Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah

VEKTOR

Definisi Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah Besar vektor artinya panjang vektor Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif Vektor disajikan dalam bentuk ruas garis berarah 2

Gambar Vektor B

u 45

A

X

ditulis vektor AB atau u A disebut titik pangkal B disebut titik ujung

Notasi Penulisan Vektor  Bentuk vektor kolom:  3 u     4

atau

 1    PQ    2   0   

 Bentuk vektor baris:

AB  3, 4 atau v   2, 3, 0

 Vektor ditulis dengan notasi: i, j dan k misal : a = 3i – 2j + 7k

VEKTOR DI

2 R

Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu Bidang Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2 Y

A(x,y)

yQ j

a x

O i P i vektor satuan searah sumbu X j vektor satuan searah sumbu Y

X

OP  PA  OA OP  OQ  OA

OP = xi; OQ= yj Jadi OA =xi + yj atau a = xi + yj

Vektor di R3 Vektor di R3 adalah Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga atau Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = xi; OQ = yj dan OS = zk Z S zk

O xi P X

T(x,y,z) yj Q

Y

OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OR + RT = OT atau OP + OQ + OS = OT

Z S zk

t O xi  X P

T(x,y,z)

Jadi yj OT = xi + yj + zk Y Q R(x,y) atau t = xi + yj + zk

Panjang vektor Dilambangkan dengan tanda ‘harga mutlak’

a1   Di R2, panjang vektor: a    a2  atau a = a1i + a2j Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

a  a1  a 2 2

2

 x   Di R3 , panjang vektor: v   y  z  

atau v = xi + yj + zk Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

v  x y z 2

2

2

Contoh:  3 1. Panjang vektor: a   4    2 2 a  3  4 adalah = 25 = 5 2. Panjang vektor: v  2i  j - 2k adalah v  2  1  (2) 2

= 9 = 3

2

2

Vektor Satuan adalah suatu vektor yang panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu X, sumbu Y , dan sumbu Z berturut-turut adalah vektor i , j dan k 1  0  0       i   0 , j   1  dan k   0   0  0 1      

ALJABAR VEKTOR Kesamaan vektor Penjumlahan vektor Pengurangan vektor Perkalian vektor dengan bilangan real

Kesamaan Vektor Misalkan: a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k a1 = b1 Jika: a = b , maka a2 = b2 dan a3 = b3

Kesamaan Vektor Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama. Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d) Jika u = v, maka |u| = |v| arah u = arah v a=c dan b=d

18

a

b

Dua vektor sama, a=b

a

b

a

b

Dua Vektor mempunyai besar sama, arah berbeda

a b

Dua vektor arah sama, besaran beda

Dua Vektor besar dan arah berbeda

19

Contoh Diketahui: a = i + xj - 3k dan b = (x – y)i - 2j - 3k

Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab: a = i + xj - 3k dan b = (x – y)i - 2j - 3k a=b 1=x-y x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y;  y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor Misalkan:

 a1   b1      a   a 2  dan b   b 2  b  a   3  3

Jika: a + b = c , maka vektor  a1  b1    c   a 2  b2  a b  3   3

Contoh

 3    a   - 2p  Diketahui:  -1   

dan Jika a + b = c , maka p – q =....

p   b  6  3   5     c   4q  2  

jawab:

a+b=c  3   p    5        - 2p    6    4q   -1   3  2         3  p    5        2 p  6   4 q   (1)  3   2     

 3  p    5       2 p  6   4 q   (1)  3   2     

3 + p = -5 p = -8 -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q  q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½

Pengurangan Vektor Misalkan: a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 b3)k

Perhatikan gambar: Y

B(2,4)

vektor AB = b

A(4,1) vektor posisi:

a O

- 2   3

X

titik A(4,1) adalah:

 2 titik B(2,4) adalah: b     4

 4 a    1

vektor AB =  4 a    1

- 2   3

 2 b     4

2 4 b  a        4  1

- 2   3

 AB

Jadi secara umum: AB  b  a

Contoh 1 Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB

Jawab: AB  b  a

1  3   2        2 -  5    3   4  2  2       

  2   Jadi AB    3   2   

Contoh 2 Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

1   Jawab: P(1,2,-2)  p   2    2     1   Q(-1,3,0)  q   3  0    - 1  1    2        PQ = q – p =  3  -  2   1   0  - 2  2       

2    PQ    1    2  

PQ  2  (1)  (2) 2

Jadi PQ  9  3

2

2

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real  a1    Misalkan: a   a 2  a   3

dan m = bilangan real

Jika: c = m.a, maka  a1   m.a1      c  m a 2    m.a 2   a   m.a  3  3 

Contoh

2 2     Diketahui: a   - 1 dan b   - 1 6 4    

Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah.... Jawab:  x1   2   x1   2          misal x   x     1  2 x   3  1 2

x   3

6  

2

x   3

4  

 2   x1   2          1  2 x 2   3  1   6  x   4     3  

 2   2 x1   6          1   2 x2     3   6   2 x   12     3  

2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2 -1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1 6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3 Jadi   2   vektor x   1    3  

Elemen Identitas Vektor nol ditulis 0 Vektor nol disebut elemen identitas u+0=0+u=u Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka – u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan. u – u = u + (-u) = 0 36

Sifat-Sifat Operasi Vektor • • • • • • • •

Komutatif  a + b = b + a Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c) Elemen identitas terhadap penjumlahan Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v| 1u = u 0u = 0, m0 = 0. Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0 37

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.) • • • • • •

(mn)u = m(nu) |mu| = |m||u| (-mu) = - (mu) = m (-u) Distributif : (m+n)u = mu + nu Distributif : m(u+v) = mu + mv u+(-1)u = u + (-u) = 0

38

Dot Product (Inner Product) • Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

a  b | a || b | cos  

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :

a  b  a1a 2 b1b2  c1c2   

a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o} a•b = 0 jika {γ| γ = 90o} a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o} 39

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product • Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:

a b a b cos    | a || b | a a bb

40

Contoh Perkalian Dot Product • a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1] • Hitung sudut antara dua vektor tsb

41