ANALISIS KINEMATIKA: Sistim Koordinat, Analisis Vektor dan Analisis Posisi 1
KINEMATIKA DAN DINAMIKA TEKNIK
SISTIM KOORDINAT DAN ANALISIS VEKTOR
2
Koordinat Kartesian Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan sebagai, (x, y dua dimensi)
atau (x, y, z tiga dimensi).
z
y
A (x, y, z)
A (x, y) x
z
y 0
0 x
y
x
y
x 3
Vektor Posisi Letak materi (partikel) dalam sistem koordinat dapat dinyatakan sebagai bentuk vektor posisi.
Letak titik A dapat
z
dinyatakan A (x, y, z)
persm vektor,
R
i x
k 0
dengan
R = x i + y j + z k, (3 dimensi), jika dua
j
y
dimensi, (z = 0) sehingga menjadi,
R = x i + y j. 4
Kecepatan
dR dx dy dz v i j k dt dt dt dt dx dy dz v i j k dt dt dt Besar kecepatan, 2
2
dx dy dz v dt dt dt 2 2 2 vx v y vz
2
2
5
Percepatan dv d dx dy dz a i j k dt dt dt dt dt d 2x d2y d 2z a 2 i 2 j 2 k atau dt dt dt dv y dv x dv z a i j k a ax i a y j azk dt dt dt Besar percepatan, 2
2
d x d y d z a 2 2 2 dt dt dt 2
2
2
2
a a x2 a y2 a z2 6
Persamaan Gerak Perpindahan, R = Ro + vo t + ½ a t2
Kecepatan, v = vo + a t Nilai kecepatan, v2 = vo2 ± 2 a R
7
Koordinat Kutub dan Vektor Posisi y
r
rˆ 0
θ
r, θ
Koordinat kutub, menyatakan
A
letak suatu titik ditentukan oleh besarnya sudut (θ) terrˆ hadap sb. x dan jarak titik
x yang bersangkutan (r) terhadap acuan (0).
letak titik A dinyatakan sebagai, A (r, θ) Vektor 0A dinyatakan sebagai 0A = r = r
rˆ
vektor satuan dalam arah vektor 0A. 8
Vektor Satuan Koordinat Kutub y
Koordinat kutub, memiliki vektor satuan rˆ dan ˆ yang saling tegak lurus.
rˆ
ˆ 0
θ
x
Masing-masing vektor dapat diuraikan pada sumbu x dan y menjadi,
rˆ i cos j sin , ˆ i sin j cos
dan
Perubahan dari rˆ dan memiliki hubungan drˆ i sin d j cos d ˆ d dˆ i cos d j sin d rˆ d 9
Kecepatan d (r rˆ) drˆ dr d dr ˆ ˆ ˆ r r r r Kecepatan v = dt dt dt dt dt
dr Kecepatan, rˆ ,gerak yang menjauhi titik 0. dt d ˆ Kecepatan, r r ˆ , gerak menglilingi dt titik 0.
d dr ˆ Gerak r rˆ 0, memberikan bentuk linta dt dt san lengkung. dr Gerak rˆ 0, memberikan bentuk gerak melingkar dt 10
d ˆ Gerak r 0 memberikan bentuk gerak lurus dt
d dr ˆ Kecepatan, v r rˆ dt dt
d dr Kelajuan, v r dt dt 2
2
11
Percepatan d d ˆ dr a r dt dt dt
rˆ
dr d ˆ d 2 ˆ d dˆ d 2 r dr drˆ 2 r r 2 rˆ dt dt dt dt dt dt dt dt
dr d ˆ d 2 ˆ dθ d d 2r dr d ˆ 2 r r rˆ 2 rˆ dt dt dt dt dt dt dt dt 2 2 2 dr d d ˆ d r d 2 r 2 r rˆ dt dt
dt
dt
dt
a a ˆ ar rˆ 12
Percepatan, a ˆ percepatan yang menyinggung lintasan, atau a tangensial.
Percepatan, a r rˆ percepatan yang tegak lurus lintasan, atau a normal (menuju pusat kelengkungan).
13
Penurunan besaran dengan bentuk Lain Vektor posisi (koordinat kutub), diubah menggunakan vektor satuan sistem koordinat kartesian. y
0
Perpindahan sudut, θ = ω t. (r,θ)
r = i r cos ωt + j r sin ωt
r
Panjang (atau besar) r,
θ
r r cos t r sin t r
x
2
2
2
2
dr d Kecepatan, v i r cos t j r sin t dt dt
dr dr v i cos t i r sin t j sin t j r cos t dt dt 14
2
2
dr dr v cos t r sin t sin t r cos t dt dt dv Percepatan, a dt d dr dr a i cos t i r sin t j sin t j r cos t dt dt dt
d 2r dr dr i 2 cos t i sin t i sin t dt dt dt d 2 i r cos t i r sin t dt d 2r dr dr j 2 sin t j cos t j cos t dt dt dt d 2 j r sin t j r cos t dt
15
d 2r dr d 2 a i 2 cos t i 2 sin t i r cos t i r sin t dt dt dt d 2r dr d 2 j 2 sin t j 2 cos t j r sin t j r cos t dt dt dt Besar percepatan menjadi, a2 = [- (d2r/dt) cos ω t – 2 (dr/dt) ω sin ω t – r ω2 cos ω t – r (dω/dt)]2
+ [(d2r/dt2) sin ω t + 2(dr/dt) ω cos ω t - r ω2 sin ω t + r (dω/dt)]2
16
Contoh Batang tegar panjang ℓ bersandar (bertumbu) pada dinding vertikal dan lantai mendatar. Bila ujung lain yang bersandar pada dinding vertikal turun dengan kecepatan tetap v. Carilah kecepatan sudut serta percepatan sudut ujung batang tersebut turun sebagai fungsi sudut (θ) (lihat gambar ). Penyelesaian.
y θ
ℓ
Dari gambar di samping dapat dinyatakan sebagai y = ℓ cos θ. Kecepatan turun berarti,
dy d d cos sin dt dt dt sin
17
v Sehingga menjadi v = - ℓ ω sin θ atau sin Percepatan, a
d d 2 ( sin ) cos sin dt dt
Turun dengan percepatan tetap berarti,
d cos sin 0 atau 2 cos sin dt 2 v Sehingga 2ctg atau 2 2 sin tan 2
18
ANALISIS POSISI
19
PENDAHULUAN Sintesis kinematika: Proses untuk mencari parameter mekanisme yang dibutuhkan oleh output Analisis Kinematika: proses untuk mencari output gerak yang diberikan oleh parameter mekanisme
20
PROSES ANALISIS KINEMATIKA
Make a skeletal representation of the real mechanism. Find its mobility. Choose a coordinate system. Identify all links by numbers. Identify all angles characterizing link positions. Write a loop-closure equation. Identify input and output variables. Solve the loop-closure equation. Check the results by numerical analysis.
21
KASUS 1: ENKOL LUNCUR Penjumlahan vektor posisi:
Setiap vektor dapat diwakili oleh:
22
Sehingga pers. Posisi menjadi:
23
SEKIAN
