Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Bab 1 Vektor

A. Pendahuluan

Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang vektor, mecakup gradien skalar, divergensi dan rotasi vektor, integral garis, integral permukaan, teorema Stokes, teorema divergensi Gauss, dan penyajiannya dalam beragam sistem koordinat. Oleh karena itu, sebelum membahas tentang masalah kelistrikan dan kemagnetan dalam mata kuliah ini, pokok bahasan tentang vector ini perlu diberikan terlebih dahulu. Meskipun materi yang ada dalam pokok bahasan ini cukup banyak materi ini diharapkan dapat diselesaikan dalam waktu yang relatif cukup singkat. Hal ini demikian karena mata kuliah-mata kuliah yang menjadi prasyarat mata kuliah ini semestinya sudah menyediakan pengetahuan yang cukup, khususnya tentang vektor, untuk dapat mengikuti mata kuliah ini dengan baik; jadi ini hanya sebagai semacam review. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat mengkalkulasi gradien skalar, divergensi dan rotasi suatu vektor, integral garis dan integral permukaan, serta menggunakan teorema divergensi dan teorema Stokes, dapat menyatakan hubunganhubungan antara sistem-sistem koordinat Cartesian, Silinder dan Bola, dapat menyatakan suatu vektor, vektor letak, elemen volume, gradien skalar, divergensi dan rotasi vektor, serta Laplacian dalam ketiga sistem koordinat tersebut.

B. Penyajian

1.1 Definisi Vektor, Vektor Satuan, dan Komponen Vektor Definisi Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (magnitude) dan arah (direction). Di sini, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf atau karakter dengan tanda panah di atasnya, seperti ⃗, yang besar atau nilainya ditulis sebagai | ⃗| = A. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak panah (Gambar 1.1). Contoh besaran vektor: medan listrik ⃗⃗ , medan magnet ⃗⃗, gaya ⃗ , dll. Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, seperti massa benda m.

Universits Gadjah Mada

1

Gambar 1.1 Sebuah vektor ⃗ digambar sebagai sebuah anak panah.

Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki nilai dan arah yang sama. Vektor negatif

⃗ (atau negatif vektor ⃗) adalah vektor yang sama besar tetapi berlawanan

arah dengan vektor ⃗. Vektor-vektor patuh pada aturan penjumlahan seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.2, yang menunjukkan bahwa ⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗

(1-1)

Pengurangan vektor dengan vektor lainnya tidak lain adalah penjumlahan vektor dengan negative vektor lain tadi (Gambar 4), yaitu ⃗

⃗⃗

⃗

( ⃗⃗)

(1-2)

Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu (tanpa satuan); sebagai contoh ditulis sebagai ̂ (besarnya | ̂ | =1), yaitu vektor satuan dalam arah vektor ⃗ (Gambar 1.4). Dengan demikian:


2

Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Cartesian (SKC) di sini adalah ̂, ̂, dan ̂ berturut-turut dalam arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z positif.

Komponen Vektor Jika vektor ⃗ digambar dalam SKC (Gambar 1.5), maka ia dapat ditulis sebagai

atau

Di sini ⃗ sedangkan

̂ ,⃗ ,

, dan

̂, dan ⃗

̂ adalah vektor-vektor komponen dari vektor ⃗;

disebut komponen-komponen vektor ⃗.

Besar (nilai) vektor ⃗ dinyatakan dengan komponen-komponennya:


3

Sudut Arah Vektor Sebuah vektor ⃗ dalam SKC membetuk sudut-sudut α, β, dan  berturut-turut terhadap sumbu-sumbu x, y dan z (Gambar 1.6.a). Sudut-sudut α, β, dan  ini disebut sudut arah vektor ⃗. Gambar 1.6.b memperlihatkan bidang yang dibentuk oleh vektor ⃗ dengan sumbu x, sudut arah α, serta komponen Ax (gambar serupa untuk bidang-bidang yang dibentuk oleh vektor ⃗ dengan sumbu x dan sumbu y). Dari Gambar 1 .6.b diperoleh cosinus-cosinus arah vektor ⃗:

sehingga berlaku hubungan:

Dapat ditulis bahwa:


4

Komponen-komponen vektor satuan merupakan cosinus-cosinus arah vektor.

Penjumlahan Vektor dalam SKC Ditinjau jumlahan vektor ⃗

⃗⃗

⃗ dalam bidang xy (2 dimensi), seperti ditunjukkan oleh

Gambar 1.7. Vektor hasil jumlahan:

Dengan

Untuk penjumlahan dalam 3 dimensi:

dengan


5

1.2 Vektor Letak Vektor letak ( sering ditulis sebagai ⃗) menunjukkan letak suatu titik di dalam ruang (sistem koordinat), berpangkal di titik asal O dan berujung di titik yang ditinjau. Anggap bahwa di dalam sistem koordinat Cartesian (lihat Gambar 1.8): - letak titik P(x, y, z)

:⃗

- letak titik P(x, y, z)

:⃗

̂

̂ ̂

̂ ̂

̂

Vektor letak P relative terhadap P (Gambar 1.8):

atau

Jarak antara P dan P adalah

Vektor letak P relative terhadap P adalah

Jadi diperoleh bahwa


6

1.3 Perkalian dengan Vektor Perkalian Skalar dengan Vektor Perkalian skalar s dengan vektor ⃗, ditulis sebagai s ⃗ atau ⃗s, merupakan jumlahan s buah vektor ⃗, yaitu sebuah vektor yang besarnya | | kali | ⃗|, arahnya sama dengan arah ⃗ jika s positif, berlawanan arah dengan arah ⃗ jika s negatif.

Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik atau dot product disebut juga sebagai perkalian skalar atau scalar product, yaitu perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah skalar. Perkalian titik antara vektor-vektor ⃗ dan ⃗⃗ didefinisikan sebagai

dengan

adalah sudut kecil yang dibentuk oleh kedua vektor ⃗ dan ⃗⃗ (lihat Gambar 1.9).

Berlaku bahwa ⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗

Jika ⃗ dan ⃗⃗ saling tegak lurus (ortogonal), maka ⃗ ⃗⃗ Perkalian titik suatu vektor dengan dirinya sendiri : ⃗ ⃗

⃗

Perkalian titik antara vektor-vektor satuan dalam SKC:

sehingga


7

Jika ̂ adalah vektor satuan dalam suatu arah, dan Ae adalah komponen vektor ⃗ dalam arah tersebut, maka berlaku bahwa (lihat Gambar 1.10)

Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang atau cross product disebut juga perkalian vektor atau vector product, yaitu perkalian dua vektor yang menghasilkan vektor baru. Perkalian silang antara vektor-vektor ⃗ dan ⃗⃗ didefinisikan sebagai

dengan

dengan

adalah sudut kecil yang dibentuk oleh kedua vektor ⃗ dan ⃗⃗ (lihat Gambar 1.11)

dan vektor ⃗ memiliki arah yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor ⃗ dan ⃗⃗ sesuai dengan “aturan tangan kanan”; Nilai AB sin

ini sama dengan luas

jajaran genjang dengan sisi-sisi vektor ⃗ dan ⃗⃗.


8

Berlaku bahwa

Jika ⃗ searah dengan ⃗⃗,maka ⃗ Jadi ⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗.

⃗⃗

Perkalian silang antara vektor-vektor satuan dalam SKC:

Sehingga

Yang dapat diungkapkan dalam bentuk determinan sebagai

Berlaku pula :

1.4 Diferensiasi Vektor terhadap Skalar Suatu vektor ⃗ sebagai fungsi kontinyu dari variabel skalar s dapat ditulis sebagai


9

Diferensial (turunan) ⃗ terhadap s:

Sebagai contoh: - vektor letak sebagai fungsi waktu : ⃗( ) - kecepatan : ⃗( )

⃗( )

( )

̂

( )

( )̂ ̂

( )

( )̂

( ) ̂

̂

Dapat ditulis bahwa:

1.5 GradienSkalar Ditinjau besaran skalar u sebagai fungsi letak: u = u(x, y, z); Besaran skalar ini disebut medan skalar contoh: suhu ruangan. Anggap bahwa (Gambar 1.12): -

Di titik P(x, y, z), nilai skalar u adalah u(x, y, z);

-

Di titik lain P(x,y,z), dengan x = x + dx, y = y + dy, z = z + dz, nilai skalar u adalah u(x,y,z) = u(x ,y ,z) + du

Jadi, dari titik P ke titik P ada pergeseran ⃗⃗⃗⃗⃗ yang menyebabkan perubahan scalar dari u menjadi u = u + du. Kenyataannya du dapat diungkapkan sebagai

Dengan diferensial parsial dievaluasi di titik P. Di lain pihak


10

Dengan demikian dapat ditulis bahwa

Dengan

Persamaan (1-34), yaitu ungkapan

, disebut gradien skalar u, atau singkatnya gradien u

(grad u), yang definisi umumnya diberikan oleh persamaan (1-33); ia memiliki sifat sebagai vektor. Jadi, gradien skalar merupakan besaran yang akan memberikan perubahan skalar jika di”dot”-kan dengan pergeseran. Ditinjau suatu permukaan dengan nilai u tetap. Pergeseran ⃗⃗⃗⃗⃗ sepanjang permukaan ini tidak mengubah nilai skalar u (du = 0) (lihat Gambar 1.13). Dengan demikian Jadi,

⃗⃗⃗⃗⃗

. berarti ⃗⃗⃗⃗⃗ tegak lurus terhadap

.

tegak lurus terhadap permukaan yang memiliki u tetap.


11

Sekarang dianggap pergeseran ⃗⃗⃗⃗⃗ membentuk sudut |

Gambar 1.14, maka yaitu jika ⃗⃗⃗⃗⃗ searah dengan

|

terhadap

seperti ditunjukkan oleh

. Dengan demikian, du akan maksimum jika

= 0,

yang tegak lurus terhadap permukaan dengan u tetap.

Jadi, arah gradien skalar menunjukkan arah ke mana laju perubahan skalar bernilai maksimum. Ditinjau sebagai contoh u = y2 – x. Dapat ditulis bahwa y2 = x + u, yaitu parabola-parabola dengan u tetap. Untuk

:

Untuk

:

Untuk

:

Ketiga parabola ini ditunjukkan oleh Gambar 1.15.

Vektor satuan ̂ yang tegak lurus suatu permukaan di suatu titik disebut vektor normal. Mengingat bahwa

juga tegak lurus permukaan dengan u tetap, maka ̂ searah dengan

, dan kita dapat menuliskan bahwa

Vektor normal permukaan parabola dengan u = -2 adalah

Dan di titik (3,1) adalah


12

Jadi, terlihat pada Gambar 1.15, bahwa arah

(searah dengan ̂) menuju ke skalar u yang

lebih besar (lebih positif). 1.6 Divergensi dan Rotasi Vektor Komponen-komponen vektor ⃗ dapat bergantung pada letak, misalnya Ax = Ax(x, y, z). Jadi, ⃗ dapat berbeda arah dan/atau besarnya di tempat-tempat yang berbeda. Ditulis :

dengan ⃗ adalah vektor letak. Vektor ⃗ ini disebut medan vektor. Dari persamaan (1-34) diperoleh operator nabla atau operator del:

yang memiliki sifat vektor. Yang dinamakan sebagai divergensi ⃗ (atau ditulis juga sebagai div ⃗) adalah

sedangkan rotasi ⃗ (atau ditulis juga sebagai curl ⃗ atau rot ⃗ ) adalah

atau dalam bentuk determinan:

Operator Laplacian:

bekerja pada skalar:

bekerja pada vektor:


13

Berlaku pula

1.7 Integral Garis Dibayangkan kita bergerak dari titik awal Pi(xi ,yi, zi) ke titik Pf(xf, yf, zf) melalui lintasan sepanjang kurva C di dalam medan vektor ⃗ (Gambar 1.16). Lintasan ini dapat dipandang sebagai jumlahan sejumlah vektor pergeseran infinitesimal ⃗⃗⃗⃗⃗ sepanjang kurva C. Integral garis ⃗ sepanjang kurva C merupakan hasil evaluasi vektor ⃗ di tiap ⃗⃗⃗⃗⃗, yaitu komponen ⃗ sepanjang ⃗⃗⃗⃗⃗ dikalikan dengan

|⃗⃗⃗⃗⃗| , tidak lain adalah A cos ds = ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗,

kemudian semuanya dijumlahkan; ini ditulis sebagai: Jika lintasan integrasi berupa kurva tertutup, seperti lingkaran, titik awal berimpit dengan titik akhir, maka integral garis ditulis sebagai:

yang disebut sirkulasi ⃗, dapat bernilai nol atau tak nol bergantung pada ⃗. Jika ⃗ adalah vektor letak tiap titik pada kurva C, maka ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗, sehingga

Perhatian: Di sini, dx, dy, dan dz tidaklah saling bebas karena x, y, dan z dihubungkan oleh persamaan lintasan (kurva C); demikian juga dengan Ax, Ay, dan Az.

Contoh: Diketahui medan vektor : ⃗

̂

̂

̂ , dan lintasan berupa parabola

antara


14

(0,0,0) dan (2, √ ,0). Dengan demikian, lintasan terletak di bidang xy, yaitu bidang z = 0, dan berarti z tetap atau dz =0, sehingga

Karena

, maka

dan

, sehingga

1.8 Integral Permukaan Sebelum membahas tentang integral permukaan, bahasan tentang vektor elemen luasan perlu diuraikan terlebih dahulu. Vektor Elemen Luasan Pada Gambar 1.17, da adalah elemen luasan infinitesimal sedemikian sehingga berbentuk datar (tidak harus horisontal). Vektor elemen luasan ini adalah

Dengan ̂ adalah vektor normal elemen luasan da. Ada dua arah ̂ yang mungkin yang saling berlawanan sehingga perlu ada kesepakatan; ada 2 kasus.

Kasus I da merupakan bagian dari suatu permukaan terbuka yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Dalam kasus ini kita perlu “memilih” atau “menentukan” arah lintasan pada kurva C tersebut, kemudian menggunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah ̂ (Gambar 1.18).


15

Kasus II: da merupakan bagian dari suatu permukaan tertutup. Dalam hal ini tidak ada kurva C; permukaan ini membagi ruang menjadi “dalam” dan “luar”. Arah ̂ senantiasa dipilih dari “dalam” ke “luar”. Jika ungkapan ⃗⃗⃗⃗⃗

̂

dan ̂

̂

̂

̂ digabung, maka dapat ditulis

bahwa

dengan -

adalah komponen-x dari adalah komponen-y dari adalah komponen-z dari

⃗, proyeksi da pada bidang yz; ⃗, proyeksi da pada bidang xz; ⃗, proyeksi da pada bidang xy.

Dapat ditunjukkan bahwa: (“+“ digunakan jika

< 90, “-“ jika

(“+“ digunakan jika

< 90°, “-“ jika

> 90°),

(“+“ digunakan jika

< 90°, “-“ jika

> 90°).

> 90°), (1-50)

Integral Permukaan Ditinjau suatu permukaan S yang berada di dalam medan vektor ⃗ (Gambar 1.19). Elemen luasan pada permukaan ini adalah da; vektor elemen luasannya adalah

⃗

̂

.


16

Di tiap elemen luasan da pada S, komponen ⃗ dalam arah dengan

⃗, yaitu A cos

, dikalikan

| ⃗|, kemudian semuanya dijumlahkan, hasilnya disebut sebagai integral

permukaan ⃗ pada S ; ditulis:

Integral permukaan ini disebut juga sebagai fluks ⃗ yang melewati permukaan S. Jika permukaan S merupakan permukaan tertutup, maka integral permukaan ditulis sebagai

yang dapat bernilai nol atau tak nol bergantung pada ⃗. Dalam SKC, ⃗

̂

̂

̂ dan

⃗

̂

̂

̂ , sehingga

Ingat: dx, dy, dan dz tidak saling bebas, demikian juga dengan

,

, dan

.

Contoh: Diketahui permukaan S berupa seperempat piringan Iingkaran berjejari b yang berpusat di O (titik asal SKC) di kuadran I pada bidang xy berada dalam medan vektor ⃗

̂

̂

̂ , seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.20.

Persamaan lingkaran ini adalah

.

Permukaan S pada bidang xy, maka ̂ dapat merupakan

̂ atau

̂ . Anggap dipilih ̂ =

maka da = daz = dxdy. Dengan demikian, integral permukaan:


17

̂,

1.9 Teorema Divergensi Gauss dan Teorema Stokes Teorema Divergensi Gauss Ditinjau suatu ruang V (volumenya V) yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S (contoh: bola, kubus, dli) berada dalam medan vektor ⃗. Teorema divergensi Gauss diungkapkan secara matematik sebagai

dengan

adalah elemen volume.

Teorema ini menghubungkan integral permukaan suatu medan vektor dengan integral volume divergensi medan vektor tersebut. Integral permukaan hanya bergantung pada nilai memerlukan pengetahuan tentang

⃗ di permukaan; integral volume

⃗, bukan tentang ⃗ di seluruh volume.

Teorema ini berlaku juga untuk ruang yang dibatasi oleh lebih dari satu permukaan tertutup.

Teorema Stokes Ditinjau suatu permukaan terbuka S sembarang yang dibatasi oleh suatu kurva tertutup C berada dalam medan vektor ⃗ (Gambar 1.21). Teorema Stokes diungkapkan secara matematik sebagai:

Teorema ini menghubungkan integral garis suatu medan vektor pada suatu lintasan tertutup dengan integral permukaan rotasi medan vektor tersebut pada permukaan yang dibatasi oleh lintasan tertutup tersebut. Arah

⃗ ditentukan oleh arah lintasan pada kurva C dan dengan menggunakan aturan

tangan kanan. Untuk kurva-kurva tertutup C yang sama dan permukaan-permukaan S1 dan S2 yang berbeda, maka


18

Teorema ini berlaku juga untuk permukaan yang dibatasi oleh lebih dari satu kurva tertutup; contoh permukaan yang dibatasi oleh dua kurva tertutup ditunjukkan oleh Gambar 1.22.

1.10

Vektor dalam Sistem Koordinat Silinder dan Bola

Vektor dalam Sistem Koordinat Silinder (SKS) Letak titik dalam SKS ditentukan oleh koordinat (

). Hubungan SKS dengan SKC

ditunjukkan oleh Gambar 1.23 Variabel

merupakan jarak dari sumbu z.

Variabel

merupakan sudut m( Ukur dari sumbu x positif).

Variabel

merupakan jarak dari bidang xy.

Hubungan koordinat SKS dengan koordinat SKC:


19

Vector-vektor satuan dalam SKS, yaitu ̂ ̂ dan ̂ saling tegak lurus:

Arah ̂ senantiasa tetap, sedangkan arah ̂ dan ̂ berbeda-beda di titik-titik yang berbeda. Hubungan vector-vektor satuan dalam SKS dan SKC:

Diferensial vektor satuan dalam SKS:

Dalam SKS, ungkapan suatu vektor ⃗ adalah

sedangkan ungkapan vektor letak adalah

Ungkapan vektor pergeseran infinitesimal adalah ⃗

Jika medan skalar

Mengingat bahwa

(

̂

̂

̂ atau

), maka

⃗

⃗

, maka gradien skalar dalam SKS:

dan operator nabla dalam SKS:


20

Komponen-komponen vector elemen luasan dalam SKS :

Elemen volume dalam SKS (Gambar 1.24)

Volume total:

Divergensi vektor ⃗ dalam SKS:

Rotasi vektor ⃗ dalam SKS:

Laplacian dalam SKS:

Vektor dalam Sistem Koordinat Bola (SKB) Letak titik dalam SKB ditentukan oleh koordinat (

). Hubungan SKB dengan SKC

ditunjukkan oleh Gambar 1.25. Variabel r adalah jarak dari pusat sistem koordinat.

`

Variabel

adalah sudut yang diukur dari sumbu z positif

Variabel

adalah sudut yang diukur dari sumbu x positif


21

Hubungan koordinat SKB dengan koordinat SKC :

Vektor-vektor satuan dalam SKB, yaitu ̂ , ̂, dan ̂, saling tegak lurus:

Arah masing-masing vektor satuan ̂ , ̂, dan ̂ berbeda-beda di titik-titik yang berbeda.

Hubungan vektor-vektor satuan dalam SKB dan SKC:


22

Diferensial vektor-vektor satuan dalam SKB:

Dalam SKB, ungkapan suatu vektor ⃗ adalah

Sedangkan ungkapan vektor letak adalah

Ungkapan vektor pergeseran infinitesimal adalah ⃗

̂

̂ , atau

Komponen-komponen vektor elemen luasan dalam SKB:

Elemen volume dalam SKB (Gambar 1.26):


23

Volume total

(

Jika medan skalar

) maka

⃗

Mengingat bahwa

⃗

, maka gradien skalar dalam SKS:

dan operator nabla dalam SKB:

Divergensi vektor ⃗ dalam SKB:

Rotasi vektor ⃗ dalam SKB:

Laplacian dalam SKB:

C. Penutup Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan soalsoal latihan berikut ini. 1. Carilah vektor letak relatif ⃗⃗ titik P(2, -2, 3) terhadap titik P(-3, 1, 4)! Tentukan sudutsudut arah ⃗⃗ ! 2. Diketahui

⃗

̂

sepanjang arah ⃗

̂ ̂

̂ ̂

dan

⃗⃗

̂

̂

̂.

Carilah komponen

⃗

̂!


24

⃗⃗

3. Diketahui persamaan suatu kelompok ellipsoida sebagai

. Carilah

vektor satuan normal di tiap titik di permukaan tiap ellipsoida ini! 4. Diketahui medan vektor ⃗

̂

̂ . Hitunglah secara langsung fluks ⃗

̂

yang melewati permukaan balok yang memiliki sisi-sisi a, b, dan c seperti ditunjukkan ⃗

oleh Gambar 1.27! Hitunglah ∫

pada seluruh volume balok tersebut, dan

bandingkan hasil-hasil yang diperoleh!

5. Diketahui medan vektor ⃗

̂

̂

̂ dengan

,

, dan

adalah tetapan-tetapan. Hitunglah secara langsung integral ⃗ pada lintasan tertutup dalam bidang xy seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.28! Kurva lengkung adalah parabola y2 = kx dengan k adalah tetapan. Hitunglah integral permukaan

⃗ pada

seluruh luasan S yang dibatasi oleh kurva C, dan bandingkan hasil-hasil yang diperoleh! 6. Diketahui ⃗

̂

̂

̂ dengan a, b, dan c adalah tetapan-tetapan. Apakah ⃗ ⃗ dan

merupakan vektor yang tetap (konstan)? Carilah komponen ⃗ dalam SKC (x, y, z) dan SKB ( 7. Carilah

⃗! Carilah komponen-

)!

⃗ untuk vektor letak ⃗ yang diungkapkan dalam SKC, SKS, dan SKB!


25

8. Diketahui vector ⃗ ̂

̂

̂, carilah integral garisnya pada lintasan tertutup

seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 1.29. Kurva lengkung merupakan busur lingkaran berjejari r0 yang berpusat di titik asal O. Cari juga integral permukaan

⃗

pada luasan yang dibatasi oleh kurva tertutup tadi, dan bandingkan hasil-hasil yang diperoleh! 9. Dengan menerapkan teorema divergensi pada kasus khusus ⃗ adalah vektor tetap dan sembarang, tunjukkan bahwan luasan vektor total suatu permukaan tertutup adalah nol, yaitu ∮ ⃗

⃗⃗! Serupa dengannya, tunjukkan bahwa ∮ ⃗

⃗⃗!

Daftar Pustaka 1. Wangsness, R.K., 1979, “Electromagnetic Fields”, John Wiley & Sons, New York


26

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Recommend Documents