Analisis Vektor dan Fasor

Modul #02 EE2823 ELEKTROMAGNETIKA I

Analisis Vektor dan Fasor Program Studi S1 Teknik Telekomunikasi Jurusan Teknik Elektro - Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Bandung – 2006

Outline Pendahuluan Aljabar Skalar Aljabar Vektor Sistem Koordinat Transformasi Koordinat Jarak Antara 2 Titik Integrasi dan Diferensiasi Vektor Gradien, Divergensi, dan Curl

EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

2

A. Berbagai Terminologi Keterampilan dalam me mbaca vektor dan fasor sangat diperlukan dalam elektromagnetika. Analisa vektor adalah tool matematika yang sangat penting dikuasai dalam kuliah ini. Hal ini disebabkan besaran-besaran dalam Medan Elektromagnetik terutama adalah besaran-besaran vektor.

Definisi vektor dan skalar, Vektor Besaran fisis yang harus dinyatakan dalam magnitudo (besar) dan arah

Contoh : medan, gaya, kecepatan mobil , angin percepatan, dsb

Skalar Besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dalam magnitudo (besar) saja

Contoh : temperatur, massa, kelembaban, massa, panjang, berat jenis, resistivitas, dsb EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

3

Berbagai Terminologi Medan Medan secara definitif berarti daerah pengaruh. Secara lebih luas, medan kemudian menjadi besaran fisis dan merupakan daerah pengaruh besaran fisis. Dilihat dari penyebabnya, vektor atau skalar, maka medan dibagi menjadi 2 ( dua ), yaitu : Medan skalar, daerah pengaruh besaran skalar Medan vektor, daerah pengaruh besaran vektor

Notasi Vektor

atau

r A A

Fasor

A

A∠θ pengganti, A cos(wt+θ) atau, A e

Magnitude (besar) vektor

j ( ωt + θ )

r A


4

B. Aljabar Skalar Skalar ada 2 macam : a. Skalar biasa, Dinyatakan dengan bilangan riil b. Skalar kompleks, atau FASOR Memerlukan 2 angka riil sebagai bagian riil dan khayal. Biasa juga dinyatakan dalam amplituda dan sudut . Fasor merupakan bentuk pengganti dari bentuk sinusoidal.

¾ Bentuk skalar kompleks

A = A = a + jb

Ada 2 macam bentuk : Bentuk rectangular Bentuk polar

dimana,

j = −1 A = A ∠φA = A e j(φA )


5

Aljabar Skalar ¾ Operasi-Operasi Bilangan Kompleks Misal diketahui dalam, Rectangular Polar

Penjumlahan dan pengurangan

Pangkat dan akar pangkat

A = a + jb dan B = c + jd

A = A ∠φ A = A e jφ A dan B = B ∠φ B = B e j φB Rectangular, A + B = (a + jb) + (c + jd) = (a+c) + j(b+d) A - B = (a + jb) - (c + jd) = (a-c) + j(b-d) Polar Ubah dulu ke bentuk rectangular, operasikan spt diatas, kembalikan lagi ke bentuk polar Polar

A n = A ∠nφ A = A e jnφ A n

n

A=

⎛ φA

n

j⎜ φ A ∠ ⎛⎜ A ⎞⎟ = n A e ⎝ ⎝ n⎠

⎞ n ⎟⎠

Rectangular Lebih baik diubah dalam bentuk polar dulu EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

6

Aljabar Skalar

Perka lian Pem bagian

Rectangula r Ubah dulu kebentuk polar, operasikan spt dibawah, kembalikan lagi kebentuk rectangular Polar AB = A ∠ φ A . B ∠ φ B = A e jφ A . B e jφ B

= A B ∠ ( φ A + φ B ) = A B e j( φ A + φ B )

A ∠φ A A e jφ A A = = B . B ∠φ B B e j φB =

¾ Identitas Euler e

± jm

= cos( 12m 3) ± jsin( 12m 3) Real

Imajiner

A B

A

∠ (φ A − φ B ) =

B

e j( φ A − φ B )

[ ] Im[e ] = ± sin(m)

Re e± jm = cos(m) ± jm

¾ Integrasi dan diferensiasi fungsi sinusoidal d(...) = jω(...) dt

1

dan ∫ (...)dt = (...) jω 7


C. Aljabar Vektor Aljabar vektor adalah operasi-operasi matematis yang dilakukan pada besaran vektor. Dalam hal ini perlu diketahui kaidah-kaidah yang berlaku dalam aljabar vektor.

¾ Representasi Vektor (anah panah) • Panjang anak panah mewakili magnitudo vektor • Arah anak panah mewakili arah vektor

¾ Notasi Vektor Dalam Koordinat r dimana, D = Du aû + Dvaˆ v + Dwaˆ w

aû , aˆv , dan aˆw adalah vektor satuan masing

¾ Vektor Satuan

masing sumbu koordinat

Misal :

r r A = A aˆ A maka, aˆ A adalah vektor bermagnitudo satu dengan arah sesuai arah vektor EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

r A 8

Aljabar Vektor Lanjutan….(vektor satuan). r jika A = A u aû + A vaˆ v + A waˆ w,

¾ Operasi vektor Penjumlahan vektor r A

r r A+B

r r A A maka aÂ = r = 2 2 2 A A u + Av + A w Sifat-sifat yang dimiliki penjumlahan vektor adalah : a. Memenuhi Hukum Komutatif

r r r r A r +B r = rB + A r r r A − B = A + (−B) = (−B) + A

r B

b. Memenuhi r r Hukum r Asosiatif r r

r A + (B + C) = (A + B) + C

r B r A r r A+ B

Penjumlahan vektor berarti penjumlahan komponen-komponen vektor

Tanda minus (-) pada vektor berarti besarnya sama, arah berlawanan EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

9

Aljabar Vektor Perkalian Dengan Skalar r r A mA = m A x aˆ x + A yaˆ y + A zaˆ z r = mAx aˆ x + mAy aˆ y + mAz aˆ z 2A

(

)


10

Aljabar Vektor r B

Scalar product r r r r A • B = A B cosα

r A

α

a. Memenuhi hukum komutatif

r r r r A• B = B • A b. Memenuhi r r rhukumr distribusi r r r A • (B + C) = (A • B) + (A • C)

r A cos α

α

r B cosα

Vector (cross) product of two vectors r r r r r C r A × B = Caˆc = A B sin α aˆ c

B

Dengan, aˆ c Adalah vektor satuan berarah sesuai vektor C, dan tegaklurus terhadap vektor A dan vektor B

r A

α

r B r A

Arah vektor C sesuai dengan arah sekrup yang diputar dari vektor A ke vektor B

11


Aljabar Vektor Vector (cross) product of two vectors (lanjutan…) r

Jika A = Au aˆ u + Av aˆ v + Aw aˆ w

dan

r B = Bu aû + Bv aˆ v + Bwaˆ w

Maka,

r r r C = A× B =

-

aˆ u Au Bu

-

aˆ v Av Bv

-

aˆ w Aw Bw

aˆ u Au Bu

+

aˆ v Av Bv

+

r C = (AvBw − Aw Bv )aˆ u + (A wBu − Au Bw )aˆ v + (Au Bv − Av Bu )aˆ w

+

Pada cross product tidak berlaku hukum komutatif, jika :

r r r A×B = C

maka

r r r r r B × A = −( A× B) = −C


12

Aljabar Vektor Hubungan yang sering digunakan dalam manipulasi ...

( ) ( ) ( )

( )

r r r r r r r r r a • b × c = c • a × b = b • (c × a ) r r r a • a×b = 0 r r r r r r rr r a × b × c = b(a • c) − c a • b

( )


13

Aljabar Vektor ¾ Berbagai Identitas Vektor

r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ( A • B ) ≡ ( A • ∇ ) B + ( B • ∇ ) A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A ) r r r r r r r r r r r r r r r ∇ × ( A × B) ≡ A (∇ • B ) − B (∇ • A ) + (∇ • B )A − ( ∇ • A ) B r r r r r r r r r A × ( B × C ) ≡ (A • C) B − ( A • B)C r r r r r r r r r (A × B) • C) ≡ ( B × C) • A ≡ (C × A ) • B r r r r r r r r r ∇ • ( A × B) ≡ B • ∇ × A − A • ∇ × B r r r r r r ∇ × ( VA ) ≡ ∇V × A + V∇ × A r r r r r r r ∇ × ( A + B ) ≡ ( ∇ × A ) + ( ∇ × B) r r r r r r r r ∇ × ∇ × A ≡ ∇(∇ • A ) − ∇ 2 A r r r r r r r ∇ • ( A + B) ≡ (∇ • A ) + (∇ • B) r r r r r r ∇ • ( VA ) ≡ A • ∇V + V∇ • A r r r ∇ ( V + W ) ≡ ∇ V + ∇W r r r ∇ • ∇V ≡ ∇ 2 V r r r ∇ •∇×A ≡ 0 r r ∇ × ∇V ≡ 0 EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

14

D. Sistem Koordinat ¾ Posisi titik P dalam suatu sistem koordinat 3 dimensi dinyatakan sebagai :

P(u, v, w)

¾ Notasi vektor D dalam koordinat 3 dimensi dinyatakan : r D = Du aû + Dv aˆv + Dwaˆw

¾ 3 macam sistem koordinat yang diperkenalkan : • Koordinat Kartesian • Koordinat Tabung ( Silindris ) • Koordinat Bola ( Spheris )

z

z ρ1

az

ay

y

ar aφ

aφ θ P

z1

P a ρ

y

r

φ1

ax

x

az

z

aθ

y

φ

x

x 15


Sistem Koordinat Arah orientasi... z

z ρ1

az

x

ay

z az P a ρ

y

aφ θ P

z1

y

r

φ1

ax

x

ar aφ aθ

y

φ

x


16

Sistem Koordinat Sistem koordinat u x

Kartesian Silindris Spheris

Variabel v y

ρ

φ θ

r

w z z

φ

Faktor skala hv hw hu 1 1 1 1 1 ρ 1 r r sinθ

Panjang sisi volume diferensial

dLu = h u du ; dLv = hv d v ; dLw = h wd w Vektor lintasan diferensial

r dL = h u du aˆ u + h v dv aˆv + h w dw aˆw ;

Luas sisi diferensial

dSuv = h u h vd u dv ; dSvw = h v hw dv dw ; dSuw = hu h w du dw

Vektor normal luas diferensial

r r r dSuv = dSuvaˆw ; dSvw = dSvwaû ; dSuw = dSuwaˆv

Volume diferensial

dV = h u hv hw du dv dw EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

17

Sistem Koordinat Gradien dari skalar G

r 1 ∂G 1 ∂G 1 ∂G aˆ u + aˆ v + aˆ w ∇G = h u ∂u h v ∂v h w ∂w

Divergensi dari suatu vektor D

r r ∇•D =

1 ∂ ∂ ⎡∂ ⎤ ( h h D ) ( h h D ) ( h h D ) + + v w u u w v u v w ⎥⎦ h u h v h w ⎢⎣ ∂u ∂v ∂w

Laplacian dari suatu skalar G

r r r ∇ 2 G = ∇ • ∇G =

⎡ ∂ ⎛ h v h w ∂G ⎞ ∂ ⎛ h w h u ∂G ⎞ ∂ ⎛ h u h v ∂G ⎞⎤ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟⎥ ⎢ ⎜⎜ ∂ u h ∂ u ∂ v h ∂ v ∂ w h ∂ w u v w ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣

1 huhvh w

Kurl (pusaran) dari vektor D

r r ∇× D =

aˆ u hvh w

aˆ v huh w

aˆ w hu hv

∂ ∂u h u Du

∂ ∂u h v Dv

∂ ∂u hw Dw


18

Sistem Koordinat Representasi elemen volume dalam gambar z

az

dxdy

z

ay ax

dydz

dxdz

y x θ+dθ θ

z dρ ρdφ

z+dz

ρ

z

dz ρ +d ρ

φ φ+dφ

x

r

r+dr

φ φ +dφ

r dθ r sinθ dφ dr

y

x

y


19

E. Transformasi Koordinat ¾ Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian • Transformasi Variabel Tabel 1

r r A(x, y, z) ⇔A(ρ, φ, z) Silindris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Silindris x = ρ cosφ ρ = x 2 + y2 y = ρ sinφ

⎛y⎞ φ = tan−1 ⎜ ⎟ ⎝x⎠ z =z

z =z

• Dot Product Vektor Satuan Tabel 2

•

aˆ φ − sin φ cos φ

aˆ z

aˆ x aˆ y

aˆ ρ cos φ sin φ

aˆ z

0

0

1

0 0


20

Transformasi Koordinat r

r

• Transformasi Vektor A(x, y, z) ⇔ A(ρ, φ, z)

r A(x, y, z) = Ax ( x, y, z)aˆ x + Ay (x, y, z)aˆ y + Az (x, y, z)aˆ z Langkah 1, Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

r r A(x, y, z) ⇒ A(ρ, φ, z) r Aρ = A(x, y, z) • aˆ ρ r Aφ = A(x, y, z) • aˆ φ r Az = A(x, y, z) • aˆ z

r r A(ρ, φ, z) ⇒ A( x, y, z) r Ax = A(ρ, φ, z) • aˆ x r Ay = A(ρ, φ, z) • aˆ y r Az = A(ρ, φ, z) • aˆ z

Langkah 2, Ubah variabel !! Lihat tabel 1

r A(ρ, φ, z) = Aρ (ρ, φ, z)aˆ ρ + Aφ (ρ, φ, z)aˆ φ + Az (ρ, φ, z)aˆ z 21


Transformasi Koordinat Koordinat Silindris ←→ Koordinat Kartesian...

Contoh : Mencari Aρ

Aρ = Ax (x, y, z)(aˆ x • aˆ ρ ) + Ay (x, y, z)(aˆ y • aˆ ρ ) + Az (x, y, z)(aˆ z • aˆ ρ ) 1 424 3 1 424 3 1 424 3 cosφ

sin φ

aˆ y • aˆρ = 1 1 cos(90o − φ) = sinφ

aˆx • aˆρ = 1 1 cosφ

0

aˆz • aˆρ = 1 1 cos90o = 0

90 o − φ

aˆ y

y

aˆ x φ x

y

aˆρ

aˆ ρ x

Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb : Aρ = Ax cosφ + Ay sin φ A x = A ρ cos φ − A φ sin φ Lihat bahwa komponen Aφ = −Ax sin φ + Ay cosφ A y = A ρ cos φ + A φ cos φ Az = Az

Az = A z

Lihat bahwa komponen vektor vektortergantung tergantungpada pada posisi angular φ ! posisi angular φ !


22

Transformasi Koordinat ¾ Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian • Transformasi Variabel r r A (x , y, z) ⇔A ( r, θ , φ ) r ≥ 0 dan 0 ≤ θ ≤ π Spheris ⇒ Kartesian Kartesian ⇒ Spheris x = r sin θ cos φ r = x2 + y2 + z2

Tabel 1

y = r sin θ sin φ

⎛ z⎞ ⎝ r⎠ ⎛ y⎞ φ = tan −1 ⎜ ⎟ ⎝ x⎠

θ = cos −1 ⎜ ⎟

z = r cos θ

• Dot Product Vektor Satuan Tabel 2

•

aˆr

aˆ x aˆ y

sinθ cos φ sin θ sin φ

aˆ z

cos θ

aˆθ cos θ cos φ cos θ sin φ

− sin φ cos φ

− sin θ

0

aˆ φ


23

Transformasi Koordinat Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

r r • Transformasi Vektor A(x, y, z) ⇔ A(r, θ, φ)

r A(x, y, z) = A x (x, y, z)aˆ x + A y (x, y, z)aˆ y + A z (x, y, z )aˆ z Langkah 1, Ubah komponen !! Lihat tabel 2 dan rumus dibawah

r r A(x, y, z) ⇒ A(ρ, φ, z) r Ar = A(x, y, z) • aˆ r r Aθ = A(x, y, z) • aˆ θ r Aφ = A(x, y, z) • aˆ φ

r r A(r, θ, φ) ⇒ A(x, y, z) r Ax = A(r, θ, φ) • aˆ x r Ay = A(r, θ, φ) • aˆ y r Az = A(r, θ, φ) • aˆ z

Langkah 2, Ubah variabel !! Lihat tabel 1

r A(r, θ, φ) = Ar (r, θ, φ)aˆ r + Aθ (r, θ, φ)aˆ θ + Aφ (r, θ, φ)aˆ φ EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

24

Transformasi Koordinat Koordinat Spheris ←→ Koordinat Kartesian...

Contoh : Mencari Ar

proyeksikan vektor satuan ar pada bidang x-y, lalu proyeksikan sekali lagi pada vektor satuan a x (atau sumbu-x)

Ar = Ax (x, y, z )(aˆ x • aˆ r ) + Ay (x, y, z)(aˆ y • aˆ r ) + Az (x, y, z)(aˆ z • aˆ r ) 1 424 3 1 424 3 1 424 3 sinθcosφ

z θ

cosθ

sinθsinφ

aˆr

θ

90o − θ

y

aˆx

aˆ r(x−y)

x-y

φ

aˆ r(x−y)

x

φ

aˆr • aˆ x = sinθ cosφ aˆr • aˆ y = sinθ sinφ aˆr • aˆ z = cosθ Dapatkan Dapatkanpengertian pengertianbahwa bahwa notasi dot adalah proyeksi notasi dot adalah proyeksi!!! !!!

Dengan cara yang sama akan dapat dicari komponen vektor yang lain , sbb : Ar = A x sin θ cosφ + A y sin θsin φ + Az cosθ

Ax = Ar sin θcosφ + Aθ cosθ cosφ − Aφ sin φ

Aθ = Ax cosθ cosφ + A y cosθsin φ − A z cosθ Ay = A r sin θsin φ + Aθ cosθ sinφ + A φ cosφ Aφ = −A x sin φ + A y cosφ

Az = Ar cosθ − Aθ sinθ


25

F. Jarak Antara Dua Titik Jarak antara 2 titik P dan Q adalah magnitudo dari perbedaan vektor P dan Q

r P = pxaˆ x + p yaˆ y + pzaˆ z r Q = qxaˆx + qy aˆ y + qz aˆ z

PQ = (q x − p x )aˆ x + (q y − p y )aˆ y + (q z − p z )aˆ z Jarak antara P dan Q :

DPQ =

(qx − px )2 + (q y − py )2 + (qz − pz )2


26

G. Integrasi dan Diferensiasi Vektor ¾ Integral Garis • Konsep mengenai integral garis dapat dilihat kembali pada kuliah Matematika Teknik atau Kalkulus A(li ) a

• Untuk Skalar, Pada kurva /countor c pada gambar di samping, kurva dipotong-potong dalam sejumlah N elemen panjang ∆li

b countour c

∆li

b

b

N

a

∆li →0 N→ ∞ i =1

∫ A(l)dl = lim ∑ A(li )∆li

∆li

Dapat dibayangkan bahwa integrasi disamping berarti adalah luas daerah di bawah contour c

c a


27

Integrasi dan Diferensiasi Vektor • Untuk Vektor, b

∫ dl = a

N

lim

∑ ∆l

∆l i →0 N→∞ i =1

i

→

= ab

• Integral garis komponen vektor tangensial terhadap countour

r r ∫ A(x, y, z) • t (x, y, z)dl C


28

Integrasi dan Diferensiasi Vektor r dl

Integral garis sering dijumpai dalam persoalan elektromagnetika. Sebagai contoh :

Energi medan didefinisikan sebagai integral garis dari gaya-gaya yang diderita sepanjang countour

r r W = ∫ F • d l = ∫ F cosθ dl b

b

a

a

r d l adalah r garis singgung terhadap countour r vektor Baik F dand l tergantung pada posisinya 29


Integrasi dan Diferensiasi Vektor z

¾ Integral Luas • Untuk skalar,

z2

Luas S = ∫ dS = S

y2

z2

y1

z1

∫∫ dydz = ∫ dy ∫ dz

∆y∆z

S

z1 y1

y2 y

• Untuk Vektor, x Komponen vektor yang menembus suatu permukaan/ bidang (fluks) dapat r r r dinyatakan :

fluks= F • ∆S = F ∆S cosα

Total fluks yang menembus suatu bidang dapat dinyatakan :

r r fluks total = ∫ F • dS S

r

Ingat, dS selalu tegaklurus terhadap permukaan dS !!


30

H. Gradien, Divergensi, dan Curl ¾ Gradien Gradien dari suatu medan skalar adalah suatu vektor yang magnitudonya menunjukkan perubahan maksimum medan dan arahnya menunjukkan arah dari peningkatan tercepat medan skalar tersebut

Sumber Api Ilustrasi ... r A

r B

X

Suhu adalah medan skalar = f (jarak thd sumber) Jika terukur suhu pada suatu titik X, maka gradien terhadap suhu di X adalah vektor A, dan bukan vektor B

31


Gradien, Divergensi, dan Curl Gradien...

Gradien .... • Jika φ adalah suatu fungsi skalar, maka didefinisikan :

r Gradienφ = Gradφ = ∇φ sehingga,

r ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = aˆ x + aˆ y + aˆ z ∂y ∂x ∂z

r dimana, ∇ = ∂ aˆ + ∂ aˆ + ∂ aˆ x y z ∂x

∂y

∂z

operator Del

( untuk koordinat kartesian )

• Dalam medan elektromagnetika, fungsi skalarnya biasanya adalah potensial listrik ( V ). Jika φ diganti V, maka : r r r r ∇V = −E ( untuk medan statis ) atau , E = −∇V arah arahgradien gradienterhadap terhadappotensial potensialmenghasilkan menghasilkanvektor vektor yang berarah menuju potensial yang lebih besar yang berarah menuju potensial yang lebih besar(( menuju menujukearah kearahsumber sumberitu itusendiri sendiri)) EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

ilustrasi…. 32

Gradien, Divergensi, dan Curl r ∇V

Lihat gambar di samping ! Arah gradien terhadap potensial menghasilkan vektor yang berarah menuju kearah potensial yang lebih besar → menuju kearah sumber itu sendiri

r E

+V

1

V2

V3 V 4

Jika sumber itu adalah API, maka gradien terhadap SUHU akan mengarah kepada suhu yang lebih besar, yaitu api itu sendiri.

V1 > V2 > V3 > V4 z

Jika misalkan suhu berubah terhadap x, maka komponen gradien terhadap x ada, …..dst.

y

x EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

33

Gradien, Divergensi, dan Curl Gradien...

Contoh : Misalkan,

V(x, y, z) = x2 yz3 maka,

[

r r ⎡∂ ∂ ∂ ⎤ E = −∇V = −⎢ aˆ x + aˆ y + aˆ z ⎥ x2 yz3 ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x

]

⎡∂( x2 yz3 ) ∂( x2 yz3 ) ∂( x2 yz3 ) ⎤ = −⎢ aˆ x + aˆ y + aˆ z ⎥ x ∂ y ∂ z ∂ ⎣ ⎦ = − 2xyz3 aˆ x + x2 z 3 aˆ y + 3x2 yz2 aˆ z

[

]

Jadi, jika x, y, z, diketahui pada suatu titik tertentu, maka medan listrik E dapat langsung diketahui EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

34

Gradien, Divergensi, dan Curl ¾ Divergensi Untuk mengestimasi dan meng-kuantisasi medan-medan vektor, sering dengan cara mengukur / kuantisasi aliran medan vektor tersebut ( atau netto aliran masuk dan keluar ). Flux : adalah netto aliran yang menembus permukaan dengan arah normal terhadap permukaan

r r Ψ = ∫∫F • dS = ∫∫ Fcosθ dS S

r dS = dS nˆ

S

Vektor dS selalu tegaklurus terhadap elemen permukaan dS EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

35

Gradien, Divergensi, dan Curl Sehingga,

Jumlah fluks total yang menembus suatu permukaan tertutup pasti adalah sama dengan sumber medan yang dilingkupi oleh permukaan tertutup tersebut

r r Ψ = ∫∫ F • dS S

Ilustrasi ... Jika kita ingin mengetahui apakah ada sumber yang ada dalam suatu ‘bola’ ...bisa didapat dengan menghitung fluks total yang menembus bola tersebut ... baik fluks masuk maupun fluks keluar bola EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

36

Gradien, Divergensi, dan Curl Definisi divergensi Divergensi mengamati unsur volume tertentu yang sangat kecil, mengamati apakah ada ‘sumber’ atau tidak di dalam volume tersebut • Definisi dan Simbol ∆z ∆x ∆y

r r ∫ D • dS lim

∆V→0

r r ∇•D

simbol

S

∆V

• Pada Koordinat Kartesian, r r ⎡∂ ∂ ∂φ ⎤ ∇ • D = ⎢ aˆ x + aˆ y + aˆ z ⎥ • Dx aˆ x + Dyaˆ y + Dz aˆ z ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x ∂D ∂Dy ∂Dz + = x+ Skalar Product !! ∂y ∂z ∂x

[

]

Tugas : Silakan cari rumus divergensi untuk koordinat tabung dan koordinat bola !! 37 EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

Gradien, Divergensi, dan Curl Divergensi...

• Hasil operasi divergensi adalah SKALAR, karena Dot Product

r • Jika misalkan medan vektor yang diamati adalah D , maka :

• Hasil divergensi (+) Jumlah vektor keluar > jumlah vektor masuk Artinya : Di dalam ruang ada sumber • Hasil divergensi (-) Jumlah vektor keluar < jumlah vektor masuk Artinya : Ada kekosongan dalam volume dan bersifat menyerap, contoh : Black Hole • Hasil divergensi = 0 Jumlah vektor keluar = jumlah vektor masuk Artinya : Tidak ada apa-apa dalam volume tersebut

Sumbe r

Kekosongan


38


Bentuk persamaan diatas, diturunkan secara langsung dari definisi operator divergensi

r r ∫ F • dS lim

S

∆V→0

∆V

r r = ∇•F


39

Gradien, Divergensi, dan Curl

r r ∇ • D = ρv

Divergensi...

Divergensi rapat fluks listrik, D, terhadap suatu volume, maka akan diketahui sumbe r muatan didalam volume itu

ρv = rapat muatan volume


40


Sekarang, ....bandingkan ekspresi berikut ! r r ∫ D • dS lim

∆V→0

S

∆V

r r ∫ D • dS = Q

= ρv

S Rapat fluks listrik yang me nembus permukaan tertutup adalah sama dengan total muatan yang dilingkupi permukaan itu sendiri

dilambangkan sebagai

r r ∇ • D = ρv

Ædisebut Hk Gauss

Kesimpulan...

Adanya suatu muatan / distribusi muatan akan menyebabkan adanya rapat fluks listrik D, dan menimbulkan suatu daerah yang terpengaruh karena adanya muatan listrik tersebut, E.


41

Gradien, Divergensi, dan Curl Penurunan Teorema Divergensi …. Divergensi... r r : Rapat muatan yang menembus permukaan (1) ∫ D • dS = Q tertutup adalah total muatan itu sendiri

S

(2) ∫ ρvdv = Q

: Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu

v

dengan substitusi

r r ∇ • D = ρv maka,

r r (3) ∫ (∇ • D)dv = Q : Integrasi rapat muatan volume dalam volume tertentu adalah muatan didalam volume itu

v

dengan mempersamakan persamaan (1) dan (3) didapat Teorema

Divergensi,

(

)

r r r r ∫ D • dS = ∫ ∇ • D dv = Q S

v


42

Gradien, Divergensi, dan Curl Contoh Aliran Penyelesaian Kasus Dalam Medan Statis... (1) Jika V(x,y,z) diketahui, maka medan listrik (E) didapat….

r r E = −∇V

(2) Jika medan listrik (E) didapat, maka rapat fluks (D) bisa dicari r ….. r ε = konstanta permitivitas bahan D = εE (3) Kemudian rapat muatan volume didapatkan….

r r ρv = ∇ • D

(4) Muatan dalam volume tertentu didapatkan ….

Q = ∫ ρv dv (5) Akhirnya ….kita dapatkan kapasitansinya…. C =

Q V 43


Gradien, Divergensi, dan Curl ¾ Curl / Pusaran Curl adalah integral garis yang membatasi luas yang sangat kecil • Curl adalah Cross Product, sehingga hasilnya adalah Vektor • Definisi dan Simbol r r simbol H • dL

r r ∇×H

∫

r H

lim L

r H

∆S→0

dS r H

r H r J

dL

∆S

• Curl digunakan untuk mengetahui medan vektor menembus permukaan diferensial yang sangat kecil, yang menyebabkan pusaran medan lain • Perhatikan gambar di samping !! , rapat arus J yang menembus permukaan dS menimbulkan suatu pusaran medan magnetik H r r r

∇× H = J


44

Gradien, Divergensi, dan Curl • Pada Koordinat Kartesian,

Curl...

r r ⎡∂ ∂ ∂φ ⎤ ∇ × H = ⎢ aˆ x + aˆ y + aˆ z ⎥ × Hxaˆ x + H yaˆ y + H zaˆ z ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂x aˆ x aˆ y aˆ z

[

=

]

∂ ∂ ∂ ∂x ∂x ∂x H x H y Hz

⎡ ∂H ∂H ⎤ ⎡ ∂H ∂H ⎤ ⎡ ∂H ∂H ⎤ = ⎢ z − y ⎥aˆ x + ⎢ x − z ⎥aˆ y + ⎢ y − x ⎥aˆ z ∂z ⎦ ∂x ⎦ ∂y ⎦ ⎣ ∂z ⎣ ∂y ⎣ ∂x

Vector Product !!


45

Gradien, Divergensi, dan Curl Rumus umum untuk pusaran ...

Tugas : Silakan cari rumus curl untuk koordinat tabung dan koordinat bola !! EE2823 - Elektromagnetika I - Analisis Vektor dan Fasor

Curl...

46

Gradien, Divergensi, dan Curl Penurunan Teorema

r r (1) ∫ H • dL = I

Stokes ….

Curl...

S

r r (2) ∫ J • dS = I S

r r

r

dari persamaan (1) dan (2), dan dari definisi∇: × H = J maka didapat Teorema Stokes,

(

)

r r r r r ∫ H • dL = ∫ ∇ × H • dS L

S

Bandingkan dengan Teorema Divergensi,

(

)

r r r r ∫ D • dS = ∫ ∇ • D dv = Q S

v


47

I. Berbagai Hubungan Matematis


48

Analisis Vektor dan Fasor

Recommend Documents