BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA
SISTEM TANGAN KIRI
SISTEM TANGAN KANAN
&
RUMUS JARAK
|
,
,
,
,
|
16
Contoh : Carilah jarak antara titik Solusi : |
,
,
, ,
dan
|
. ,
√
Persamaan baku sebuah bola Jika
, ,
pada bola dengan radius
, , , maka :
berpusat pada
atau dalam bentuk terurai dapat ditulis sebagai
Contoh : Carilah pusat dan radius bola dengan persamaan :
Solusi :
Pusat bola
, ,
; radius
GRAFIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Contoh : Gambarkanlah grafik dari Solusi : Perpotongan dengan sumbu
ambil
&
0
ambil
&
0
, , Perpotongan dengan sumbu
17
, , Perpotongan dengan sumbu , , , , Bidang
, ,
, ,
2. VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA , , ,
, disebut vektor basis. Panjang , diberikan sbb:
adalah vektor satuan baku | | ,
Bila
,
dan
,
,
; maka
. dan .
| || |
18
Contoh : ,
Cari sudut ABC jika ,
,
,
,
, ,
,
dan
,
Vektor Vektor
, ,
,
. | || |
,
,
,
,
,
,
,
,
,
√
√
,
,
SUDUT DAN KOSINUS ARAH yang tak nol dengan vektor satuan , ,
Sudut antara vektor
disebut sudut-
sudut arah vektor , maka :
Jika . | || |
| |
;
| |
;
| |
19
Contoh : Cari sudut-sudut arah vektor Solusi : | |
√ √ √
√
;
√
;
,
,
,
Contoh : Cari vektor yang panjangnya 5 satuan yang mempunyai
,
Solusi : , Vektor yang memenuhi persyaratan : ,
,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
,
,
,
,
, dan
,
BIDANG Bila
, ,
adalah sebuah vektor tak nol tetap dan
titik tetap. Himpunan semua titik BIDANG yang melalui , Maka,
.
, ,
yang memenuhi
,
, .
adalah adalah
dan tegak lurus . ,
setara terhadap
Persamaan ini (paling sedikit salah satu A,B,C tidak nol) disebut bentuk baku persamaan bidang.
20
Persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi :
,
Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui , ,
, ,
tegak lurus terhadap
. Kemudian cari sudut antara bidang ini dan bidang yang persamaannya
Solusi :
Vektor
,
terhadap bidang kedua adalah
,
. Sudut
antara dua
bidang tersebut adalah : . | || |
√
√
,
,
3. HASIL KALI SILANG Hasil kali silang (hasil kali vektor atau cross product), dan
,
,
untuk
,
,
didefinisikan sebagai ,
,
Untuk memudahkan, gunakan pengertian determinan
21
Dengan determinan,
hukum anti komutatif ,
Contoh : Andaikan Hitunglah
dan
,
dan
, ,
menggunakan definisi determinan
Solusi :
Teorema : Andaikan
dan
vektor-vektor dalam ruang dimensi tiga dan
sudut antara
mereka, Maka : 1. . 2. |
. |
terhadap ,
| || |
3. Dua vektor
dan
dalam ruang dimensi tiga adalah sejajar jika dan hanya jika
22
Contoh : Cari persamaan bidang yang melalui tiga titik ,
,
,
, ,
,
,
,
Solusi : ,
,
dan
,
,
Maka,
Bidang yang melalui
, ,
dengan normal
mempunyai
persamaan :
atau
SIFAT-SIFAT ALJABAR TEOREMA : Jika , dan
adalah vektor dalam ruang dimensi tiga dan
skalar, maka :
1. 2. 3. 4. 5. ( 6.
23
4. Garis dan Kurva dalam Ruang Dimensi Tiga Suatu kurva ruang ditentukan oleh suatu tiga persamaan parameter, ,
,
,
, ,
kontinue pada selang I
Suatu kurva dinyatakan dengan cara memberikan vektor posisi
dari
.
suatu titik ,
,
GARIS
garis ditentukan oleh suatu titik tetap .
dan suatu vector
Garis adalah himpunan semua titik
sedemikian sehingga
adalah sejajar
terhadap ,
;
bilangan riil
dan
Bila
, ,
dan
,
,
,
,
Merupakan persamaan parameter dari garis melalui , ,
; , ,
,
,
dan sejajar
bilangan-bilangan arah
24
Contoh : Cari persamaan parameter untuk garis yang melalui
,
,
dan
, , Solusi : , Pilih
,
,
,
sebagai
, , ,
,
, ,
, maka persamaan parameter : ,
,
, , Persamaan simetris garis yang melalui
,
,
dengan bilangan arah a,b,c
yakni :
Persamaan tersebut merupakan konjungsi dari dua persamaan
dan
Contoh : Cari persamaan simetri dari garis yang sejajar vektor melalui
,
,
dan
, ,
Solusi :
Contoh : Cari persamaan simetri dari garis potong bidang-bidang dan Solusi : pilih garis menembus bidang
dan
dan Menghasilkan titik (0,4,2) titik
, ,
25
vektornya adalah : ,
,
,
,
Dengan menggunakan (3,0,4) untuk , , , ,
,
,
diperoleh :
Contoh : Cari persamaan simetri atau persamaan parameter dari garis yang melalui (1,-2,3) yang tegaklurus terhadap sumbu x dan garis
Solusi : Sumbu x dan garis yang diberikan arah
, ,
Suatu vektor yang tegak lurus terhadap
dan v :
Garis yang disyaratkan adalah sejajar terhadap
dan
,
,
,
,
Persamaan parameter : ,
,
GARIS SINGGUNG PADA KURVA vektor posisi ,
, dan
adalah
bilangan-bilangan singgung pada
26
Contoh : Cari persamaan simetrik untuk garis singgung pada
, , ⁄
di Solusi :
Garis singgung mempunyai arah
, ,
.
Persamaan simetriknya adalah :
KECEPATAN, PERCEPATAN, dan KELENGKUNGAN .
Bila
adalah vektor posisi untuk titik
yang menjelajahi kurva selama bertambah besar.
Misalkan
ada dan kontinu dan
dari
ke
kurva mulus. Panjang busur
diberikan oleh
|
|
Jika
waktu
Kecepatan Percepatan
Laju
|
|
|
|
Contoh : Suatu titik
bergerak sedemikian hingga vector posisinya pada saat adalah
27
heliks melingkar •
Cari panjang busur untuk
•
Hitung percepatan
pada
Solusi : •
Panjang busur
•
KELENGKUNGAN Vektor singgung satuan pada
adalah
|
|
laju perubahan arah garis singgung terhadap jarak sepanjang kurva |
Kelengkungan
|
dari suatu kurva ruang | |
| |
Contoh : Cari kelengkungan dari heliks melingkar
Solusi : |
|
| |
| |
√ |
|
28
KOMPONEN PERCEPATAN Vektor normal satuan utama N di P : ⁄ |
⁄
|
adalah normal ( ) terhadap kurva diperoleh dari diferensial . sehingga
;
.
tegak lurus pada T.
.
. .
| |
Jika hasil kali silang |
.
|
Sehingga |
|
|
|
| || |
atau |
|
|
| | | | |
⁄
Karena
; maka :
| | | |
Contoh : pada titik
, ,
, cari , ,
,
, dan
Untuk gerak : Solusi :
Pada
| |
√
29
| |
√
|
| | |
√
√
|
√ |
|⁄| |
| |
|
√
√ √
√ √
√
30
