 2 7
2 3 1 B 5 4 6 3 2 7
4 8 0 C 5 8 6 6 2 7
Dari contoh di atas diperoleh bahwa A B , A C , B C b) Penjumlahan dan pengurangan matriks Definisi : Bila A = [aij] dan B = [bij] merupakan dua matriks dengan dimensi mn, maka untuk operasi penjumlahan atau pengurangan (A B) dari kedua matriks tersebut, adalah sama dengan matriks C = [cij] dengan dimensi mn, dimana setiap elemen matriks C adalah jumlah (selisih) dari elemen-elemen yang berkaitan dari A dan B. C = A B = [aij bij] = [cij] Contoh :
1 2 3 Jika A = dan B = 0 1 4
2 3 0 1 2 5
Maka:
2 3 3 0 3 5 3 1 2 A+B= = 0 (1) 1 2 4 5 1 3 9 2 3 3 0 1 1 3 1 2 AB= = 0 (1) 1 2 4 5 1 1 1 1 2 3 2 3 0 1 2 3 4 7 6 A+B+A= + = + 0 1 4 1 2 5 0 1 4 1 4 13
c) Perkalian Matriks dengan Skalar Definisi : Hasil perkalian scalar k dengan matriks A dinyatakan sebagai kA yaitu matriks yang didapat dari A dengan jalan mengalikan setiap elemen dari A dengan k. Bentuk umumnya :
a11 a12 A a 21 a 22 a31 a32
a13 a 23 a33
ka11 ka12 kA ka21 ka22 ka31 ka32
ka13 ka23 ka33
14
Contoh :
1 2 A 4 5 3 1 3 2 3A 3 4 3 5 3 6 12 15 d) Perkalian matriks
Definisi : Bila A aij suatu matriks bertipe / berordo m p dan matriks
B bij suatu matriks bertipe p n maka perkalian matriks A dan B didefinisikan sebagai suatu matriks C bertipe m n dengan elemen – elemen C ij yang sama dengan jumlah perkalian elemen – elemen di baris ke-i dari A dengan elemen – elemen di kolom ke-j dari B.
Contoh soal:
2 2 2 2 10 10 Jika A = dan g = 5, maka C = gA = 5 = 4 3 4 3 20 15 Perkalian dua matriks A dan B dapat dilakukan bila cacah kolom A sama dengan cacah baris B, dan kedua matriks disebut dengan conformable. Perkalian suatu matriks 1m, yaitu A = [ a11 a12 a1m] dengan matriks m1 yaitu:
b11 b21 B = b31 adalah sebuah matriks C berukuran 11, yang berbentuk: bm1 C = [a11b11 + a12b21 + + a1mbm1] atau
15
[a11 a12
b11 b21 a1m] b31 = [a11b11 + a12b21 + + a1mbm1] bm1
Operasi perkalian adalah baris dengan kolom, tiap elemen dari baris dikalikan dengan elemen dari kolom dan kemudian dijumlahkan.
Contoh soal: 1 [2 3 4] 2 = [2(1) + 3(2) + 4(3)] = [2 + (6) + 12] = [8] 3
Perkalian antara matriks mp, yaitu A = [aij] dan matriks pn, yaitu B = [bij] adalah matriks mn, yaitu C = [cij] dengan nilai cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj = p
aikbkj.
k 1
Dimana untuk i = 1, 2, …, m dan j = 1, 2, …, n
Contoh soal:
2 1 4 A= , B= 1 3 2
2 1 1 3 dan X = 4 1
x1 x 2 x 3
2(2) 1(3) 4(1) 17 3 2(1) 1(1) 4(4) AB = = 1(1) 3(1) 2(4) 1(2) 3(3) 2(1) 4 5 1(1) 2(3) 1(4) 2(2) 0 7 8 1(2) 2(1) BA = 1(2) 3(1) 1(1) 3(3) 1(4) 3(2) = 5 8 2 4(2) (1)(1) 4(1) (1)(3) 4(4) (1)2 9 1 14
x1 2 1 4 2 x1 x 2 4 x3 AX = x2 = 1 3 2 x x1 3x 2 2 x3 3 Beberapa hukum yang berlaku dalam aljabar matriks : a. A 1 A
16
b. A B A B c. A B C A B C d. A 0 A e. A A 0 f. A B B A g. k A B kA kB h. k1 k 2 A k1 A k 2 A i. k1 k 2 A k1 k 2 A j. 1 A A dan 0 A 0
17
DETERMINAN Definisi. Suatu fungsi determinan dinyatakan sebagai det. Suatu determinan dari A yang diberi notasi det A atau A adalah kumpulan elemen – elemen yang tersusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk bujur sangkar yang mempunyai nilai sama dengan jumlah semua perkalian elementer dengan memperhatikan tanda. Bentuk Umum : A
a11
a12
a 21 a 22
a11a 22 a12 a 21
Contoh :
A
2 3 2 1 3 4 10 4 1
Sifat-sifat determinan a) Apabila semua unsur dalam suatu baris (kolom) det A 0 maka det A 0 Contoh :
2 4 1 det A 2 3 5 = 0 0
2 0 4 det A 3 0 1
0 0
=0
5 0 2
b) Apabila semua unsur suatu baris (kolom) dari det A dikalikan dengan scalar k sehingga menjadi B maka B k det A Contoh :
det A
2 3 2 4 3 1 8 3 5 1 4
Baris pertama dalam matiks A dikalikan dengan 3 menjadi :
det B
6 9 6 4 9 1 24 9 15 = 3 det A 1 4
c) Apabila det B diperoleh dari determina(A) dengan cara menukar letak sembarang dua baris (kolom) maka det B det A
18
det A
1 1 2 3 = 1 → ditukar baris det A = –1 2 3 1 1 → ditukar kolom det A
1 1 = –1 3 2
d) Apabila unsur – unsur dua baris (kolom) dari det A adalah identik maka det A 0 .
1 2 4 det A 1 2 4 = 0
1 1 3 det A 2 2 5 = 0
3 5 6 Ada 2 baris yang sama
4 4 6 Ada 2 kolom yang sama
e) Apabila unsur – unsur suatu baris (kolom) dari determinan A sebanding dengan unsur- unsur baris (kolom) yang lain maka det A 0
det A
3 4 0 3 4
3 1 2 det B 6 2 4 0 Baris kedua diperoleh dari elemen baris pertama 1 1 2
dikali dengan 2. f) Apabila det B diperoleh dari det A dengan menambahkan unsur – unsur pada baris (kolom) B dengan k kali unsur – unsur baris (kolom) A maka
det B det A Contoh :
2 3 det A 4 4 8
Perhitungan nilai determinan a) Metode Sarrus Metode ini hanya berlaku untuk menghitung harga determinan tingkat atau orde tiga saja.
19
a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
D=
a 31 a 32
a 33 a 31 a 32
D = (a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32) – (a13 . a22 . a31) – (a11 . a23 . a32) – (a12 . a21 . a33)
Contoh soal: [A] =
1
2
4
1
3
1
2
4
1
→→
1
2
4
1
3
1
2
4
1
1 2 1 3 2 4
= (1.(– 3).1) + (2.1.(– 2)) + ((– 4).1.4) – ((– 4).(– 3).(–2)) – (1.1.4) – (2.1.1) = (– 3) + (– 4) + (– 16) + 24 – 4 – 2 = – 5. b) Metode minor (ekspansi) Jika di dalam suatu determinan tingkat atau orde n, elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j diambil (dihapus) terdapat suatu determinan tingkat (m–1), simbol yang ditulis Mij.
Contoh soal:
1). A =
1 2 3 0 2 4 4 1 3 5 1 1 1 3 0 2
1 2 0 → → Minor (M23) = 3 5 1 1 3 2 2 3 0 → → Minor (M41) = 4 4 1 5 1 1
a11 2). D =
a12
a13
a 21 a 22 a 23 a 31 a 32
a 33
Harga determinannya adalah: D = [(a11 . a22 . a33) + (a12 . a23 . a31) + (a13 . a21 . a32)] – [(a13 . a22 . a31) + (a11 . a23 . a32) + (a12 . a21 . a33)] 20
= [a11(a22 . a33 – a23 . a32)] – [a12 (a21 . a33 – a23 . a31)] + [a13 (a21 . a32 – a22 . a31)] = a11
a 22
a 23
a 32
a 33
– a12
a 21 a 23 a 31 a 33
+ a13
a 21 a 22 a 31 a 32
= (a11 . M11) – (a12 . M12) + (a13 . M13)
Invers Matriks Invers dari matriks A a jk bertipe n n dinyatakan sebagai A 1 dan merupakan matriks bertipe n n juga dengan sifat bahwa : A A1 A1 A I dengan I adalah matriks identitas yang bertipe n n . Suatu matriks A yang mempunyai inverse maka disebut matriks non singular dan jika tidak mempunyai inverse maka disebut matriks singular. Contoh :
3 2 6 1) Menggunakan determinan, hitung [A] bila [A] = 4 1 1 2 1 2 -1
Penyelesaian: Nilai determinan A = |A| = –17. Dengan algoritma [A]-1 =
1 adj [A] A
1 1 A11 (baris 1 dan kolom 1 ditutup) = (+1) = –3 1 2 4 1 4 1 2 6 A12 = (–1) = 10, A13 = (+1) = 2, A21 = (–1) =2 1 2 2 2 2 1 3 6 A22 = (+1) = –18, A23 = (–1) 2 2
3 2 2 6 2 1 = –7, A31 = (+1) 1 1 = – 8
3 6 A32 = (–1) = 21, A33 = (+1) 4 1
3 2 4 1 = 11
A11 A12 [A] = A 21 A 22 A 31 A 32
2 3 10 2 18 7 8 21 11
A13 A 23 → → [A] = A 33
21
3 2 8 → → [A] = 10 18 21 2 7 11 T
3 2 8 312 1 1 -1 [A] = adj [A] → → [A] = 10 18 21 → → = 1017 A 17 2 7 11 117 -1
2
17
18 17 7
17
11 17 8
17
21 17
Metode Invers Matriks Persamaan umum: a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1+ a22 x2 + + a2n xn = b2 : :
an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn dapat ditulis dalam bentuk matriks, menjadi sebagai berikut: a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a2 n x2 b2 atau AX = B an1 an 2 ann xn bn
dengan:
A adalah matriks koefisien nn. X adalah kolom vektor n1 dari bilangan tak diketahui. B adalah kolom vektor n1 dari konstanta.
Nilai pada vektor kolom X dapat dicari dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan dengan matriks inversi, yaitu A1AX = A1B, karena A1A = I, maka nilai-nilai dari elemen X = A1B,
Contoh soal: Diketahui suatu persamaan, yaitu: 2x + y = 4 2x + 3y = 8
2 1 x 4 B Maka persamaan diatas dapat ditulis = + = →A+X=B→X= A 2 3 y 8 A
X
B 22
2 1 1 3 1 3 4 1 4 1 -1 Untuk nilai A = → [A] = adj [A] = = 1 4 2 2 1 A 2 3 2 2 x Sehingga nilai dapat dicari yaitu: y
1 4 1 3 4 4 8 = 2 , 1 1 2 2
Jadi nilai x = 1 dan y = 2.
PENGGUNAAN DETERMINAN DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR Perhatikan sistem persamaan linear berikut ini : a1 x b1 y c1
(1)
a2 x b2 y c2
(2)
Apabila persamaan 1 dikalikan b2 dan persamaan 2 dikalikan b1 maka akan diperoleh:
a1b2 x b1b2 y c1b2 a 2 b1 x b1b2 y c 2 b1 a1b2 a2 b1 x c1b2 c2 b1
c1 c c b c 2 b1 x 1 2 2 a1 a1b2 a 2 b1 a2
b1 b2 x b1 b2
Dengan cara yang sama diperoleh :
a1 a c a 2 c1 a 2 y 1 2 a1 a1b2 a 2 b1 a2
c1 c2 y b1 b2
23
