BAB 3 ANALISIS VEKTOR
3.1. Pendahuluan Vektor merupakan suatu besaran yang mempunyai arah. Vektor dinyatakan dengan besar vektor dan arahnya. Penggambaran vektor bergantung pada sistem koordinat yang dipilih. Pada bab sebelumnya telah dibahas pengenalan vektor dan aljabar vektor. Bab ini akan membahas tentang sistem koordinat, vektor satuan pada sistem koordinat yang bersangkutan, diantaranya sistem koordinat polar, silinder, dan bola. Dalam bab ini juga dibahas mengenai operasi vektor, operator vektor, beberapa operasi tentang operator, dan differensial vektor. Pada akhir bab ini dibahas integral garis, teorema Green pada bidang, teorema Divergensi, dan teorema Stokes. Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat melakukan operasi vektor, operasi operator differensial, mengenal dan menggunakan sistem koordinat kurviliner, melakukan integrasi lipat dua, dan tiga.
3.2. Sistem Koordinat A. Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, suatu vektor dilukiskan dalam tiga arah, yaitu arah sumbu-X, arah sumbu-Y, dan arah sumbu-Z.dimana masing-masing sumbu koordinat saling tegak lurus, dan mengikuti aturan putaran sekrup. Putaran dari sumbu-X ke sumbu-Y seperti sekrup diputar menghasilkan gerak sekrup yang menyatakan arah dari sumbu-Z.
download on
www.enggar.tk
Setiap sumbu koordinat mempunyai vektor satuan yang besarnya satu dan searah dengan arah sumbu koordinatnya, xˆ : vektor satuan pada sumbu-X, yˆ : vektor satuan pada sumbu-Y, dan zˆ : vektor satuan pada sumbu-Z. Penggambaran suatu vektor dinyatakan oleh ketiga vektor satuan tersebut yang disertai besar atau panjang komponen vektor pada arah tersebut. Misal : A(3,4,5) : digambarkan oleh 3 xˆ 4 yˆ 5 zˆ , artinya komponen vektor arah sumbu-X adalah 3, arah sumbu-Y adalah 4, dan arah sumbu-Z adalah 5.
B. Sistem Koordinat Silinder Dalam sistem koordinat Silinder, suatu vektor dinyatakan dalam tiga arah, yaitu arah rˆ , arah ˆ , dan arah zˆ . Z
ˆ rˆ
Y
X
Gambar 3.1. Sistem Koordinat Silinder
Dapat dibayangkan suatu silinder berdiri tegak, titik di tengah-tengah silinder dinamakan titik nol (0). Dari titik nol ditarik garis keluar silinder dinamakan arah r dengan vektor satuan rˆ . Dari dinding silinder ditarik garis singgung mendatar download on
www.enggar.tk
yang tegak lurus dengan arah r dinamakan vektor dengan vektor satuan ˆ , berputar berlawanan arah jarum jam pada bidang XY. Dari titik nol ditarik garis lurus tegak membentuk sumbu-Z dengan vektor satuan zˆ .
Hubungan sistem koordinat Silinder dengan sistem koordinat Kartesian dapat dilihat pada uraian berikut.
Y x = r cos y = r sin
r
y
r =r x
X
Gambar 3.2. Sistem Koordinat Polar
Vektor r diuraikan pada arah xˆ , dan yˆ melalui persamaan :
r xˆ r Cos θ yˆ r Sin θ Vektor satuan arah r adalah :
rˆ xˆ Cos θ yˆ Sin θ Vektor satuan arah adalah vektor satuan arah r tetapi ditambah 90 :
ˆ xˆ Cos θ 90 yˆ Sin θ 90 xˆ Sin θ yˆ Cos θ Vektor satuan arah z : zˆ Dapat ditunjukkan bahwa rˆ,ˆ, zˆ saling tegak lurus
C. Sistem Koordinat Bola download on
www.enggar.tk
Dalam sistem koordinat Silinder, suatu vektor dinyatakan dalam tiga arah, yaitu arah rˆ , arah ˆ , dan arah ˆ . Dapat dibayangkan suatu bola, titik di tengah-tengah bola dinamakan titik nol (0). Dari titik nol ditarik garis keluar bola dinamakan arah r dengan vektor satuan rˆ . Dari dinding bola ditarik garis singgung mendatar yang tegak lurus dengan arah r dinamakan vektor dengan vektor satuan ˆ , berputar berlawanan arah jarum jam pada bidang XY. Dari dinding bola ditarik garis singgung tegak yang tegak lurus dengan arah r dinamakan vektor dengan vektor satuan ˆ , berputar berlawanan arah jarum jam pada bidang XZ.
Z
φˆ
rˆ
ˆ Y
X
Gambar 3.3. Sistem Koordinat Bola
Hubungan sistem koordinat Bola dengan sistem koordinat Kartesian dapat dilihat pada uraian berikut. x = r Cos Cos y = r Cos Sin z = r Sin Vektor r diuraikan pada arah xˆ , dan yˆ melalui persamaan : download on
www.enggar.tk
r xˆ r Cos Cos θ yˆ r Cos Sin θ zˆ r Sin r berimpit dengan sumbu-X jika = 0 , dan = 0 r berimpit dengan sumbu-Y jika = 0 , dan = 90 r berimpit dengan sumbu-Z jika = 90
Vektor satuan arah r adalah :
rˆ xˆ Cos Cos θ yˆ Cos Sin θ zˆ Sin Vektor satuan arah adalah vektor satuan rˆ tetapi ditambah 90 dan = 0 :
ˆ xˆ Cos 0 Cos θ 90 yˆ Cos 0 Sin θ 90 zˆ Sin 0
xˆ Sin θ yˆ Cos θ Vektor satuan arah adalah vektor satuan arah r tetapi ditambah 90 :
ˆ xˆ Cos 90 Cos θ yˆ Cos 90 Sin θ zˆ Sin 90 xˆ Sin Cos θ yˆ Sin Sin θ zˆ Cos Dapat ditunjukkan bahwa rˆ,ˆ, φˆ saling tegak lurus.
3.3. Operasi Vektor Seperti halnya bilangan, sebuah vektor dapat dijumlahkan , dikurangkan , atau dikalikan dengan vektor lain menurut aturan yang berlaku bagi vektor.
A. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor Operasi penjumlahan atau pengurangan pada vektor dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen vektor yang arahnya sama. Misal :
A xˆ A x yˆ A y zˆ A z B xˆ Bx yˆ B y zˆ Bz download on
www.enggar.tk
A B xˆ A x B x yˆ A y B y zˆ A z Bz
A B xˆ A x B x yˆ A y B y zˆ A z Bz
B. Perkalian Operasi perkalian pada vektor dapat menghasilkan skalar atau vektor
B.1. Operasi Dot Operasi dot dari dua buah vektor menghasilkan skalar dimana perkalian dilakukan berdasarkan komponen vektor yang arahnya sama. Untuk komponen vektor yang arahnya saling tegak lurus menghasilkan nol.
A B A B Cos θ , adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Untuk vektor satuan :
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1 xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0 Misal :
A xˆ A x yˆ A y zˆ A z B xˆ Bx yˆ B y zˆ Bz A B xˆ xˆ A x B x yˆ yˆ A y B y zˆ zˆ A z Bz
Tinjau suatu benda yang mendapatkan gaya F dan berpindah sejauh d.
F download on
www.enggar.tk
d
Gambar 3.4. Kerja yang dilakukan gaya F
Benda melakukan kerja sebesar :
W F d F d Cos θ
B.2. Operasi Cross Operasi cross pada dua buah vektor A dan B dirumuskan :
C A B A B Sin θ , adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B. Arah vektor C saling tegak lurus dengan A dan B. Untuk vektor satuan :
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ,
Misal :
yˆ zˆ xˆ ,
zˆ xˆ yˆ
A xˆ A x yˆ A y zˆ A z B xˆ Bx yˆ B y zˆ Bz xˆ
A B Ax Bx
xˆ
yˆ
zˆ
Ay By
Az Bz
1 B x Ax
yˆ
zˆ
By Ay
Bz Az download on
www.enggar.tk
= B A
Operasi Cross tidak bersifat komutatif. Sebagai contoh kita tinjau benda titik P bergerak berputar dengan tali sepanjang r dan kecepatan sudut . Benda titik P dilukiskan seperti gambar berikut :
r Sin
v P r
O
Gambar 3.5. Vektor kecepatan linear (v) pada gerak melingkar
Kecepatan linear benda P adalah :
ds φ r Sin θ
;
ds dφ r Sin θ ω r Sin θ dt dt
ds ds r ; v r dt dt
B.3. Operasi Triple Product download on
www.enggar.tk
Operasi Dot dan Cross dapat dioperasikan secara berurutan yang akan menghasilkan bentuk skalar atau vektor bergantung ururtan operasinya.
A B C :
B C dioperasikan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dioperasikan Dot dengan A, menghasilkan skalar.
A B C : B C dioperasikan terlebih dahulu, kemudian hasilnya dioperasikan Cross dengan A, menghasilkan vektor.
Operasi Triple Product Menghasilkan Skalar
xˆ
A B C = xˆ A x yˆ A y zˆ A z B x Cx
Ax
A B C = B x Cx
Ay
Az
By Cy
Bz Cz
yˆ
zˆ
By Cy
Bz Cz
Gunakan sifat determinan bahwa Setiap pertukaran baris / kolom yang berdekatan hasilnya dikalikan dengan (-1), sehingga
A B C =
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
Bx Cx
By Cy
Bz = (-!) A x Cz Cx
Ay Cy
Az Cz
Bx
A B C = C x Ax
By
Bz
Cy Ay
Cz Az
= B C A
download on
www.enggar.tk
Cx
Cy
Cz
= Ax
Ay By
Az Bz
Bx
= C A B
Akhirnya didapatkan hasil persamaan :
A B C = B C A = C A B
Operasi Triple Product Menghasilkan Vektor
xˆ A B C = xA x yA y zA z B x Cx
By = xA x yA y zA z x Cy
A B C =
yˆ
zˆ
By Cy
Bz Cz
Bz
Bx z Cx Cx
B y z Cz Cz
Bx
xˆ
yˆ
zˆ
Ax B y Bz C y Cz
Ay
Az
Bz Cz
Bx
By
Cx
Cy
By y A z Cy
Bz
= x A y
B z A x z Cz
Cz Bx Cx
Bx Cx
Bz
Az
Cz
Ax
Ay
download on
Bx Cx By Cy
Bx Cx
By Cy
Bx C x By Cy Bz Cz
www.enggar.tk
By Cy
yB y A z C z A x C x C y A z Bz A x B x zBz A x C x A y C y C z A x B x A y B y
= x B x A y C y A z C z C x A y B y A z Bz
Jika pada komponen arah xˆ ditambahkan suku A x B x C x , pada komponen arah
yˆ ditambahkan suku A y B y C y , dan pada komponen arah zˆ ditambahkan suku A z B z C z , maka akan didapatkan :
yˆ B y A z C z A x C x A y B y C y A z Bz A x B x A y B y zˆ Bz A x C x A y C y A z Bz C z A x B x A y B y A z Bz
xˆ B x A y C y A z C z A x B x C x A y B y A z Bz A x B x
Jika disusun kembali akan menghasilkan :
xˆ Bx yˆ By zˆBz A x Cx A yCy AzCz xˆ Cx yˆ Cy zˆCz A x Bx A yBy Az Bz
Hasil ini dapat dituliskan menjadi persamaan :
A B C B A C C A B Tinjau benda titik P bermassa m bergerak berputar dengan tali sepanjang r dan kecepatan sudut . Benda titik P dapat dilukiskan seperti gambar berikut :
L
v P
r download on
www.enggar.tk
Gambar 3.6. Benda titik P berputar dengan kecepatan v
Dari uraian sebelumnya didapatkan : Kecepatan benda P adalah :
v r Percepatan benda adalah :
a
dv d r dt dt a
dr dω dω r ; 0 dt dt dt
v r Kasus khusus : r , atau = 90
a r r
ω 2 r ; dinamakan percepatan sentripetal Momentum sudut angular benda P adalah :
L r mv mr r Kasus khusus : r , atau = 90
L m r r r r
mr 2 L m ωr r mvr
3.4. Differensial Vektor Vektor disusun oleh komponen-komponen vektor pada setiap arah sumbu koordinat. Komponen-komponen vektor dapat berupa fungsi dari variabel lain download on
www.enggar.tk
(misalnya t, waktu) secara eksplisit. Disisi lain vektor dapat berupa suatu hasil perkalian dot atau cross dengan vektor lain.
A. Vektor Berupa Fungsi Eksplisit dari Suatu Variabel Vektor tersusun oleh komponen yang berupa fungsi eksplisit dari variabel pengamatan t. Vektor berubah setiap saat (fungsi dari t).
A xˆ A x yˆ A y zˆ A z , dimana A x A x t ; A y A y t ; A z A z t
d A xˆ d A x yˆ d A y zˆ d A z dt dt dt dt xˆ
dA y dA x dA z yˆ zˆ dt dt dt
Tinjau kedudukan suatu partikel pada saat t (fungsi dari t) yang dilukiskan oleh persamaan :
r xˆX yˆY zˆZ , dimana X Xt ; Y Yt ; Z Zt Kecepatan partikel pada saat t adalah :
v
d dX dY dZ r xˆ yˆ zˆ dt dt dt dt
xˆv x yˆv y zˆv z Percepatan partikel pada saat t adalah :
a
dv y dv dv d v xˆ x yˆ zˆ z dt dt dt dt xˆ
d 2X dt
2
yˆ
d 2Y dt
2
zˆ
d2Z dt 2
download on
www.enggar.tk
xˆ a x yˆ a y zˆ a z Pada gerak melingkar, sistem koordinat Polar dapat dipandang mempunyai vektor satuan yang berubah terhadap waktu.
rˆ xˆ Cos θ yˆ Sin θ ˆ xˆ Sin θ yˆ Cos θ
θ θ t Jika dilakukan differensial pada rˆ dan ˆ , akan didapat :
d d d rˆ xˆ (Cos θ ) yˆ (Sin θ ) dt dt dt xˆ
d dθ d dθ (Cos θ ) yˆ (Sin θ ) dθ dt dθ dt
xˆ Sin θ
dθ dθ yˆ Cos θ dt dt
dθ ˆ dt d ˆ d d θ xˆ ( Sin θ ) yˆ ( Cos θ ) dt dt dt xˆ
d dθ d dθ ( Sin θ ) yˆ ( Cos θ ) dθ dt dθ dt
xˆ Cos θ
rˆ
dθ dθ yˆ Sin θ dt dt
dθ dt
Jika kedudukan suatu partikel pada sistem koordinat tersebut dilukiskan oleh :
A rˆA r θˆ Aθ
; A r A r t ; Aθ Aθ t
maka kecepatan partikel tersebut adalah :
v
dθˆ d d d drˆ A rˆ A r A r θˆ Aθ Aθ dt dt dt dt dt download on
www.enggar.tk
rˆ
dA r ˆ dθ ˆ dAθ dθ θ Ar θ rˆAθ dt dt dt dt
dθ ˆ dAθ dθ dA rˆ r Aθ Ar θ dt dt dt dt
B. Differensial pada Operasi Perkalian Suatu vektor yang dioperasikan perkalian dot atau cross dapat didifferensial dengan cara differensial berantai.
K A B
dK dB dA A B dt dt dt L A B
dL dB dA A B dt dt dt M A B C
dM d dA A B C B C dt dt dt dC dB dA AB C B C dt dt dt
dC dB dA AB B C A C dt dt dt N A B C
dN d dA A B C B C dt dt dt download on
www.enggar.tk
dC dB dA A B C B C dt dt dt
dC dB dA A B B C A C dt dt dt Pada gerak melingkar, suatu partikel berputar pada lingkaran dengan jari-jari konstan dan kecepatan konstan dilukiskan oleh persamaan :
r
2
r r konstan
2
v v v konstan Differensial kedua persamaan menghasilkan :
d dr dr (r r ) r r dt dt dt dr atau r v 0 0 2r dt d dv dv (v v) v v dt dt dt 0 2v
dv atau v a 0 dt
Hasil di atas didifferensial lagi
d dv dr ( r v) r v dt dt dt
0 r a v v ; atau
r a v 2 Hubungan dengan sudut antara r dan a adalah :
r a Cos θ -v2 download on
www.enggar.tk
Untuk a berupa percepatan sentripetalyang mengarah ke pusat lingkaran ( = 180), didapat besarnya a adalah :
v2 a r
3.5. Turunan Berarah A. Medan Skalar dan Medan Vektor Pandang suatu plat besi berukuran besardimana di satu sisi dipanaskan sehingga terjadi aliran panas. Pada suatu titik dapat diamati temperatur sesaat, perubahan temperature, laju perubahan temperature, kecepatan aliran panas yang bergantung arah pengamatan, dan lain-lain. Dikatakan bahwa plat besi tersebut merupakan medan temperatur, dan disebut medan skalar karena temperatur merupakan besaran fisika yang berbentuk skalar. Bentuk lain dari medan skalar antara lain medan energi potensial gravitasidi dekat permukaan bumi. Medan vektor merupakan suatu keadaan yang dapat diamati kuantitas fisikanya yang berbentuk vektor, misalnya medan listrik, medan magnet, medan kecepatan, dan lain-lain. Pengamat dapat mengamati perubahan fisika (vektor) pada suatu titik, misalnya percepatan, kuat medan magnet, arus listrik yang mengalir pada seutas kawat, dan lain-lain. B. Operator Gradient ( ) Pandang suatu medan skalar (x,y,z), akan diamati perubahan terhadap jarak s dari titik A(x0, y0, z0) ke suatu titik B(x, y, z) pada arah uˆ . uˆ merupakan vektor
ˆ b zˆ c) arah satuan , uˆ (xˆ a y
1 2
2
a b c
download on
2
.
www.enggar.tk
B(x, y, z) s A(x0, y0, z0)
Gambar 3.7. Garis hubung titik A ke titik B
Dapat dilukiskan suatu persamaan garis hubung antara titik A(x0, y0, z0) ke titik B(x, y, z) yang berjarak s pada arah uˆ adalah :
(xˆ x yˆ y zˆ z) (xˆ x 0 yˆ y 0 zˆ z 0 ) uˆ s (xˆ a yˆ b zˆ c) dengan anggapan
1 2
2
a b c
2
1
Akan didapatkan tiga persamaan : x-x0 = as ; x = x0 + as y-y0 = bs ; y = y0 + bs z-z0 = cs ; z = z0 + cs Dari ketiga persamaan tersebut dapat dipandang bahwa merupakan fungsi dari s saja sehingga perubahan terhadap s dituliskan :
dφ φ dx φ dy φ dz ds x ds y ds z ds
φ φ φ a b c x y z
(xˆ
φ φ φ yˆ zˆ ) (xˆ a yˆ b zˆ c) x y z
download on
www.enggar.tk
(xˆ
yˆ zˆ )φ uˆ x y z
φ uˆ Pernyataan
dφ merupakan turunan berarah, dan operator gradient atau del () ds
didefinisikan sebagai :
xˆ
; = gradient yˆ zˆ x y z
Operator gradient atau del () bekerja hanya pada medan skalar. Jika diberikan medan (x,y,z) = x2 y + xz, suatu titik P pada medan tersebut mempunyai koordinat P(1,2,-1), dan dicari perubahan medan di titik P pada arah
u 2xˆ 2yˆ zˆ . Vektor arah satuan uˆ
1 (2xˆ 2yˆ zˆ ) 3
φ xˆ (2xy z) yˆ x 2 zˆ x ; φ xˆ (2xy z) yˆ x 2 zˆ x
dφ 1 5 φ uˆ (3xˆ yˆ zˆ ) (2xˆ 2yˆ zˆ ) ds 3 3 Contoh lain berupa medan temperatur T x 2 y 2 xyz 273 , di titik (-1,2,3) dicari ke arah mana kenaikan temperatur tercepat dan berapa perubahannya.
T xˆ
T T T yˆ zˆ xˆ (2x yz) yˆ (2y xz) zˆ xy x y z
(T) (1,2,3) 4xˆ 7yˆ 2zˆ dT (T) (1,2,3) uˆ T (1,2,3) uˆ Cos θ ds Agar bernilai maksimum dipilih nilai = 0, sehingga arahkenaikan temperatur
ˆ 2zˆ dan perubahan temperaturnya adalah tercepat adalah 4xˆ 7y
dT 1 (4xˆ 7yˆ 2zˆ ) (4xˆ 7yˆ 2zˆ ) 69 ds 69 download on
www.enggar.tk
C. Operasi Divergen Operator dapat dioperasikan seperti layaknya vektor.
V (xˆ
yˆ zˆ ) (xˆ Vx yˆ Vy zˆ Vz ) x y z
Vx Vy Vz x y z
= divergen V
D. Operasi Curl
xˆ V x Vx
yˆ y Vy
zˆ z Vz
Vy Vx Vz Vy Vx V yˆ xˆ z z x zˆ x y y z E. Operasi Laplacian
φ (xˆ
φ
φ φ φ yˆ zˆ ) (xˆ yˆ zˆ ) x y z x y z
2φ x 2
2φ y 2
2φ z 2
= divergen gradient 2 φ
2 φ 0 ; dinamakan persamaan Laplace
download on
www.enggar.tk
2
φ
2 φ
1 2 φ v2 t 2
; dinamakan persamaan Gelombang
1 φ ; dinamakan persamaan diffusi atau persamaan konduksi panas v2 t
3.6. Integral Garis Dalam persoalan Fisika sering dijumpai suatu besaran yang bergantung lintasan, misalnya besaran kerja yang didefinisikan :
dW F dr Kerja dW yang dilakukan oleh gaya F bergantung pada pemilihan lintasan dr yang pada umumnya berupa kurva, lingkaran, atau garis lurus penghubung titik A dan titik B.
Z dr B A
F
Y
X
Gambar 3.8. Lintasan dari titik A ke titik B
Jika dihitung kerja W sepanjang lintasan AB, didapat :
B
W F dr A download on
www.enggar.tk
Bentuk W seperti ini dinamakan integral garis. Sebagai contoh, tinjau suatu gaya
ˆ y 2 yang melakukan kerja sepanjang lintasan dari yang berbentuk F xˆ xy y titik O(0,0) ke titik A(2,1) seperti gambar berikut :
Y B
A(2,1) (1) (3)
(4) (2)
O
C
X
Gambar 3.9. Lintasan OA berupa lintasan (1), (2), (3), dan (4)
dr xˆ dx yˆ dy ; F dr xydx y 2 dy 1. Lintasan dari O ke B, kemudian dari B ke A
A
B
A
O
O
B
W1 F dr F dr F dr Lintasan OB : x = 0, dx = 0 ; y = 0-1 , sehingga B
1
O
0
F dr y
2
1 1 dy y 310 3 3
Lintasan BA : y = 1, dy = 0 ; x = 0-2 , sehingga
A
2
B
0
1 2 2 0 2
F dr xdx 2 x A
W1 F dr 2 O
1 5 3 3
download on
www.enggar.tk
2. Lintasan dari O ke C, kemudian dari C ke A
A
C
A
O
O
C
W2 F dr F dr F dr Lintasan OC : y = 0, dy = 0 ; x = 0-2 , sehingga
B
F dr 0
O Lintasan CA : x = 2, dx = 0 ; y = 0-1 , sehingga
A
1
C
0
F dr - y
2
1 1 dy y 3 10 3 3
A
W2 F dr O
1 3
3. Lintasan dari O ke A berupa garis lurus y = ½ x ; dy = ½ dx ; x = 0-2
A
2
2
2 1 1 1 W3 F dr x x dx x dx 2 2 2 O 0 0 2
1 1 x 2 x 2 dx 2 8 0
2
3 2 dx
8x
0
1 x 3 02 8 =1 4. Lintasan dari O ke A berupa parabola y = ¼ x2 ; dy = ½ xdx ; x = 0-2
download on
www.enggar.tk
A
2
2
2 1 2 1 1 W4 F dr x x dx x 2 xdx 4 4 2 O 0 0 2
1 1 x 3 x 5 dx 4 32 0
1 4 1 6 2 2 x x 0 = 3 16 192
Lintasan OA bisa berupa lintasan yang bergantung waktu, t. Misal : x = 2t3 ; y = t2 , maka dx = 6t2dt ; dy = 2tdt , sehingga
A
t
O
0
2 W4 F dr 2t 3 t 2 6t 2 dt t 2 2tdt A
t
O
0
W4 F dr 12t 7 2t 5 dt
12 8 2 6 t t t 0 8 6
Jika benda saat t = 0 berada di titik O, dan t = 2 berada di titik A, maka W =
1088 3
Ada besaran yang mempunyai sifat khusus didalam operasi integral garis, yaitu hasil integral garis pada suatu lintasan sembarang bernilai tetap dan tidak bergantung pemilihan lintasan, akan tetapi hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir. Tinjau medan W yang mempunyai sifat :
F W xˆ
Fx
W W W ; atau yˆ zˆ x y z
W W W ; Fy ; Fz x y z
Kerja yang dilakukan oleh gaya F dari titik A ke titik B adalah :
download on
www.enggar.tk
B
B
A
A
WAB F dr (xˆ Fx yˆ Fy zˆ Fz ) (xˆ dx yˆ dy zˆ dz) B
(xˆ A
W W W yˆ zˆ ) (xˆ dx yˆ dy zˆ dz) x y z
B
W W W dx dy dz x y z A
B
dW A
= W(B) – W(A)
Dapat dilihat bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya F hanya bergantung pada kondisi awal W(A) dan kondisi akhir W(B), tidak bergantung pada lintasan yang dipilih. Gaya F tersebut dinamakan gaya Konservatif, dan W dinamakan medan konservatif. Sedangkan persamaan
dW
W W W dx dy dz x y z
dinamakan differensial eksak dari W. Tinjau medan gravitasi bumi g, suatu benda bermassa m berada pada ketinggian z dari permukaan bumimempunyai energi potensial V = mgz. Jika benda tersebut jatuh ke bumi maka gaya gravitasi F = mg melakukan kerja sebesar :
0
W F dr mgr 0z mgz z Dapat dilihat bahwa : W = -V, atau F = W = -V , dan mempunyai sifat : F = (W) = -(V) = 0
download on
www.enggar.tk
Dari persamaan terakhir dapat dilihat bahwa medan gravitasi merupakan medan konservatif, dan gaya gravitasi merupakan gaya konservatif. Sebagai contoh, tinjau suatu gaya yang dirumuskan :
F (2xy z 3 )xˆ x 2 yˆ (3xz 2 1)zˆ Untuk melihat apakah Fbersifat konservatif, harus dilakukan operasi Curl F :
xˆ F x 2xy - z 3
yˆ zˆ y z x 2 13xz 2 - 1
xˆ (0) yˆ (3z 2 3z 2 ) zˆ (2x 2x) =0 F bersifat konservatif.
Besarnya usaha yang dilakukan gaya F dari titik O(0,0,0) ke titik A(x,y,z) adalah :
A
(x,0,0)
O
(0,0,0)
W F dr
F dr
(x,y,0)
( x, y , z )
(x,0,0)
(x,y,0)
F dr F dr
dimana lintasan OA sembarang.
1. Dari titik (0,0,0) ke titik (x,0,0) : y = 0 , dy = 0 , z = 0 , dz = 0
(x,0,0)
F dr 0 (0,0,0) 2. Dari titik (x,0,0) ke titik (x,y,0) : dx = 0 , z = 0 , dz = 0
(x, y,0)
y
F dr x (x,0,0)
2
dy x 2 y
0 download on
www.enggar.tk
3. Dari titik (x,y,0) ke titik (x,y,z) : dx = 0 , dy = 0
(x, y,z)
z
(x, y,0)
0
F dr 3xz
2
1 dz (xz 3 z)
Dari ketiga hasil integrasi, didapat W = x2 y-xz3-z V = -x2y+xz3 +z Contoh lain, tinjau suatu muatan q diletakkan pada titik O(0,0,0). Pada jarak r dari muatan q timbul medan listrik (gaya per satuan muatan) sebesar : F q q E 2 rˆ 3 r q r r
Energi potensial V per satuan muatan didefinisikan sebagai usaha yang dilakukan oleh gaya F per satuan muatan (E) untuk membawa muatan q dari titik ~ ke titik r
adalah :
r
r
3 r
V E dr r
q
r dr
q r 2 r r
q
dr
V()
q r
Didefinisikan V(~) = 0, maka V
q r
3.7. Teorema green pada Bidang Dengan berbekal persamaan :
download on
www.enggar.tk
b
d
dx F(x)dx F(b) F(a)
a
Tinjau dua buah fungsi P(x,y) dan Q(x,y), dan lintasan berupa Y
d l
c a
b
X
Gambar 3.10. Lintasan l
Integral garis pada loop tertutup dari Q(x,y)dy dapat dituliskan : d
c
c
d
Q(x, y)dy Q(x b, y)dy Q(x a, y)dy l d
Q(b, y) Q(a, y) dy c
Integral garis pada loop tertutup dari P(x,y)dx dapat dituliskan :
a
b
b
a
P(x, y)dx P(x, y d)dx P(x, y c)dx l
download on
www.enggar.tk
b
P(x, d) Q(x, c) dx a
Di sisi lain :
Q(x, y) dxdy x A
Q(x, y)dy l
P(x, y) dydx y A
P(x, y)dx l
Jika kedua persamaan di atas dijumlahkan akan didapat :
Q( x, y) P( x, y) dx dy x y A
P(x, y)dx Q(x, y)dy l
Jika digunakan gaya konservatif F xˆFx yˆFy dengan sifat maka
W Fx dx Fy dy P(x, y)dx Q(x, y)dy l
l
Fx = P(x,y) , dan Fy = Q(x,y)
Fx Fy ) dx dy 0 x y A
(
ˆy2 , Tinjau suatu gaya F xˆ xy y dr xˆ dx yˆ dy ; F dr xydx y 2 dy lintasan : Y download on
www.enggar.tk
Fx F y , y x
A(2,1) y=¼ x2 , dy = ½ xdx
X Gambar 3.11. Lintasan y = ¼ x2
Besarnya kerja yang dilakukan oleh gaya F pada lintasan tertutup c adalah :
W F dr xyxˆ y 2 yˆ xˆ dx yˆ dy c
c
xydx y 2 dy c
P(x, y)dx Q(x, y)dy l
dengan P(x,y) = xy, dan Q(x,y) = -y2 ,
sehingga
y 2 xy ] dx dy x y A
W xydx y 2 dy [ c
x dx dy A
1 2 y
xdx dy
y 0 x 0 download on
www.enggar.tk
1
2 y 1 x 2 0 dy 2 0 1
2ydy y 2 10 1 0
Untuk menghitung luas suatu daerah atau bidang dapat dituliskan :
A dx dy S
Tinjau suatu persamaan :
xdy ydx C
Dengan menganggap : P = -y , dan
Q = x, dan
P 1 y
Q 1 y
Maka :
Q( x, y) P( x, y) dx dy x y A
xdy ydx C
2 dx dy A
Sehingga luas daerah atau bidang dapat dirumuskan :
A dx dy A
1 xdy ydx 2C
Untuk ellips dengan persamaan : x = A Cos , dan dx = -A Sin d y = B Sin , dan dy = B Cos d luas ellips adalah : download on
www.enggar.tk
A dx dy A
1 xdy ydx 2C
2π 1 AB) Cos 2 θ Sin 2 θ dθ 2 0 = AB
3.8. Teorema Stokes Definisikan
ˆ A1 y ˆA2 z ˆA3 Ax S = suatu permukaan dengan vektor normal nˆ Dilakukan operasi vektor :
A A xˆ A1 1 yˆ 1 zˆ z y A A xˆ A1 nˆ 1 yˆ 1 zˆ nˆ y z
A1 A (yˆ nˆ ) 1 (zˆ nˆ ) z y
vektor kedudukan dilukiskan sebagai :
r xxˆ yyˆ zzˆ r z yˆ zˆ ; ambil z = z(y) y y
nˆ
rˆ z nˆ yˆ (nˆ zˆ ) = 0 ….. diambil saling tegak lurus, y y
sehingga
download on
www.enggar.tk
nˆ yˆ -
z (nˆ zˆ ) y
A1 A1 z xˆ A1 nˆ dS z z y (zˆ nˆ ) dS S S Pada permukaan S, didefinisikan A1(x,y,z) = A1(x,y,f(x,y)) = F(x,y) , sehingga
A1 A1 z F z z y y 1. permukaan S diambil dengan vektor normal nˆ sejajar sumbu Z, didapat :
F
F
xˆ A1 nˆ dS y (zˆ nˆ ) dS y dx dy F dx A1 dx S
S
S
C
C
2. permukaan S diambil dengan vektor normal nˆ sejajar sumbu X, didapat
F F yˆ A 2 nˆ dS z (xˆ nˆ ) dS z dy dz F dy A 2 dy S S S C C 3. permukaan S diambil dengan vektor normal nˆ sejajar sumbu Y, didapat
F F zˆ A 3 nˆ dS x (yˆ nˆ ) dS x dx dz F dz A 3 dz S S S C C Jika nomer 1, 2, dan 3 dijumlahkan untuk permukaan S utuh didapatkan :
ˆ A n dS A dx A dy A dz A 1 2 3 dr S
atau
C
C
C
C
ˆ A n dS A dr S
C
Perumusan ini memudahkan kita melakukan integrasi lipat dua ke integral lipat satu ( integral garis tertutup ).
3.9. Teorema Divergensi download on
www.enggar.tk
Z
nˆ 2 dS2
S2 : Z = f2(x,y)
dS1
S1 : Z = f1(x,y)
nˆ1 Y
X
Gambar 3.12. Bidang S1 dan S2
f 2 A 3 A 3 z dx dy dz z dz dx dy R f z A3 A ( x , y , z ) dx dy dz 3 z z R
download on
f2 f1
dx dy
www.enggar.tk
A 3 (x, y, f 2 ) - A 3 (x, y, f1 ) dx dy R
A3 zˆ nˆ 2 dS2 A3 zˆ nˆ 1 dS1 A3 zˆ nˆ dS
Dengan cara yang sama, dapat dilakukan integrasi pada S lain yang merupakan persamaan bidang : f(x,z), dan f(y,z), sehingga didapatkan :
A3 z dx dy dz A3 zˆ nˆ dS
A 2 dx dy dz A 2 yˆ nˆ dS y
A1 dx dy dz A1xˆ nˆ dS x
Jika ketiga persamaan di atas dijumlahkan akan didapat :
ˆ A dV A n dS A d S
3.10. Rangkuman (i). Vektor satuan sistem koordinat Kartesian : Vektor satuan sistem koordinat silinder :
rˆ xˆ Cos θ yˆ Sin θ ; θˆ xˆ Sin θ yˆ Cos θ ; zˆ Vektor satuan sistem koordinat Bola : download on
www.enggar.tk
rˆ xˆ Cos Cos θ yˆ Cos Sin θ zˆ Sin
ˆ xˆ Sin θ yˆ Cos θ φˆ xˆ Sin Cos θ yˆ Sin Sin θ zˆ Cos ˆ xˆ A x B x yˆ yˆ A y B y zˆ zˆ A z Bz (ii). Operasi Dot : A B x Operasi Cross :
xˆ A B Ax Bx
yˆ
zˆ
Ay By
Az Bz
Ax
Ay
Az
Cx
By Cy
Bz Cz
Triple product :
A B C = B x
A B C B A C C A B (iii). Differensial vektor :
dA y dA x dA z dAx, y, z) xˆ yˆ zˆ dx dt dt dt
(iv). Divergen V : V
xˆ Curl V = V x Vx (v). Integral garis : W
Vx Vy Vz x y z
yˆ y Vy
zˆ z Vz
A
B
A
O
O
B
F dr F dr F dr
(vi). Teorema Green pada Bidang :
Q( x, y) P( x, y) dx dy x y A
P(x, y)dx Q(x, y)dy l
l
download on
www.enggar.tk
;
(vii). Teorema Stokes :
( A ) d S A dr S
C
(viii). Teorema Divergensi :
A dV A d S V
S
3.11. Latihan Soal (i) Tunjukkan bahwa setiap sistem koordinat mempunyai vektor satuan yang saling tegak lurus !
(1,0) (ii) Hitunglah integral garis :
xdy ydx
2 2 ( 1,0) x y
, lintasan berupa setengah
lingkaran berpusat di O(0,0) dan jari-jari satu. (iii) Hitunglah soal no.2 menggunakan teori Green ! (iv) Hitunglah integral di bawah ini : a.
x dx dy dengan batas berupa segi tiga dengan titik sudut (0,0) , (1,1) , y
(1,2) b.
y
-1/2
dx dy dengan daerah yang dibatasi oleh y x 2 , x + y = 2 ,
dan sumbu Y c.
dx dy 9 2y
2
dengan batas berupa segi empat dengan titik sudut (1,3) , (3,3)
, (2,6), dan (6,6). d.
dx dy dengan daerah yang dibatasi oleh
y ln x , y = e + 1 - x , dan
x = ln 4 (v) Buktikan bahwa download on
www.enggar.tk
b. U V V U U V V U U V c. U V U V U V V U V U
a. ΦV Φ V V Φ
3.12. Daftar Pustaka 1. Arfken , George , Mathematical Methods for Physicists , Academic Press, New Yook , 2 nd ed .,1970. 2. BOAS, Mary L., Mathematical Methods in The Physical Sciences , second Edition , John Wily and sons, 1983 . 3. Bradbury , Ted clay ., Mathematical Methods with Applications to Problems in the Physical Sciences , John Wily and Sons, 1984. 4. D’Azzo , John J . and Constantne H . Haupis , Feed back Control System Analysis and Synthesis , second Edition , Mc Graw – Hill , 1966. 5. Hilde brand , Francis B ., Advanced Calculus for Applications, Prentice – Hall, Engle wood Cliffs , 2 nd Ed . 1976. 6. Kaplan , Wilfred , Advanced Calculus , Second Edition , Addison-Wesley, Publishing Company , 1981. 7. Kreyszig , Erwin ., Advanced Engineering Mathematics, Fourth Edition , John Wiley and Sons , 1979. 8. Sokolnikoff , 1 . S . , and R . M . Redheffer , Mathematics of Physics and Modern Engineering , Mc Graw – Hill 2 nd ed . , 1966. 9. Tjia , M . O . , Gelombang , jurusan Fisika FMIPA ITB , cetakan pertama , 1994. 10. Wos pakrik , Hans J . , Dasar – Dasar Matematika untuk Fisika , ITB , Bandung , 1993 .
download on
www.enggar.tk
