BAB II BESARAN VEKTOR 2.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai dan satuannya. Misalnya : massa, panjang, waktu, densitas, energi, suhu, dan sebagainya. Perhitungan besaran-besaran skalar dapat dilakukan dengan menggunakan aturan-aturan aljabar biasa. Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan dan arahnya. Misalnya : percepatan, kecepatan, gaya, momentum, pergeseran . Perhitungan besaran-besaran vektor harus menggunakan aturan yang dikenal dengan operasi vektor. 2.2. Penggambaran Dan Penulisan (Notasi) Vektor Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari titik pangkal (titik tangkap), ujung dan panjang anak panah. Panjang anak panah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor. Gambar (2.1) adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujungnya Q serta sesuai arah panah dan nilai vektornya sebesar panjang PQ.
Gambar 2.1 : Gambar sebuah vektor PQ Titik P : Titik Pangkal (titik tangkap) Titik Q : Ujung Panjang PQ : Nilai (besar) vektor tersebut = |PQ| Notasi (simbol) sebuah vektor dapat juga berupa huruf besar atau huruf kecil, biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda panah di atasnya atau huruf miring.
1
Contoh : Vektor A
(Berhuruf tebal) Vektor A (Huruf dengan tanda panah di Vektor A
atasnya) (Huruf miring)
Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf biasa atau dengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut. Contoh : Nilai vektor
A ditulis dengan A atau |A|.
Contoh soal : Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa besar vektornya ? Jawab : Vektor A = 2i – 3j + 4k Maka nilai (besar) vektor A adalah :
A A 2 2 (3) 2 4 2 29 satuan Ada beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor. 1. Dua buah vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah sama. 2. Dua buah vektor dikatakan tidak sama jika : a. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi berlainan arah. b. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi arah sama. c. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan arah yang berbeda. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini:
Gambar 2.2 : Gambar beberapa buah vektor Besar (nilai) vektor A, B, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor E lebih kecil dari empat vektor lainnya. Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa: A=C karena nilai dan arah kedua vektor sama A = -B karena nilainya sama tetapi arahnya berlawanan.
2
A≠D D≠E
karena nilainya sama tetapi arahnya berbeda. karena nilai dan arahnya berbeda
2.3. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Mencari resultan dari beberapa buah vektor, berarti mencari sebuah vektor baru yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan atau dikurangkan. Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode, yaitu: 1. Metode jajaran genjang 2. Metode segitiga 3. Metode poligon (segi banyak) 4. Metode uraian 2.3.1 Metode Jajaran Genjang Cara menggambarkan vektor resultan genjang adalah sebagai berikut.
dengan metode jajaran
Gambar 2.3 : Resultan vektor A + B, dengan metode jajaran genjang Langkah-langkah : 1. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit. 2. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisinya. 3. Resultannya adalah sebuah vektor yang merupakan diagonal dari jajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan titik pangkal kedua vektor tersebut. Besar vektor
R
adalah :
R R
A 2 B 2 2 AB cos
θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B . Catatan : 1. Jika vektor A dan B searah, berarti θ = 0° dan cos 0° = 0, maka : R = A + B 2. Jika vektor A dan B berlawanan arah, berarti θ = 180° dan cos 180° = -1, maka : R = A - B 3. Jika vektor A dan B saling tegak lurus, berarti θ = 90° dan cos 90° = 0, maka : R = 0
3
Untuk operasi pengurangan vektor R = A – B, maka caranya sama saja, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan vektor B yang sekarang. Contoh Soal : Tiga buah vektor dalam koordinat kartesius : A = 3i + j, B = - 2i, C = i + 2j Tentukan jumlah dari ketiga vektor dan ke mana arahnya? Jawab : R=A+B+C = (3i+j)+(-2i)+(i+2j) = 2i + 3j Besar vektor R adalah :
R R 2 2 (3) 2 13 satuan Arah vektor R adalah :
tg θ
| j| 3 1,5 |i| 2
Jadi :
θ = arc tg(1,5) = 56,3o
2.3.2 Metode Segitiga Bila ada dua buah vektor A dan B akan dijumlahkan dengan cara segitiga maka tahap-tahap yang harus dilakukan adalah :
Gambar 2.4 : Resultan vektor A + B, dengan metode segitiga Langkah-langkah : 1. Gambarkan vektor A. 2. Gambarkan vektor B dengan cara meletakkan pangkal vektor B pada ujung vektor A. 3. Tariklah garis dari pangkal vektor A ke ujung vektor B. 4. Vektor resultan merupakan vektor yang memiliki pangkal di vektor A dan mempunyai ujung di vektor B. Jika yang ditanyakan R = A – B, maka digunakan caranya sama, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan vektor B yang sekarang.
4
2.3.3 Metode poligon Pada metode ini, tahapannya sama dengan metode segitiga, hanya saja metode ini digunakan untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor. Contoh : Jumlahkan ketiga buah vektor A, B, dan C dengan metoda Poligon
Jawab: Resultan vektor R adalah R= A + B + C
Gambar 2.5 : Penjumlahan vektor dengan metode poligon 2.3.4 Metode Uraian Setiap vektor yang akan dijumlahkan atau dikurangkan harus diuraikan menjadi komponen terhadap sumbu x dan komponen terhadap sumbu y.
Gambar 2.5 : Komponen – komponen sebuah vektor Komponen vektor A terhadap sumbu X adalah : Ax = A cos θ Komponen vektor A terhadap sumbu Y adalah : Ay = A sin θ Vektor A B C R=A+B+C
Komponen X Ax Bx Cx Rx = Ax + Bx + Cx
Komponen Y Ay By Cy Ry = Ay + By + Cy
5
Besar vektor R :
R Rx 2 Ry 2 Arah vektor R terhadap sumbu X positif :
tg
Ry Rx
Catatan : Jika vektor A dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i dan j maka, secara matematis vektor A dapat ditulis dengan A = i Ax + j Ay Yang merupakan penjumlahan kedua komponen-komponennya, A = Ax + Ay Nilai vektor A adalah :
A Ax2 Ay 2 Contoh soal : Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :
Besar dan arah masing-masing vektor pada gambar diatas adalah : Vektor A B C D E
Besar (m) 19 15 16 11 22
Arah(0) 0 45 135 207 270
Hitung : Besar dan arah vektor resultan.
6
Jawab : Ax = A cos θ = 19 cos 0 = 19 . 1 = 19 m
Ay = A sin = = =
Bx = B cos θ = 15 cos 45 = 15 . 0,707 = 10,6 m
θ 19 sin 0 19 . 0 0m
By = B sin = = = 10,6
θ 15 sin 45 15 . 0,707 m
Cx = C cos θ Cy = C sin θ = 16 cos 135 = 16 sin 135 = 16 . (- 0,707) = 16 . 0,707 = -11,3 m = 11,3 m Dx = D cos θ Dy = D sin θ = 11 cos 207 = 11 sin 207 = 11 . (- 0,891) = 11 . (-0,454) = -9,8 m = -5 m Ex = E cos θ = 22 cos 270 = 22 . 0 =0m
Ey = E sin θ = 22 sin 270 = 22 . (-1) = -22 m
Bila hasil perhitungan di atas dimasukkan dalam tabel, maka : Vektor Besar Arah Komponen X Komponen Y (m) (0 ) (m) (m) A 19 0 19 0 B 15 45 10,6 10,6 C 16 135 -11.3 11,3 D 11 207 -9,8 -5 E 22 270 0 -22 Rx = 8.5 Ry = -5.1 Besar vektor R :
R Rx 2 Ry 2
(8,5) 2 (5,1) 2 94,01 9,67 m 7
Arah vektor R terhadap sumbu x positif :
tg Jadi :
Ry 5,1 0,6 Rx 8,5
θ = 329.03o (terhadap sumbu x dan berlawanan arah jarum jam )
2.4
Perkalian Vektor Untuk operasi perkalian dua buah vektor, ada dua macam operasi yaitu : 1. Perkalian skalar dengan vektor 2. Perkalian vektor dengan vektor. a. Perkalian titik (dot product) b. Perkalian silang (cross product) 2.4.1 Perkalian skalar dengan vektor Sebuah besaran skalar dengan nilai sebesar k, dapat dikalikan dengan sebuah vektor A yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya sama dengan nilai k dikali nilai A. Jika nilai k positif, maka arah C searah dengan A dan jika nilai k bertanda negatif, maka arah C berlawanan dengan arah A. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut: C=kA 2.4.2 Perkalian vektor dengan vektor Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor,yaitu : Perkalian titik (dot product) yang menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang (cross product) yang menghasilkan besaran vektor. 2.4.2.1 Perkalian titik (dot Product) Perkalian titik (dot product) antara dua buah vektor A dan B menghasilkan C, didefinisikan secara matematis sebagai berikut: A•B=C A dan B adalah vektor C adalah besaran skalar Besar C didefinisikan sebagai : C = A . B cos θ
8
A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B θ = sudut antara vektor A dan B Sifat- sifat perkalian titik : 1. bersifat komutatif : A•B=B•A 2. bersifat distributif : A • (B + C) = A • B + A • C 3. jika A dan B saling tegak lurus maka : A•B=0 4. jika A dan B searah : A • B = A.B 5. jika A dan B berlawanan arah maka : A • B = - A.B Contoh: Usaha (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan benda sejauh s didefinisikan sebagai W = F • s. Jika besar gaya F = 5 N, perpindahan s = 40 m dan gaya F membentuk sudut 60°, maka hitung besar usaha W. Jawab: W=F•s = F s cos θ = (5 N) . (40 m) cos 60° = (5 N) . (40 m) . 0,5 = 100 N m = 100 Joule 2.4.2.2. Perkalian silang (cross product) Perkalian silang (cross product) antara dua buah vektor A dan B akan menghasilkan C, didefinisikan sebagai berikut: AxB=C
Gambar 2.6 : Perkalian vektor A, B, dan C vektor Nilai vektor C didefinisikan sebagai : C = A . B sin θ
9
A = |A| = besar vektor A B = |B| = besar vektor B θ = sudut antara vektor A dan B Arah vektor C dapat diperoleh dengan cara membuat putaran dari vektor A ke B melalui sudut θ dan arah C sama dengan gerak arah sekrup atau aturan tangan kanan. Sifat-sifat perkalian silang atau Cross Product : 1. bersifat anti komutatif : AxB=-Bx A 2. jika A dan B saling tegak lurus maka: A x B = A.B 3. jika A dan B searah atau berlawanan arah maka : AxB=0 2.5 Vektor Satuan Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu satuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Kartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x, sumbu y dan sumbu z, maka: Vektor satuan pada sumbu x adalah i vektor satuan pada sumbu y adalah j vektor satuan pada sumbu z adalah k Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah 1 satuan.
Gambar 2.7 : vektor satuan Sifat-sifat perkalian titik vektor satuan : i.i =j.j =k.k=1 i.j =j.k =i.k =0
10
Sifat-sifat perkalian silang vektor satuan : ixi=jxj=kxk=0 ixj = k jxi = -k kxi = j ixk = -j jxk = i kxj = -i Penulisan suatu vektor A dalam koordinat kartesian berdasarkan komponen-komponen nya adalah : A = Ax i + Ay j + Az k Dimana Ax, Ay dan Az adalah komponen A arah sumbu X, Y dan Z. Contoh perkalian titik dan perkalian silang dua buah vektor A dan B . 1. Pekalian titik. A.B = (Ax i + Ay j + Az k) . ( Ax i + Ay j + Az k ) = AxBx i.i + AxBy i.j + AxBz i.k + AyBx j.i + AyBy j.j + AyBz j.k + AzBx k.i + AzBy k.j + AzBz k.k = AxBx + AyBy + AzBz 2. Perkalian silang. A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x ( Ax i + Ay j + Az k ) = AxBx ixi + AxBy ixj + AxBz ixk + AyBx jxi + AyBy jxj + AyBz jxk + AzBx kxi + AzBy kxj + AzBz kxk = AxBy k - AxBz j - AyBx k + AyBz i + AzBx j – AzBy k = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx ) j + (AxBy – AyBx) k Salah satu cara untuk menyelesaikan perkalian silang adalah dengan metode determinan :
11
untuk mencari determinan matriksnya dengan mengunakan metode Sarrus :
= i AyBz + j AzBx + k AxBy – k AyBx – i AzBy – j AxBz = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx ) j + (AxBy – AyBx) k Cara lain yang mirip dengan metode diatas adalah dengan cara mereduksi determinan matriks 3x3 menjadi determinan matriks 2x2 sehingga lebih mudah menghitungnya :
i j k Ay Az Ax Az Ax Ay A B Ax Ay Az i j k By Bz Bx Bz Bx By Bx By Bz = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx ) j + (AxBy – AyBx) k Contoh Soal : Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini : A = 2i – 2j + 4k B = i – 3j + 2k Jawab : Perkalian titik : A. B = 2.1 +(-2)(-3) + 4.2 = 16 Perkalian silang : i j
k AxB 2 2 4 1 3 2
= {(-2).2 – (-3).4} i – { 4.1 - 2.2} j + {2.(-3) – 1.(-2)} k = (-4 + 12) i – (4 - 4) j + (-6 + 2) k =8i–0j–4k = 8 i – 4k
12
