04-Ruang Vektor dan Subruang Vektor (1) Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012
Anny2011
1
Agenda • Bagian 1: Ruang Vektor • Bagian 2: Nullspace of A: Solusi Ax = 0 • Bagian 3: Rank dan Row-reduced-form
Anny2011
2
Bagian 1
RUANG VEKTOR
Anny2011
3
Pendahuluan • Ruang vektor yang utama: Rn
– Dinotasikan dengan: R1, R2, R3, R4, … – Setiap ruang vektor Rn berisi seluruh vektor pada ruang tsb. – Misal: R5 berisi seluruh vektor kolom dengan lima komponen. R5 disebut ruang 5-dimensi.
• Mengapa digunakan huruf R?
– Karena komponen vektor adalah bilangan real – Jika komponen vektor bilangan kompleks maka ruang vektornya Cn. Anny2011
4
Pendahuluan • Ruang vektor R2 direpresentasikan dengan bidang xy. • Setiap vektor v pada Rn memiliki n komponen
Anny2011
5
Kombinasi Linier pada Ruang Vektor • Jika v pada R4 dengan komponen 1, 0, 0, 1 maka 2v adalah vektor pada R4 dengan komponen 2, 0, 0, 2. • Pada sebuah ruang vektor, terdapat 8 rule sbb:
Anny2011
6
Ruang Vektor selain Rn • M : Ruang vektor semua matriks 2 x 2 • F : Ruang vektor semua fungsi f (x) • Z : Ruang vektor yang terdiri dari sebuah vektor nol (zero vector) • P atau Pn : Ruang vektor semua polinomial derajat n Anny2011
7
Sub-ruang (Subspace)
•
Semua kombinasi linier menghasilkan vektor di sub-ruang yang sama.
•
Setiap subspace mengandung zero vector
•
Beberapa contoh subspace pada R3: – – – –
L : garis yang melalui (0, 0, 0) P : bidang yang melalui (0, 0, 0) R3 Z
Anny2011
8
Contoh
Apakah D subspace dari U? Anny2011
9
Ruang Kolom dari Matriks A • Dinotasikan dengan C(A) • Berisi semua kombinasi linier kolom-kolom matriks A • SPL: Ax = b
– b adalah kombinasi linier kolom pada A – b harus berada pada ruang kolom A, jika tidak berari tidak ada solusi dari SPL tsb
Anny2011
10
Ruang Kolom dari Matriks A • Misal A adalah matriks berukuran m x n – Ada berapa komponen tiap kolom pada A? – Berada pada ruang apa tiap kolom pada A? – C(A) = semua kombinasi linier vektor (subspace) pada ruang Rm.
Anny2011
11
Contoh C(A)
Anny2011
12
Contoh C(A)
Anny2011
13
Bagian 2
NULLSPACE OF A: SOLUSI Ax = 0 Anny2011
14
Solusi Ax = 0 • Salah satu solusi Ax = 0 adalah x = 0. • Jika A invertible, tidak ada solusi selain x = 0. • Jika A not-invertible, terdapat solusi selain x = 0. • Setiap solusi x berada pada sub-ruang yang disebut nullspace of A. • Notasi: N(A) • Apa isi sub-ruang N(A)?
– Semua solusi dari Ax = 0 Anny2011
15
Contoh
Anny2011
16
Contoh
Anny2011
17
Contoh
Anny2011
18
Some Comments • Special solutions are much easier to find from the reduced system Rx = 0. • For many matrices, the only solution to Ax = 0 is x = 0. – The nullspace contains only the zero vector: N(A) = Z. – This says that the columns of A are independent.
– No combination of columns gives the zero vector (except the zero combination). – All columns have pivots, no columns are free.
Anny2011
19
Eliminasi untuk mencari solusi Ax = 0 • A adalah matriks persegi empat (tidak harus persegi) berukuran mxn – Terdapat m persamaan – Dengan n variabel yang tidak diketahui – b=0
• Dua langkah untuk mencari Ax = 0:
– Eliminasi untuk mengubah A menjadi U – Substitusi menggunakan Ux = 0 atau Rx = 0 menghasilkan solusi yang dicari
• Jika ditemukan kondisi kolom pada A tidak mempunyai pivot, lanjutkan ke kolom berikutnya • Misal: Carilah U dari matriks A berikut: Anny2011
20
Eliminasi untuk mencari solusi Ax = 0
Vektor (-1, 1, 0, 0) dan (-1, 0, -1, 1) adalah special solutions Semua solusi (N(A)) adalah kombinasi linier kedua special solutions tsb Anny2011
21
Contoh • Tentukan nullspace dari U berikut:
• Jika matriks U dieliminasi lebih lanjut (nilai diatas pivot diset 0 kemudian setiap baris dibagi dengan pivotnya), akan dihasilkan R:
Anny2011
22
Matriks Echelon • •
Eliminasi mengubah A menjadi U Matriks U adalah matriks echelon
•
Ruang kolom matriks U: R4
• •
Nullspace of U: subspace of R7 Solusi untuk Ux = 0 adalah semua kombinasi linier 4 solusi spesial (karena ada 4 free variables)
– C(U) terdiri semua vektor (b1, b2, b3, 0)
– – – – –
Kolom 3, 4, 5, 7 tidak mempunyai pivot. Jadi free variables-nya adalah x3, x4, x5, x7 Set satu free variable menjadi 1, set free variable yang lain menjadi 0 Cari solusi Ux = 0 untuk pivot variables x1, x2, x6 Hasilnya adalah satu solusi spesial dari 4 solusi spesial dalam matriks nullspace N
Anny2011
23
Matriks Echelon • Misal matriks A memiliki lebih banyak kolom dari baris: n > m – Ada berapa free variables?
• Minimal ada satu free variable
– Sistem Ax = 0 minimal memiliki satu solusi spesial
• Kesimpulan:
– jika Ax = 0 memiliki lebih banyak variabel yang tidak diketahui daripada persamaan (n > m), – maka diperoleh solusi bukan nol (pasti ada kolom yang tidak mempunyai pivot) – Bahkan solusi bukan nol tsb sebenarnya tak terhingga
• Nullspace adalah subspace
– Dimensi ruang nullspace ditentukan dari jumlah free variable
Anny2011
24
Matriks RRE (reduced row echelon) R • Matriks U jika semua baris dibagi dengan pivotnya kemudian dilakukan upward elimination akan dihasilkan matriks R, misal:
• Jika A invertible, matriks R-nya = I, N(A) = Z. Anny2011
25
Bagian 3
RANK DAN ROW-REDUCEDFORM Anny2011
26
Definisi rank • Rank sebuah matriks A adalah jumlah pivot r • Rank memberikan ukuran sebuah SPL (bukan ukuran matriks A) • Sebuah matriks A:
Menggunakan definisi rank diatas, berapa rank dari A (dan juga U)?
Anny2011
27
Rank Satu • Matriks dengan nilai rank = 1 artinya hanya memiliki satu pivot. • Setiap baris adalah perkalian baris pivot • Setiap kolom adalah perkalian kolom pivot • Contoh:
Anny2011
28
Ruang Kolom Matriks Rank 1 • Pada matriks dengan rank 1, semua kolom berada pada sebuah garis yang melalui u = (1, 2, 3) • Kolom pada matriks A: u, 3u, 10u • Jika vT = [1 3 10], maka bentuk matriks rank 1 menjadi: A = uvT
Nullspace (bidang) tegak lurus dengan row space (garis) Anny2011
29
Definisi Rank • Jika rank matriks A, U, dan R adalah r, maka:
– A, U, dan R memiliki r baris pivot (r baris yang independen) – A, U, dan R memiliki r kolom pivot (r kolom yang independen) – r adalah dimensi ruang kolom matriks A, U, dan R – r adalah dimensi ruang baris matriks A, U, dan R Anny2011
30
Kolom Pivot • Kolom pivot matriks R bernilai 1 pada pivot dan bernilai 0 pada elemen selain pivot.
• Kolom pivot matriks diatas: (1, 3)
Anny2011
31
Solusi Spesial
Anny2011
32
Solusi Spesial
Anny2011
33
Solusi Spesial
Anny2011
34
Solusi Spesial
Anny2011
35
Latihan Pertemuan 4 • Chapter 3.1 – Problem 12, 19
• Chapter 3.2 – Problem 1, 2, 3, 4
• Chapter 3.3 – Problem 1, 2, 8, 10
Anny2011
36
