Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016
VEKTOR
A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan, percepatan, dan lain lain. Besaran ini selain dipengaruhi nilainya juga akan dipengaruhi oleh arahnya. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah yang mempunyai titik tangkap (titik pangkal) sebagai tempat permulaan vektor itu bekerja. Panjang garis menunjukkan nilai vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor itu bekerja. Garis yang melalui vektor tersebut dinamakan garis kerja. Penulisan sebuah simbol besaran vektor dengan menggunakan huruf tegak dicetak tebal, misalnya vektor AB ditulis AB. Selain itu, dapat pula dinyatakan dengan huruf miring dengan tanda panah di atasnya, misalnya vektor AB ditulis AB. Besar (nilai) sebuah vektor dinyatakan dengan huruf miring AB. Selain itu dapat pula dituliskan dalam garis mutlak, yaitu dua garis tegak sejajar, pada kedua sisi notasi vektor, misalnya besar vektor AB = AB = |AB|. B. Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua buah vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponenkomponennya adalah jumlah darikedua komponen-komponen vektor pembentuknya. Dengan kata lain untuk “menjumlahkan dua buah vektor”adalah “mencari resultan”. Untuk vektorvektor segaris, misalnya vektor A dan B dalam posisi segaris dengan arah yang sama seperti tampak pada Gambar 1. (a), maka resultan (jumlah) vektor dituliskan: R=A+B Pada kasus penjumlahan vektor yang lain, seperti yang ditunjukkan Gambar 1. (b) terdapat dua vektor yang tidak segaris yang mempunyai titik pangkal sama tetapi dengan arah yang berbeda, sehingga membentuk sudut tertentu.
Gambar 1 : (a) Lukisan jumlah vektor segaris (b) lukisan jumlah vektor tidak segaris yang membentuk sudut Untuk vektor-vektor yang membentuk sudut α, maka jumlah vektor dapat dilukiskan dengan menggunakan metode tertentu. Cara ini disebut dengan metode jajaran genjang. Cara melukiskan jumlah dua buah vektor dengan metode jajaran genjang sebagai berikut: a. Titik tangkap A dan B dibuat berimpit dengan memindahkan titik tangkap A ke titik tangkap B, atau sebaliknya; b. Buat jajaran genjang dengan A dan B sebagai sisi-sisinya; c. Tarik diagonal dari titik tangkap sekutu, maka A + B = R adalah diagonal jajaran genjang. Gambar 2 menunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B. Dengan menggunakan persamaan tertentu, dapat diketahui besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.
Gambar 2 : Metode jajar genjang untuk jumlah vektor A + B Persamaan tersebut diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada segitiga OPR, sehingga dihasilkan: (OR)2 = (OP)2 + (PR)2 – 2 (OP)(PR) cos (180o - α ) = (OP)2 + (PR)2 – 2 (OP)(PR)(–cos α ) (OR)2 = (OP)2 + (PR)2 + 2 (OP)(PR)cos α Diketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga: R2 = A2+B2+2ABcos α atau R= R adalah diagonal panjang jajaran genjang, jika α lancip. Sementara itu, α adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh A dan B. Sebuah vektor mempunyai besar dan arah. Jadi setelah mengetahui besarnya, kita perlu menentukan arah dan resultan vektor tersebut. Arah R dapat ditentukan oleh sudut antara R dan A atau R dan B. Misalnya sudut θ merupakan sudut yang dibentuk R dan A, maka dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga OPR akan diperoleh: θ
α
θ sin θ
=
Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut θ dapat diketahui. Metode segitiga merupakan cara lain untuk menjumlahkan dua vektor, selain metode jajaran genjang. Dua buah vektor A dan B, yang pergerakannya ditunjukkan Gambar 3.(a), akan mempunyai resultan yang persamaannya dituliskan: R=A+B Resultan dua vektor akan diperoleh dengan menempatkan pangkal vektor yang kedua pada ujung vektor pertama. Resultan vektor tersebut diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua. Pada Gambar 3.(b), pergerakan dimulai dengan vektor B dilanjutkan dengan A, sehingga diperoleh persamaan: R=B+A Jadi, A+B=B+A
Gambar 3 : Metode segitiga untuk penjumlahan vektor Hasil yang diperoleh ternyata tidak berubah. Jadi, dapat disimpulkan bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif. Tahapan-tahapan penjumlahan vektor dengan metode segitiga adalah sebagai berikut: a. Pindahkan titik tangkap salah satu vektor ke ujung berikutnya, b. Hubungkan titik tangkap vektor pertama ke ujung vektor kedua yang menunjukkan resultan kedua vektor tersebut, c. Besar dan arah R dicari dengan aturan cosinus dan sinus. Jika penjumlahan lebih dari dua buah vektor, maka dijumlahkan dulu dua buah vektor, resultannya dijumlahkan dengan vektor ke-3 dan seterusnya. Misalnya, penjumlahan
tiga buah vektor A, B, dan C yang ditunjukkan pada Gambar 4. Pertama-tama kita jumlahkan vektor A dan B yang akan menghasilkan vektor V. Selanjutnya, vektor V tersebut dijumlahkan dengan vektor C sehingga dihasilkan resultan R, yang dituliskan: R = (A + B) + C = V + C Cara lain yaitu dengan menjumlahkan vektor B dan C untuk menghasilkan W, yang kemudian dijumlahkan dengan vektor A, sehingga diperoleh resultan R, yaitu: R = A + (B + C) = A + W
Gambar 4 : Cara penjumlahan lebih dari dua vektor Jika banyak vektor, maka penjumlahan vektor dilakukan dengan menggunakan metode poligon (segi banyak).
Gambar 5: Metode poligon untuk penjumlahan vektor
C. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, tetapi dalam hal ini salah satu vektor mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya, vektor A dan B, jika dikurangkan maka: A – B = A + (-B) Di mana, -B adalah vektor yang sama dengan B, tetapi berlawanan arah.
Gambar 6 : Selisih vektor A – B D. Metode Analisis vektor Untuk keperluan penghitungan tertentu, kadang kadang sebuah vektor yang terletak dalam bidang koordinat sumbu x dan sumbu y harus diuraikan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus (sumbu x dan sumbu y). Komponen ini merupakan nilai efektif dalam suatu arah yang diberikan. Cara menguraikan vektor seperti ini disebut analisis. Misalnya, vektor A membentuk sudut α terhadap sumbu x positif, maka komponen vektornya adalah: Ax = A cos α Ay = A sin α Besar (nilai) vektor A dapat diketahui dari persamaan:
Sementara itu, arah vektor ditentukan dengan persamaan:
E. Vektor Posisi Vektor posisi adalah sebuah vektor yang pangkalnya terletak di pusat koordinat, sedangkan ujungnya terletak di suatu titik pada bidang koordinat. Vektor posisi dapat diuraikan dalam bentuk komponen sumbu horizontal (komponen –x) dan komponen sumbu vertikal (komponen –y), perhatikan gambar 8 berikut :
Gambar 8 : Vektor Posisi dalam sistem koordinat
Vektor posisi dalam sistem koordinat dapat diuraikan menjadi komponen horizontal (komponen –x) dan komponen vertikalnya (komponen –y). Komponen -x suatu vektor adalah proyeksi vektor itu pada sumbu –x, sedangkan komponen –y vektor itu adalah proyeksinya terhadap sumbu –y Vektor posisi dapat dinyatakan dengan penjumlahan antara komponen horizontalnya dan komponen vertikalnya. Berdasarkan gambar 8 berlaku P = Px + Py dan F = Fx +Fy. Perhatikan bahwa penjumlahan vektor ini menggunakan metode jajargenjang. Panjang vektor posisi dapat ditentukan berdasarkan panjang komponen horizontal dan komponen vertikalnya menggunakan rumus Pythagoras. Panjang vektor posisi P dan F di atas berturut-turut dapat dinyatakan dengan: ǀPǀ =
atau
ǀFǀ =
atau
dan
Jika panjang vektor posisi dan sudut antara vektor itu dan sumbu –x diketahui, panjang komponen-komponennya dapat dihitung menggunakan hubungan trigonometri dengan fungsi sinus dan cosinus.
F. Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan dengan arah tertentu. Dalam sistem koordinat kartesius 2 dimensi (koordinat bidang) dikenal dua vektor satuan, yaitu vektor satuan searah sumbu –x dan vektor satuan searah sumbu –y. Vektor satuan searah sumbu –x disimbolkan dengan i sedangkan vektor satuan searah sumbu –y disimbolkan dengan j. Secara umum, suatu vektor posisi P dapat dinyatakan sebagai kombinasi vektor satuan dan komponen-komponennya dalam bentuk: P = Pxi + Pyj Dengan P adalah komponen vektor P yang searah sumbu –x dan dalam Px adalah panjang komponen vektor P yang searah sumbu –y. Perhatikan gambar 9 berikut ini :
Gambar 9 : Komponen vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan
Perhatikan gambar 9. Dalam bentuk vektor satuan, komponen-komponen vektor F dapat dinyatakan dengan Fx = Fxi = 2 i dan Fy = Fyj = 3 j Dengan demikian vektor F dapat dinyatakan sebagai F = Fx + Fy = Fxi + Fyj = 2i + 3 j Jika diketahui ujung vektor posisi terletak di titik (x,y) maka vektor posisi tersebut dapat dinyatakan sebagai xi + yj
G. Perpindahan Vektor Perpindahan merupakan pergeseran suatu benda dari suatu titik (tempat) ke titik lain. Pergeseran merupakan besaran vektor karena memiliki nilai dan arah. Perhatikan ilustrasi berikut: suatu benda mula-mula berada pada posisi P(xp,yp) bergeser melalui lintasan berikut ke posisi Q(xq,yq). Perhatikan gambar berikut ini:
Gambar 7: perpindahan vektor Dari gambar, walau lintasannya berliku, perpindahan benda adalah dari titik P ke Q yang di tandai oleh anak panah biru. Untuk mencari besar dan arah perpindahan r pertama yang harus di lakukan adalah menuliskan vektor posisi p dan q dalam vektor satuan sebagai berikut: Vektor posisi p adalah : P = xpi +ypj Dan vektor posisi q adalah: Q = xqi + yqj Dari kedua vektor posisi ini dapat di cari vektor perpindahan r menggunakan kaidah penjumlahan vektor sebagai berikut. Berdasarkan gambar di atas p + r = q dengan demikian vektor perpindahan menjadi:
r = q –p r = (xqi + yqj) – (xpi + ypj) r = (xq – xp)i + (yq – yp)j nilai vektor perpindahan menjadi:
Arah vektor perpindahan r ditunjukkan oleh sudut θ yang di bentuk oleh vektor perpindahan r dengan garis horizontal seperti pada gambar 7 nilai θ dapat dicari dengan persamaan trigonometri yaitu:
H. Kecepatan Vektor Bila suatu partikel mengalami perubahan kedudukan dalam suatu selang waktu tertentu maka besar perubahan kedudukan dalam selang waktu tersebut disebut kecepatan. Vektor kecepatan juga dapat diuraikan pada sumbu x dan sumbu y a. Menentukan kecepatan rata-rata Kecepatan rata-rata dapat dinyatakan sebagai hasil bagi perpindahan terhadap selang waktu dari perpindahan itu. Dapat dirumuskan dengan:
b. Menentukan kecepatan sesaat Kecepatan sesaat dapat dinyatakan sebagai kecepatan dapat dinyatakan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu ∆t yang mendekati nol, atau mudahnya adalah turunan pertama dari vektor posisi pada saat waktu tertentu. Kecepatan sesaat dinyatakan dalam persamaan limit dirumuskan:
I. Percepatan Vektor Percepatan vektor merupakan hasil bagi kecepatan vektor pada selang waktu tertentu. Vektor percepatan juga dapat diuraikan pada sumbu x dan sumbu y. a. Menentukan percepatan rata-rata Percepatan rata-rata dapat dinyatakan sebagai hasil bagi perubahan kecepatan terhadap selang waktu dari. Dirumuskan dengan:
a
b. Menentukan percepatan sesaat Percepatan sesaat di definisikan sebagai kecepatan rata-rata untuk selang waktu ∆t yang mendekati nol, mudahnya percepatan sesaat adalah turunan dari vektor posisi. Percepatan sessat dinyatakan dalam persamaan limit yang di rumuskan:
J. Gaya sebagai Vektor Gaya merupakan besaran vektor karena gaya memiliki nilai dan arah. Gaya adalah sesuatu yang berupa tarikan atau dorongan sehingga mengakibatkan perubahan posisi atau bentuk benda. Nilai suatu gaya dapat diukur dengan alat ukur berupa dinamometer atau neraca pegas dan dapat dihitung dengan dari hasil yang diakibatkan oleh gaya tersebut. Gaya dapat digambarkan dengan diagram vektor berupa anak panah sebagai berikut p
q
besaran gaya selain ditentukan oleh besar kecilnya kuantitas juga arah gaya. Dimana anak panah menunjukkan arah gaya dan panjang anak panah menunjukkan besar gaya. Dalam fisika, gaya adalah aksi atau agen yang menyebabkan benda bermassa bergerak dipercepat. Hal ini mungkin dialami sebagai angkatan, dorongan atau tarikan. Percepatan benda sebanding dengan penjumlahan vektor seluruh gaya yang beraksi padanya (dikenal sebagai gaya netto atau gaya resultan). Satuan SI yang digunakan untuk mengukur gaya adalah newton (simbol N), yang mana adalah ekivalen dengan kg.m/s2. Satuan CGS lebih awal adalah dyne. Persamaan yang digunakan untuk gaya yaitu F = m. A Dimana: m adalah massa dan A adalah percepatan Gaya, demikian pula percepatan adalah besaran vektor, sehingga jika beberapa buah gaya bekerja pada benda itu merupakan jumlah vektor dari gaya-gaya tersebut yang biasa disebut dengan resultan gaya (R atau FR). Bila gaya-gaya bekerja pada benda maka akan mempunyai arah yang sama (berarti masing-masing gaya saling membentuk sudut θ) maka resultan gaya dapat ditentukan dengan menjumlahkan gaya-gaya tersebut secara aljabar. Persamaan resultan yang dimaksud dapat dituliskan R = F1 + F2. Bila gaya-gaya bekerja pada benda berlawanan arah (berarti masing-masing gaya saling membentuk sudut 180o) maka resultan gaya dapat ditentukan dengan mengurangkan gaya-gaya tersebut secara aljabar. Persamaan resultan yang dimaksud dapat dituliskan R = F1 – F2.
Daftar Pustaka Handayani, Sri dan Damari, Ari. 2009. BSE Fisika 1 Untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional Raharjo, Bagus dkk. 2013 Panduan belajar Fisika 1 A untuk SMA kelas X. Jakarta: Yudhistira Sumarsono, Joko. 2009. BSE Fisika Untuk SMA/MA Kelas X. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional https://anam46.wordpress.com/artikel/fisika/fisika-1 diakses 17 oktober 2016 pukul 10.00 Wita http://nsurata-belajarfisika.blogspot.com/2014/07/informasi-tujuan-pembelajaran-materivektor diakses 17 oktober 2016 pukul 11.30 Wita http://www.instafisika.com/2015/03/kelasx-materi-gerak-2-dimensi-vektor-perpindahankecepatan-percepatan diakses 17 oktober 2016 pukul 01.00 Wita
