”RUANG BASIS SOLUSI” Ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier
DISUSUN OLEH : DONNA SEPTIAN CAHYA RINI
(08411.114)
FITRIA ASTUTI
(08411.133)
NURUL AISYAH
(08411.211)
SULIS SETYOWATI
(08411.260)
SULISTIANI
(08411.261)
NORMA ADITYAS YULISTANTI (07411.145/PL)
Dosen Pengampu : Darmadi,S.Si.,M.Pd.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010
1
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas terselesaikannya penulisan makalah yang berjudul “Ruang Basis Solusi” untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linier. Makalah ini disusun berdasarkan sumber yang ada. Kerja keras ini tidak luput dari campur tangan berbagai pihak. Untuk itu penulis menyampaikan ucapan terima kasih : 1. Bapak Drs. Parji, M.Pd., sebagai rektor IKIP PGRI Madiun 2. Bapak Darmadi,S.Si.,M.Pd., sebagai dosen pengampu dalam mata kuliah Aljabar Linier. 3. Semua pihak yang telah membantu terselesaikannya makalah ini. Akhirnya penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak demi meningkatkan mutu dan kesempurnaan makalah-makalah yang akan datang. Penulis berharap semoga makalah ini dapat diterima dan memberi manfaat bagi penulis khususnya dan pembaca pada umumnya. Untuk itu penulis ucapkan banyak terima kasih sebelumnya kepada para pembaca.
Madiun, 20 Desember 2010
Penyusun
2
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI ........................................................................................................... iii BASIS RUANG SOLUSI
3
BASIS RUANG SOLUSI
Suatu matriks A dan dan transposnya AT secara bersamaan, maka terdapat enam ruang vektor yang penting, yaitu: ruang baris dari A
ruang baris dari AT
ruang kolom dari A
ruang kolom dari AT
ruang nul dari A
ruang nul dari AT
Dengan mentranspos suatu matriks, akan mengubah vektor-vektor barisnya menjadi vektor-vektor kolom dan mengubah vektor-vektor kolomnya menjadi vektor-vektor baris. Sehingga, kecuali perbedaan notasi, ruang baris dari AT adalah sama dengan ruang kolom dari A , dan ruang kolom dari AT adalah sama dengan ruang baris dari A . Denan ini, kita tinggal memiliki empat ruang vektor yang penting, yaitu: ruang baris dari A
ruang kolom dari A
ruang nul dari A
ruang nul dari AT
Keempat ruang vektor ini dikenal sebagai ruang matriks dasar (fundamental matrix space) yng terkait dengan A . Jika A adalah suatu matriks m x n, maka ruang baris dari A dan ruang nul dari A adalah sub ruang dari R n dan ruang kolom dari A dan ruang nul dari AT adalah sub ruang dari R m .
Ruang Baris dan Ruang Kolom yang Memiliki Dimensi Sama Pada contoh sebelumnya, kia mengetahui bahwa ruang baris dan ruang kolom dari mariks berikut ini:
4 1 3 4 2 5 2 2 6 9 1 8 A = 2 6 9 1 9 7 1 3 4 2 5 4 Masing-masing memiliki tiga vektor basis, yang berarti keduanya berdimensi tiga. Bukanlah merupakan suatu kebtulan, jika ternyata dimensi-ddimensi ini sama. Hal ini merupakan konsekuensidari hasil umu berikut.
4
Teorema 4.24. Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama.
Bukti: Misalkan R adalah bentuk eselon baris sembarang dari A . Sesuai Torema 4.21, maka: dim(ruang baris dari A ) = dim(ruang baris dari R ) dan sesuai Teorema 4.22, maka: dim(ruang kolom dari A ) = dim(ruang kolom dari R ) Jadi, bukti ini akan menjadi sempurna jika kita dapat menunjukkan bahwa ruang baris dan ruang kolom dari R memiliki dimensi yang sama. Tetapi, dimensi ruang baris dari R adalah banyaknya baris taknol, dan dimensi ruang kolom dari R adalah banyaknya kolom yang mengandung 1 utama (Teorema 4.23). Akan tetapi, baris-baris taknol tepatnya merupakan baris-baris dimana terdapat 1 utama, sehingga banyaknya 1 utama dari banyaknya baris taknol adalah sama. Hal ini menunjukkan bahwa ruang baris dan ruang kolom dari R memiliki dimensi yang sama. Definisi 4.11. Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom darsuatu matriks A disebut rank dari A dan dinyatakan sebagai rank ( A ). Dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas (nullity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas ( A ).
Teorema 4.25. Jika A adalh suatu matriks sembarang, maka rank ( A ) = rank ( AT )
Bukti: T rank( A ) = dim(ruang baris dari A ) = dim(ruang kolom dari A ) = rank(
AT ).
Teorema berikut ini, menyusun hubungan penting antara rank dan nulitas suatu matriks.
5
Teorema 4.26. Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka: rank ( A ) + nulitas ( A ) = n
Bukti: Karena A memiliki n kolom, maka sistem linier homogen A x = 0 memiliki n faktor yang tidak diketahui (variabel). Variabel ini teragi dalam dua kategori, yaitu: variabel utama an variabel bebas. Jadi, [Banyaknya variabel utama] + [Banyaknya variabel bebas] = n Tetapi, banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris terduksi dari A , dan angka ini merupakan rank dari A . Jadi, rank( A ) + [bayaknya variabel bebas] = n banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nlitas dari A . Hal ini erjadi karena nulitas dari A aalah dimensi ruang solusi dari A x = 0, yang sma dengan parameter pad solusi umum, yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi, Bukti dari teorema sebelumnya terdiri dari dua hasil yang sama-sama penting.
Teorema 4.27. Jika A adalah suatu matriks n x n, maka: a) rank ( A ) = banyaknya variabel utama pada solusi dari A x = 0. b) nulitas ( A ) = banyaknya parameter pada solusi umum dari A x = 0.
Nilai Maksimum untuk Rank n Jika A adalah suatu matriks m x n, maka vektor-vektor barisnya terletak pada R
m dan vektor-vektor kolomnya terletak pada R . Ini mengimplikasikan bahwa
ruang baris dari A paling banyak berdimensi n, dan ruang kolom dari A paling banyak berdimensi m. Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi yang sama (rank dari A ), kita harus
kecil antara nilai-nilai m dan n. Kita
menotasikan dengan menulis:
6
rank ( A ) ≤ min(m,n) dimana min(m,n) menotasikan nilai yang lebih kecil antara nilai m dan nilai n jika m ≠ n, atau nilai yang sama jika m = n.
Teorema 4.28. Teorema Konsistens Jika A x = b adala suatu sistem linier yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen. a) A x = b adalah konsisten. b) b berada pada ruang kolom dari A . c) Matriks koefisien A , dan matriks yang diperbesar [ A │b] memiliki rank yang sama. Bukti: Kita hanya perlu membuktkan dua ekuivalensi (a) ↔ (b) dan (b) ↔(c), karena sesuai dengan aturan logika, maka (a) ↔ (c). (a) ↔ (b). Sesuai teorema 18, suatu sistem persamaan linier A x = b adalah konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A . (b) ↔ (c). Kita akan menunjukkan bahwa jika b berada pada ruang kolom dari A , maka ruang kolom dari
A dan dari [ A │b] benar-benar sama, sehingga
selanjutnya kedua matriks ini memiliki rank yang sama. (c) ↔ (b). Asumsikan bahwa A dan [ A │b] memliki rank r yang sama. Terdapat beberapa sub himpunan yang terdiri dari vektor-vektor kolom dari A yang membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A .
Teorema 4.29. Jika A x = b adalah suatu sistem linier yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
7
a) A x = b adalah konsisten untuk setiap matriks b, m x 1. b) Vektor-vektor kolom dari A merentang R m . c) rank ( A ) = m. Bukti: Kita hanya perlu membuktikan dua ekuivalen 𝑎 ↔ (𝑏) dan 𝑎 ↔ (𝑐), karena sesuai dengan aturan logika, maka 𝑏 ↔ (𝑐). 𝑎 ↔ (𝑏) Dari rumus (2) Subbab 4.6. sistem A x = b dapat dinyatakan sebagai: 𝒙𝟏𝒄𝟏 + 𝒙𝟐 𝒄𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏 𝒄𝒏 = 𝒃 Di mana kita dapat menyimpulkan bahwa A x = b adalah konsisten untuk setiap matriks b. m x l, jika dan hanya jika setiap b semacam ini dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linier dari vektor – vektor kolom𝑐 , 𝑐 , … , 𝑐 atau secara 1 2 𝑛 ekuivalen, jika dan hanya jika vektor – vektor kolom ini merentang 𝑅 𝑚 . 𝑎 ↔ (𝑐) dari asumsi bahwa A x = b adalah konsisten untuk setiap matriks b, m x l, dan dari Teorema Konsistensi bagian (a) dan (b), maka setiap vektor b pada 𝑅𝑚 . Terletak pada ruang kolom dari A, yaitu ruang kolom dari A adalah seluruh 𝑅𝑚 . Jadi, rank (A) = dim ( 𝑅𝑚 ) = m. 𝑐 ↔ (𝑎) dari asumsi bahwa rank (A) = m, maka ruang kolom dari A adalah sub ruang dan 𝑅 𝑚 dengan dimensi m, dan oleh karena itu pasti seluruh 𝑅𝑚 sesuai dengan Teorema 17. Sesuai dengan Teorema Konsistensi bagian (a) dan (b), A x 𝑚 = b adalah konsisten untuk setiap vektor b pada 𝑅 , karena setiap b semacam ini
berada pada ruang kolom A. Suatu sistem linier dengan jumlah persamaan lebih banyak dibandingkan jumlah faktor
yang
tidak
diketahui
disebut
(Overdetermined Linier System). Jika
Sistem Ax
Linier
Overdetermined
= b adalah Sistem Linier
Overdetermined yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui (sehingga m>n), maka vektor – vektor kolom dari A tidak dapat 𝑚 merentang 𝑅 . Sesuai teorema terakhir bahwa untuk suatu matrik A, m x n
tertentu, dengan m>n, Sistem Linier Overdetermined A x = b tidak dapat konsisten untuk setiap b yang mungkin.
8
Teorema 4.30. Jika A x = b adalah suatu Sistem Linier Konsisten yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, dan A memiliki rank r, maka solusi umum dari sistem tersebut terdiri dari n―r parameter. Pada subbab sebelumnya, kita telah memperoleh berbagai macam syarat dimana suatu sistem linier homogen 𝐴𝑥 = 0 yang terdiri dari n persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui dipastikan hanya memiliki solusi trivial. Teorema berikut memperoleh beberapa hasil yang bersesuaian untuk sistem yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, dimana m dan n mungkin berbeda.
Teorema 4.31. Jika A adalah suau matriks m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekuivalen. a) A x = 0 hanya memiliki solusi trivial. b) Vektor-vektor kolom A adalah bebas linier. c) A x = b memiliki paling banyak satu solusi (tidak ada atau satu) untuk setiap matriks b, m x 1. Bukti: Kita hanya perlu membuktikan dua ekuivalen 𝑎 ↔ (𝑏) dan 𝑎 ↔ (𝑐), karena sesuai dengan aturan logika, maka 𝑏 ↔ (𝑐). 𝑎 ↔ (𝑏) jika 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 adalah vektor – vektor kolom dari A, maka sistem linier 𝐴𝑥 = 0 dapat ditulis sebagai: 𝑥1 𝑐1 + 𝑥2 𝑐2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑐𝑛 = 0
(6)
Jika 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 adalah vektor – vektor bebas linier, maka persamaan ini hanya akan terpenuhi oleh 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0, dimana 𝐴𝑥 = 0 hanya memiliki solusi trivial. Sebaliknya, jika 𝐴𝑥 = 0 hanya memiliki solusi trivial, maka persamaan (6) hanya akan terpenuhi oleh 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0, yang berarti 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 adalah bebas linier. 𝑎 ↔ (𝑐) asumsikan 𝐴𝑥 = 0 hanya memiliki solusi trivial. 𝐴𝑥 = 𝑏 bisa bersifat konsisten atau tidak. Jika tidak konsisten, maka 𝐴𝑥 = 𝑏 tidak memiliki solusi, dan 9
pembuktian kita selesai. Jika 𝐴𝑥 = 𝑏 konsisten, misalnya 𝑥0 adalah solusi sembarang. Dari pembahasan Teorema 19 dan fakta bahwa 𝐴𝑥 = 0 hanya memiliki solusi trivial, kita menyimpulkan bahwa solusi umum dari 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah 𝑥0 + 0 = 𝑥0 . Jadi, satu – satunya solusi dari 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah 𝑥0. 𝑐 ↔ (𝑎) asumsikan bahwa 𝐴𝑥 = 𝑏 memiliki paling banyak satu solusi untuk setiap matriks b. m × l. Maka, secara khusus, 𝐴𝑥 = 0 memiliki paling banyak satu solusi trivial. Suatu sistem linier dengan jumlah faktor yang tidak diketahui lebih banyak dari jumlah persamaan disebut Sistem Linier Underdetermined (Undertermined Linier System). Jika 𝐴𝑥 = 𝑏 adalah suatu sistem linier underdetermined konsisten yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui (sehingga 𝑚 < 𝑛), maka solusi umumnya memiliki paling tidak satu parameter. Sehingga, suatu sistem linier underdetermined konsisten harus memiliki banyak solusi takterhingga. Secara khusus, suatu sistem linier homogen undertermined memiliki takterhingga banyaknya solusi, tetapi hal ini telah dibuktikan pada Bab I.
Teorema 4.32. Pernyataan-pernyataan yang Ekuivalen Jika A adalah suatu matriks n x n, dan T A : R n R n adalah perkalian dengan A , maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
a) A dapat dibalik. b) A x = 0 hanya memiliki solusi trivial. c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A dan I n . d) A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali dari matriks-matriks elementer. e) A x = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1. f)
A x = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n x 1.
g) det( A ) ≠ 0. h) Range dari T A adalah R n . i)
T A adalah satu ke satu.
j) Vektor-vektor kolom dari A adalah bebas linier.
10
k) Vektor-vektor bares dari A adalah bebas linier. l) Vektor-vektor kolom dari A adalah merentang R n . m) Vektor-vektor baris dari A adalah merentang R n . n) Vektor-vektor kolom dari A adalah membentuk basis untuk R n . o) Vektor-vektor baris dari A adalah membentuk basis untuk R n . p) A memiliki rank n. q) A memiliki nulitas 0. Bukti: Kita telah mengetahui bahwa pernyataan (a) hingga (i) adalah ekuivalen. Untuk melengkapi bukti, kami akan menunjukkan bahwa (j) hingga (q) ekuivalen (b) dengan membuktikan urutan sebab akibat (b) ⟶ (j) ⟶ (k) ⟶ (l) ⟶ (m) ⟶ (n) ⟶ (o) ⟶ (p) ⟶ (b). (b) ⟶ (j) jika 𝐴𝑥 = 0 hanya memiliki solusi trivial, maka sesuai Teorema 31, vektor – vektor kolom A adalah bebas linier. (j) ⟶ (k) ⟶ (l) ⟶ (m) ⟶ (n) ⟶ (o) hal ini sesuai Teorema 15 fakta bahwa 𝑅𝑛 , maka ruang baris dari A adalah berdimensi n. (detil – detilnya telah ditiadakan) (o) ⟶ (p) jika n vektor – vektor baris dari A membentuk suatu basis untuk 𝑅𝑛 , maka ruang baris dari A adalah berdimensi n dan A memiliki rank n. (p) ⟶ (q) ini sesuai dengan Teorema Dimensi. (q) ⟶ (b) jika A memiliki nulitas 0, maka ruang solusi dari 𝐴𝑥 = 0 memiliki dimensi 0, yang berarti hanya memiliki vektor nol. Oleh karena itu, 𝐴𝑥 = 0 hanya memiliki solusi trivial.
11
