18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah AB = b – a
2. Sudut antara dua vektor adalah
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a 2 = a1i + a2j + a3k; a 3
|a| =
a12 a 22 a 32
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real: a 1 b 1 a 1 b1 a b = a 2 b2 = a 2 b2 ; a b a b 3 3 3 3
a 1 ka1 ka = k a 2 = ka 2 a ka 3 3
C. Dot Product a1 b1 Apabila diketahui a = a 2 dan b = b 2 , maka: a b 3 3
1. a · b = |a| |b| cos = a1b1 + a2b2 + a3b3 2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0 D. Proyeksi Vektor 1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a |p| =
ab |a|
2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a p=
ab
| a |2
a
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
SOAL 1. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, – 4). Besar sudut ABC = … a. b. 2
PENYELESAIAN
c. 3 d. 6 e. 0 Jawab : b 2. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Jawab : b 3. UN 2010 PAKET A Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c 4. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0 b. 30 c. 45 d. 60 e. 90 Jawab : e
204 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
SOAL 5. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k b. i – 3j + 2k c. i – 4j + 4k d. 2i – j + k e. 6i – 8j + 6k Jawab : b 6. UN 2011 PAKET 46 Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k b. –4i + 4j – 8k c. –2i + 2j – 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j – 2k Jawab : e 7. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1),
PENYELESAIAN
dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i – 65 j + 12 k 5
b. 3 5 i – 6 j + 12 k 5
5
c. 95 (5i – 2j + 4k) d. 27 (5i – 2j + 4k) 45 9 (5i – 2j + 4k) e. 55
Jawab : d 8. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. 14 (3i + j – 2k) 3 (3i + j – 2k) b. 14
c. 17 (3i + j – 2k) 3 (3i + j – 2k) d. 14 e. 73 (3i + j – 2k)
Jawab : c
205 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
SOAL 9. UN 2009 PAKET A/B Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan
PENYELESAIAN
C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. 13 i + 23 j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a 10. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e
11. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6 Jawab : a
12. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c
206 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
SOAL 13. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k
PENYELESAIAN
Jawab : c
14. UN 2006 Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vector a–c=… a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k Jawab : b
15. UN 2005 Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah … 10 a. b.
13
c.
15
d. 3 2 e. 9 2 Jawab : d
207 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
SOAL 16. UN 2004 Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 56 b. c. d. e.
PENYELESAIAN
3 2 13 2 43 6 53 6
Jawab : c
17. UN 2004 Diketahui a = I + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = I – 2j + 3k, maka 2a + b – c = … a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k Jawab : e 18. UAN 2003
2 Diberikan vektor a = p dengan p 2 2 1 Real dan vektor b = 1 . Jika a dan b 2 membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … a. 12 7 4 b. c. d. e.
5 2 5 4 5 14 2 7
7 7 7 7
Jawab : d
208 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
SOAL 19. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari 2 1 vektor v = 3 terhadap vektor u = 2 , 4 1 maka w = … 1 2 a. 1 d. 4 3 2 0 b. 1 2
2 e. 4 2
0 c. 1 2
Jawab : d
PENYELESAIAN
20. EBTANAS 2002 Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14 . Hasil dari a · b = … a. 4 b. 2 c. 1 d. 12 e. 0 Jawab : c 21. EBTANAS 2002 Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 Jawab : b 22. EBTANAS 2002 Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … a. – 43 (2 1 1) b. –(2 1 1) c. d.
4 (2 1 1) 3 ( 43 1 1)
e. (2 1 1) Jawab : c
209 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 13 UN 2011 Menentukan sudut antara dua vektor. 1. Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … a. 30º c. 60º e. 120º b. 45º d. 90º 2. Diketahui vektor a 6 i 3 j 3 k , b 2 i j 3 k dan c 5 i 2 j 3 k . Besar sudut antara vektor a dan b c adalah .... a. 300 c. 600 e. 1500 0 0 b. 45 d. 90 3. Diketahui vektor a i 2 j 2 k dan b i j . Besar sudut antara vektor a dan b adalah .... a. 300 c. 600 e. 1350 0 0 b. 45 d. 120 4. Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0 c. 45 e. 90 b. 30 d. 60 a 2 , 5. Diketahui b 9 , a b 5 . Besar sudut antara vektor
a
dan vektor b adalah …. a. 450 c. 1200 e. 1500 0 0 b. 60 d. 135 6. Diketahui a 6 , ( a – b ).( a + b ) =0, dan
a . ( a – b ) = 3. Besar sudut antara vektor a dan b adalah ….
2 a. c. e. 3 6 3 b. d. 4 2 7. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = … a. c. e. 0
b. 2
3 d. 6
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30 c. 60 e. 120 b. 45 d. 90 9. Diketahui a = 3i – 2j + k dan b =2i – j + 4k. Jika a dan b membentuk sudut , maka nilai sin = .... a. 5 c. 5 6 e. 6 6 12 7 7 b.
2 7
6
d.
6 7
10. Diketahui a = i + 2j – 3k dan b = 2i + 2j – k, jika a dan b membentuk sudut , maka tan = ... . a.
1 3
b.
3 14
5 14
5
c. d.
14 1 5
e.
1 14
5
14
11. Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k b. –58i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k 2 12. Diberikan vektor a = p dengan p 2 2 1 Real dan vektor b = 1 . Jika a dan b 2
membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … a. 12 c. 54 7 e. 72 7 7 4 b. 52 7
5 7 d. 14
13. Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 c. –4 atau 3 e. 2 atau 6 b. –3 atau 4 d. –6 atau 2
210 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH UN Prog. IPA Edisi 2011
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 14 UN 2011 Menentukan panjang proyeksi atau vektor proyeksi. 1. Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari 7. Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). 2 1 vektor v = 3 terhadap vektor u = 2 , 4 1
Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k d. –9i – 18j – 27k b. i + 2j + 3k e. 3i + 6j + 9k 1 2 c. 3 i + 3 j + k
maka w = …
2.
2 e. 4 2
1 a. 1 3
0 c. 1 2
0 b. 1 2
2 d. 4 2
Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … a. – 4 (2 1 1) c. 4 (2 1 1) e. (2 1 1) 3
3 d. ( 4 1 1) 3
b. –(2 1 1) 3.
Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k d. 2i – j + k b. i – 3j + 2k e. 6i – 8j + 6k c. i – 4j + 4k 4. Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k d. –i + 2j + 3k b. –4i + 4j – 8k e. –i + j – 2k c. –2i + 2j – 4k 5. Diketahui vektor a i 2 j k dan vektor
b i j k . Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah … 1 2 a. 1 3 1 1 2 b. 1 3 1
6.
1 1 c. 1 3 1 1 1 d. 1 3 1
1 3 e. 1 2 1
Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i – 65 j + b. 3 5 i – c.
9 5
12 5 6 5
k
j + 12 k 5
d.
27 45
(5i – 2j + 4k)
e.
9 55
(5i – 2j + 4k)
8.
Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k d. –6i – 4j + 16k b. –6i + 4j – 16k e. 12i – 12j + 6k c. –4i + 4j – 2k 9. Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k d. i – 2j – k b. 2i – 4j – 2k e. i + 2j – k c. 2i + 4j – 2k 10. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. 14 (3i + j – 2k)
3 (3i + j – 2k) d. 14
3 (3i + j – 2k) b. 14
e. 73 (3i + j – 2k)
c. 17 (3i + j – 2k) 11. Panjang proyeksi vektor a 2i 8 j 4k pada vektor b pj 4k adalah 8. Maka nilai p adalah .... a. – 4 c. 3 e. 6 b. – 3 d. 4 12. Jika vektor a = –3i – j + xk dan vector b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 c. 5 e. 7 b. –6 d. 6 13. Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 5 c. 13 e. 53 6 b. 32
2 43 d. 6
6
(5i – 2j + 4k)
211 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
