19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah AB = b – a
2. Sudut antara dua vektor adalah θ
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a 2 = a1i + a2j + a3k; a 3 |a| =
a 12 + a 22 + a 32
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real: a 1 b1 a 1 ± b1 a ± b = a 2 ± b2 = a 2 ± b2 ; a b a ± b 3 3 3 3
a 1 ka 1 ka = k a 2 = ka 2 a ka 3 3
C. Dot Product a1 b1 Apabila diketahui a = a 2 dan b = b 2 , maka: a b 3 3
1. a · b = |a| |b| cos θ = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos θ 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos θ 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
D. Proyeksi Vektor 1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a |p| =
a ⋅b |a|
2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a
p=
a ⋅b
| a |2
⋅a
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL 1. UN 2010 PAKET A Diberikan vektor-vektor a = 4i – 2j + 2k dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … a. 30º b. 45º c. 60º d. 90º e. 120º Jawab : c
PENYELESAIAN
2. UN 2010 PAKET A Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika AB wakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i – 65 j + 12 k 5
b. 3 5 i – c. d. e.
6 5
j + 12 k
5 9 (5i – 2j + 4k) 5 27 (5i – 2j + 4k) 45 9 (5i – 2j + 4k) 55
Jawab : d 3. UN 2010 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. 14 (3i + j – 2k) 3 (3i + j – 2k) b. 14
c. − 17 (3i + j – 2k) 3 (3i + j – 2k) d. − 14 e. − 73 (3i + j – 2k)
Jawab : c
167 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL 4. UN 2009 PAKET A/B Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika
PENYELESAIAN
AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah … a. 0° b. 30° c. 45° d. 60° e. 90° Jawab : e
5. UN 2009 PAKET A/B Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah … a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. 13 i + 23 j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k Jawab : a
6. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = … a. –7 b. –6 c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e
168 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL 7. UN 2008 PAKET A/B Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah … a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6
PENYELESAIAN
Jawab : a 8. UN 2007 PAKET A Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada AC adalah … a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k Jawab : c
9. UN 2007 PAKET B Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap AC adalah … a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k Jawab : c
169 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL
PENYELESAIAN
10. UN 2006 Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k, b = –4i + 8j + 10k dan c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = … a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k Jawab : b 11. UN 2005 Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah … 10 a. b.
13
c.
15
d. 3 2 e. 9 2 Jawab : d
12. UN 2004 Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi q pada p adalah 2, maka x adalah … a. 56 b. c. d. e.
3 2 13 2 43 6 53 6
Jawab : c
170 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL
PENYELESAIAN
13. UN 2004 Diketahui a = i + 2j + 3k, b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = … a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k Jawab : e
14. UAN 2003
− 2 Diberikan vektor a = p dengan p ∈ Real 2 2 1 dan vektor b = 1 . Jika a dan b 2 membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b adalah … 7 a. 12 4 b. c. d. e.
5 2 5 4 5 14 2 7
7 7 7 7
Jawab : d
171 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL
PENYELESAIAN
15. UAN 2003 Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal dari − 1 2 vektor v = − 3 terhadap vektor u = 2 , − 1 4 maka w = … 1 a. − 1 3 b.
0 −1 − 2
c.
0 1 2
d.
e.
2 − 4 2 − 2 4 − 2
Jawab : d 16. EBTANAS 2002 Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14 . Hasil dari a · b = … a. 4 b. 2 c. 1 d. 12 e. 0 Jawab : c
172 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
LATIH – UN IPA. 2002 – 2010 http://www.soalmatematik.com SOAL
PENYELESAIAN
17. EBTANAS 2002 Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5 b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 Jawab : b 18. EBTANAS 2002 Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah … a. – 43 (2 1 1) b. –(2 1 1) c. d.
4 (2 1 1) 3 ( 43 1 1)
e. (2 1 1) Jawab : c
173 Kemampuan mengerjakan soal akan terus meningkat jika terus berlatih mengerjakan ulang soal yang lalu
