SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4
1. Nina Octaviani Nugraheni
14144100115
2. Emi Suryani
14144100126
3. Azah Elvana
14144100139
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015
SUBRUANG VEKTOR A. Definisi Jika
dan
, keduanya merupakan ruang vektor, di mana
himpunan bagian dari
, dan
bukan himpunan kosong
adalah
{ } , maka
disebut subruang (subspace) dari . Dengan demikian jika kesepuluh aksioma dalam ruang vektor , maka akan berlaku juga untuk
.
Teorema 1 Jika
adalah suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari
suatu ruang vektor
, maka
adalah subruang dari
, jika dan hanya jika
syarat-syarat berikut terpenuhi: 1) Jika
dan
adalah vektor-vektor pada
2) Jika
adalah skalar sembarang dan
, maka
, maka
berada pada
.
adalah vektor sembarangan pada
berada pada
Bukti: Jika
adalah suatu subruang dari
, maka semua aksioma ruang vektor
terpenuhi, khususnya aksioma 1 dan 6 berlaku. Tetapi aksioma-aksioma ini secara tepat adalah syarat-syarat 1 dan 2 (teorema 1). Catatan Suatu himpunan
yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari suatu subruang
disebut tertutup terhadap penjumlahan (closed under addition) jika syarat a pada teorema 1 berlaku, dan dikatakan tertutup terhadap perkalian skalar (closed under scalar multiplication) jika syarat b berlaku. Jadi teorema 1 menyatakan bahwa
adalah subruang dari
jika dan hanya jika
tertutup
terhadap penjumlahan dan tertutup terhadap perkalian skalar. Contoh Subruang 1. Diketahui Apabila
,* ,*
+| +|
-
subruang vector dari Penyelesaian:
1
{ } buktikan bahwa
adalah
{ }
Pembuktian bahwa *
+
sebab
Sehingga
Misal: [
]
[
]
Sebab
maka
Pembuktian aksioma a. Misal: *
+
[
*
+
] [
]
[
]
Misalkan
*
+
sebab
b. *
+
[ *
] +
Keterangan
2
{}
{ }
Karena
, syarat 1 dan 2 terpenuhi, maka terbukti
adalah subruang vektor dari 2. Diketahui
adalah himpunan vektor- vektor yang berbentuk (
dengan apakah
dengan operasi standar
)
. Tunjukan
merupakan subruang vektor atau bukan !
Penyelesaian : Akan ditunjukan apakah
memenuhi syarat sub ruang vektor
Misalkan ̅ ̅ maka ̅ ̅
Dengan ̅
̅
̅
̅
Karena syarat ke-1 tidak dipenuhi, maka
bukan merupakan subruang
vektor
B. Kombinasi Linear Sebuah
vektor
vektor
disebut
, jika vektor
Dengan
“kombinasi
linear”
dari
vektor-
tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
adalah skalar
Catatan: Kadang-kadang kita menuliskan vektor dengan bentuk tetapi dalam konteks SPL akan dituliskan berbeda, yaitu:
̅
juga merupakan vektor dalam artian
̅
[
] ̅ dengan
3
,
dan ̅ [
[
]
]
Contoh: Diketahui vektor-vektor
dalam
. Tunjukkan bahwa vektor
merupakan kombinasi linear dari
. Jawab: Supaya
menjadi kombinasi linear dari
, maka harus ada skalar
sehingga: atau dengan kata lain
Di dapat empat persamaan yaitu:
Kita selesaikan dengan OBE, matriks augmented dari sistem persamaan di atas: [
| ]
[
[
|
]
|
]
[
[
|
Dari matriks di atas, maka diperoleh:
4
]
|
]
Substitusi mundur menjadi:
Untuk
maka
. Ini artinya
disajikan sebagai kombinasi linear dari
dapat
.
C. Merentang (Span) Jika
{
} adalah vektor-vektor di dalam ruang vektor
dan jika tiap-tiap vektor di dalam vektor {
kombinasi linier dari
dapat dinyatakan sebagai
} , maka dikatakan bahwa vektor-
vektor ini merentang (span) Jika
spann
maka
disebut himpunan perentang
dan
dikatakan
direntang oleh . Contoh : Buktikan bahwa veKtor
merentang
Jawab: Ambil sembarang vektor
(
)
maka
dapat ditulis dalam
bentuk: (
) (
)
Dengan kata lain sembarang vektor kombinasi linear vektor
merentang
5
dapat dinyatakan
sebagai
Hasil yang penting dari konsep di atas adalah sebagai berikut. Jika
adalah vektor-vektor di dalam ruang vektor , maka:
1. Himpunan
dari semua kombinasi linear
merupakan
subruang dari 2.
adalah subruang terkecil
yang memuat
bahwa tiap-tiap subruang lain dari memenuhi
dalam artian
yang memuat
harus
.
Contoh: Tentukan apakah
berada dalam span
dengan
dan
Jawab: Akan dicari skalar
dan
sehingga:
Diperoleh: Samakan koefisien-koefisiennya, maka diperoleh SPL:
Kita selesaikan dengan OBE, matriks augmented dari sistem persamaan diatas: [
|
[
]
|
[
|
]
]
Dari matriks di atas, maka diperoleh:
6
[
|
]
[
|
]
Substitusi mundur menjadi :
Didapatkan
Jadi,
D. Bebas linear dan Tak Bebas Linear Definisi bebas linier: jika
sehingga
maka vektor – vektor tersebut bebas linear . Contoh bebas linear Tentukan
apakah
vektor-vektor
Membentuk sebuah persamaan himpunan yang himpunan yang bebas linear. Penyelesaian:
Dengan menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian akan diperoleh:
[
| ]
[
[
| ]
| ]
[
7
[
| ]
| ]
[
| ]
( )
[
| ]
[
Jadi
| ]
maka himpunannya bebas linear
Definisi tak bebas linear Vektor v1, v2, v3...vn dikatakan tak bebas linear jika terdapat yang tidak semuanya nol sehingga memiliki persamaan
Contoh tak bebas linear Tentukan apakah vektor- vektor membentuk sebuah himpunan yang tak bebas linear Penyelesaian:
Dengan menyetarakan komponen yang bersesuaian akan diperoleh:
[
| ]
[
[
[
| ]
| ]
| ]
( )
[
[
atau atau atau
8
| ]
| ]
| ]
Persamaan baru
Jadi
[
[
( )
| ]
E. Basis dan Dimensi Kita menganggap suatu garis sebagai berdimensi satu, suatu bidang sebagai berdimensi dua, dan ruang di sekeliling kita sebagai berdimensi tiga. Jika
{
adalah suatu ruang vektor dan
himpunan vektor- vektor pada , maka
} adalah suatu
disebut basis untuk
jika dua
syarat berikut berlaku: 1.
bebas linear
2.
merentang
Teorema : = {
Jika vektor
} adalah suatu basis dari ruang vektor pada
, maka setiap
dapat dinyatakan dalam bentuk
dengan tepat satu cara. Contoh: Misalkan
{
himpunan
{
},
{
{
},
} adalah suatu basis untuk
}. Tentukan bahwa .
Penyelesaian: Untuk
menunjukkan
bahwa
himpunan merentang
menunjukkan bahwa suatu vektor sebarang
,
kita
harus
dapat dinyatakan
sebagai suatu kombinasi.
Dari persamaan tersebut dapat diperoleh |
[
| ]
[
sebagai berikut: |
9
]
[
|
]
( )
[
[
|
]
|
]
[
(
|
)
[
[
]
|
]
( )
[
|
]
|
]
Persamaan tersebut merupakan bebas linear karena memiliki solusi trivial. Kita dapat membuktikan bahwa
adalah bebas linear dan merentang
dengan membuktikan “matriks koefisiennya memiliki determinan tak nol”. [
]
kita memperoleh:
Dan dengan demikian
adalah basis dari
.
Definisi: Dimensi dari ruang vektor
yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan
didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor yang membentuk basis pada
. Selain itu, kita mendefinisikan ruang vektor nol sebagai
berdimensi nol. Contoh: Apakah sistem persamaan homogen di bawah ini termasuk basis dalam
10
?
Penyelesaian: [ | ][
(
)
[
| ]
[
| ]
[
[
| ]
| ]
| ]
[
| ]
[
| ]
[
| ]
[
| ]
[
| ]
[
| ]
[
[
| ]
|
|
|
|
|
11
| ]
Dari matriks di atas di dapat [ ]
[ | ]
Berarti [ ]
, parameter
[ | ]
; dan banyak solusi
Sehingga persamaan yang bersesuaian dari matriks di atas adalah
Dengan menyelesaikan variable pertama kita memperoleh
Karena
dan
belum diketahui dan matriks di atas memiliki banyak solusi
maka kita misalkan
Jadi solusinya adalah
Oleh karena itu vektor-vektor solusi dapat dinyatakan sebagai
[
[ ]
]
[
]
[
]
[
]
[
]
Yang menunjukkan bahwa vektor-vektor
dan [ Karena
]
merentang ruang solusi [
dan
]
bebas linear maka merupakan basis dari
12
.
Soal Latihan Selesaikan soal berikut ini! 1.
,*
Diketahui
+|
{[
Apabila
-
]|
},
{ }, buktikan bahwa W adalah
subruang vektor dari ! 2. Diketahui vektor-vektor
dalam
bahwa vektor
. Tunjukkan
merupakan kombinasi linear dari
3. Diketahui
.
apakah
bebas linear atau tak bebas linear ? 4. Apakah
apakah
bebas linear pada 5.
Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh: [
6.
?
]
[
]
[
]
Tentukan dimensi dan basis untuk ruang pemecahan system berikut!
13
Kunci Jawaban: ,*
1. Diketahui
+|
{[
Apabila
-
]|
},
{ }, buktikan bahwa W adalah
subruang vektor dari ! Penyelesaian:
{ }
Pembuktian bahwa *
+
sebab
Sehingga
Misal: *
+
*
+
Sebab
maka
Pembuktian aksioma 1. Misal: [
]
[
[
]
[
] [
] ]
Misalkan
[
]
sebab
2. * [
+ ]
14
{}
*
+
Keterangan
{ }
Karena
, syarat 1 dan 2 terpenuhi, maka terbukti
adalah subruang vektor dari 2. Diketahui
vektor-vektor
bahwa vektor
dalam
.
merupakan kombinasi linear dari
Tunjukkan .
Penyelesaian: Supaya
menjadi kombinasi linear dari
, maka harus ada skalar
sehingga: atau dengan kata lain
Di dapat tiga persamaanya itu:
Kita selesaikan dengan OBE, matriks augmented dari system persamaan diatas: [
[
]
[
]
]
Dari matriks di atas, maka diperoleh:
15
[
]
Substitusi mundur menjadi:
Untuk
maka
. Ini artinya
dapat disajikan
sebagai kombinasi linear dari 3. Diketahui
apakah
bebas
linear atau tak bebas linear ? Penyelesaian: Diketahui : Ditanya :
bebas linear atau tak bebas linear ?
jawab :
Membentuk sebuah himpunan yang tak bebas linear atau himpunan yang bebas linear
Dengan menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian akan diperoleh
[
| ]
( )
[
[
| ]
[
| ]
| ]
[
[
16
[
| ]
| ]
( )
| ]
[
[
| ]
| ]
jadi
maka
bebas linear
4. Apakah
apakah
linear pada
bebas
?
Penyelesaian: Diketahui : Ditanya : Apakah
bebas linear pada
Jawab :
Membentuk sebuah himpunan yang tak bebas linear atau himpunan yang bebas linear
Dengan menyetarakan komponen- komponen yang bersesuaian akan diperoleh
[
| ]
[
[
| ]
| ]
( )
[
| ]
Persamaan baru : atau atau Jadi Maka
tak bebas linear pada
17
[
| ]
[
| ]
5. Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh: [
]
[
]
[
]
Penyelesaian: Untuk
menunjukkan
bahwa
himpunan
merentang
menunjukkan bahwa suatu vektor sebarang
R,
kita
harus
dapat dinyatakan
sebagai suatu kombinasi.
Sehingga didapat persamaan:
Persamaan tersebut merupakan bebas linear karena memiliki solusi trivial atau tidak berkelipatan. Kita dapat membuktikan bahwa dan tidak merentang
adalah basis linear
dengan membuktikan matriks koefisiennya memiliki
determinan nol. [
[
]
|
Sehingga di dapatbahwadimensinyaadatigayaitu
dan basisnya ada 3
yaitu
6.
Tentukan dimensi dan basis untuk ruang pemecahan system berikut:
18
Penyelesaian: |
[
| ]
[
[
| ]
| ]
[
| ]
[
|
[
[
| ]
| ]
| ]
|
|
|
Sehinggadi peroleh |
dan
|
;
solusi tunggal
Vektor solusi dapat dinyatakan sebagai [ ]
[ ]
[ ] merentang ruang solusi dan adalah suatu basis di
merupakan bebas linear maka
dan ruang solusinya berdimensi 1
19
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1984.Aljabar Linear Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga. Anton, Howard.2000.Aljabar Linear Edisi Kedelapan.Jakarta : Erlangga. Saefudin, Abdul Aziz.2012. Bahan Ajar Aljabar Linear.Yogyakarta.UPY
20
