ANALISIS VEKTOR
MAT–MMM2105 2 sks Syllabus : Vector Algebra:Vector addition and scalar multiplication, Scalar and vector products. Vector Differentiation: Differentiation of vector valued functions with respect to a scalar. Geometry of curves. Scalar and vector fields. Gradient of a scalar field, and divergence and curl of a vector field. Sum and product rules for these differentiation operators. Second order vector operators. Directional derivatives. Normal and tangent plane to a surface.Solenoidal and irrotational fields. Vector Integration: Curvilinear line integrals, Surface integrals. The divergence theorem, Green’s theorem and Stoke’s theorem. (10 lectures) Curvilinear Coordinate Systems: Coordinate free vector derivatives. Vector derivatives in curvilinear coordinates. Spherical, polar and cylindrical coordinates Buku Acuan : • Davis H F, 1961, Introduction to Vector Analysis, Allyn and Bacon Inc, Boston • Max Stein, 1963, Introduction to Vector Analysis, Harper & Row PUBLISHER, New York. • Murray R S, 1959, Vector Analysis amd an introduction to Tensor Analysis, Schaum’s outline series Mc Graw Hill, New York. ANALISIS VEKTOR
Silahkan KLIK KIRI
Hal 1 dari 11
Review Q
Definisi : Besaran Vektor dan Skalar
1. Vector adalah suatu kuantitas yang mempunyai nilai magnitude/besaran dan arah, biasa dinyatakan dengan
P
PQ , P disebut pangkal vector dan Q
ujung vector, atau dengan
A,
atau A
Magnitude atau panjang vector disimbolisir dengan PQ atau A , atau |A| Contoh besaran vektor : gaya (N , kecepatan( m/dt) . percepatan (m/dt2)
ANALISIS VEKTOR
Hal 2 dari 11
Hal 1 dari 6
2. Skalar adalah suatu kuantitas yang hanya mempunyai nilai magnitude/besaran saja (tidak mempunyai arah) Contoh besaran skalar : massa(kg, waktu (dt ), volume (m3 ), energi (J)
Vector dipergunakan untuk menyatakan antara lain kuantitas gaya, kecepetan, percepatan. Scalar dipergunakan untuk menyatakan antara lain masa, panjang, waktu, temperature.
ANALISIS VEKTOR
Hal 3 dari 11
Definisi : Alajabar Vektor Sifat Vektor : Dapat digeser ke mana saja , asal besar dan arahnya tetap
A
1. Dua buah vector A dan B dikatakan sama apabila maginitud A sama dengan magnitude B dan arah A sama dengan arah B
B
A
-A
ANALISIS VEKTOR
2 Suatu vector mempunyai magnitude sama dengan vector A tetapi dengan arah berlawanan disimbolisir dengan –A Hal 4 dari 11
Hal 2 dari 6
3. Jumlah dua buah vector A dan B adalah suatu vector C dengan pangkal vektor berimpit dengan pangkal vector A dan ujung vector berimpit dengan ujung vector B, dimana pangkal vector B diimpitkan dengan ujung vector A, disajikan dengan C =A+B
C
A C
B
4. Selisih dua buah vector A dan B adalah suatu vector C yang merupakan jumlahan vector A dengan vector –B, dan disajikan dengan C = A – B
A -B
ANALISIS VEKTOR
B
5. Pergandaan suatu vector A dengan scalar m, adalah vector
Hal 5 dari 11
A
mA
mA dengan magnitude |m| |A|
dan arah sama dengan arah
|m||A| = m |A|
|A|
vector A bila m scalar positif atau berlawanan arah vector A bila m scalar negative.
ANALISIS VEKTOR
Hal 6 dari 11
Hal 3 dari 6
Hukum aljabar vector : Apabila A, B dan C vector dan m, n scalar, maka berlaku : 1. A + B = B + A
Komutatif terhadap jumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C
Asosiatif terhadap jumlahan
3. m (n A) = (mn) A = n (m A) Asosiatif terhadap multiplikasi 4. (m + n) A = m A + n A
Disrtributif terhadap multiplikasi
5. m (A + B) = m A + m B
Disrtributif terhadap multiplikasi
Catatan : mengingat pada analisa vector dikenal pengertian ganda scalar dua vector, dan ganda vector dua vector, maka pergandaan scalar dengan vector digunakan istilah multiplikasi.
ANALISIS VEKTOR
Hal 7 dari 11
Definisi : Vektor Satuan Vector satuan adalah suatu vector dengan magnitude 1 (satu).
A
Apabila A suatu vector dengan |A| > 1, maka a A vector merupakan vector satuan dan A = |A| a
Definisi : Vektor Satuan pada Ruang Dimensi Tiga Pada ruang dimensi tiga, ditentukan sumbu koordinat-x, -y dan –z, dengan titik pangkal (0,0,0).
Vector satuan pada ruang dimensi tiga adalah vector-vektor satuan pada ketiga sumbu koordiant arah positif dengan masing-masing titik pangkal (0,0,0), berturut-turut disimbolisir dengan i, j dan k.
ANALISIS VEKTOR
z
k
(0,0,0) i
x
j
y
Hal 8 dari 11
Hal 4 dari 6
Komponen vector z
Suatu vector A pada ruang tiga dimensi dengan pangkal vektor di titik pangkal system koordinat tegak, O(0,0,0), dan ujung vector (A1,A2,A3) dapat disajikan sebagai
(A1,A2,A3) Az
A O Ay
A = A1 i + A2 j + A3 k
y
dengan vector-vektor Ax = A1 i
Ay = A2 j
x
Ax
Az = A3 k
disebut vector komponen dari vector A, dan diperoleh hubungan |A| =
A12 A22 A32
ANALISIS VEKTOR
Hal 9 dari 11
Soal untuk latihan 1. Diberikan vektor A, B, C dan D. Konstruksikan vektor V = 3 A + 2 B – (C – 3 D)
A
B D
C
P 2. Pada obyek P bekerja tiga buah gaya sebagaimana disajikan pada gambar. Tentukan resultan gaya tersebut.
150 lb
50o
200 lb
250 lb
3. Apabila pada soal no 2, diambil P adalah pangkal sumbu koordinat, arah gaya sebesar 250 lb sejajar dengan sumbu-z, maka tentukan komponen vektor resoltan gaya yang bekerja pada obyek P. ANALISIS VEKTOR
Hal 10 dari 11
Hal 5 dari 6
Medan Skalar Apabila setiap titik (x,y,z) pada suatu region di ruang dimensi tiga terkorespondensi dinyatakan dengan fungsi Φ(x,y,z) maka bidang luasan Φ(x,y,z)
disebut medan-skalar terdefinisi pada region Contoh :
Distribusi temperature pada suatu region disajikan dengan fungsi Φ(x,y,z) = 3 x2 y + z3, dalam hal ini Φ(x,y,z) disebut medan scalar. Medan Vektor Apabila setiap titik (x,y,z) pada region menyatakan ujung vector dengan pangkal vector di titik pangkal koordinat O(0,0,0), dan (x,y,z) terkorespodensi dinyatakan dengan V(x,y,z), maka V(x,y,z) disebut medan vektor Contoh : V(x,y,z) = x2 y i + 5 x y2 z j + x z3 k ANALISIS VEKTOR
disebut medan vektor Hal 11 dari 11
Hal 6 dari 6
