ANALISIS VEKTOR & SISTIM KOORDINAT. Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1 1

ANALISIS VEKTOR & SISTIM KOORDINAT Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

1

SKALAR DAN VEKTOR Besaran fisis dalam Fisika: • Skalar : besaran yang hanya memiliki nilai. • Vektor : besaran yang memiliki nilai dan arah. Besaran skalar dan vektor masing-masing memiliki medan yang disebut dengan Medan Skalar dan Medan Vektor. Medan skalar adalah: sebuah fungsi (medan) yang menghasilkan nilai tunggal pada setiap titik dalam ruang. Namun nilai tunggal pada setiap titik tsb. tidak cukup untuk mengkarakterisasi besaran lainnya seperti kecepatan angin (selama arah pada setiap titik dalam ruang sangat perlu). Contoh medan skalar: Potensial listrik, temperatur, tekanan atmosfir, ketinggian, kedalaman, dll.

Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

2

Representasi Medan Skalar Medan Skalar .  Fungsi Skalar:  Contour Maps (pers. diatas pada bidang x-y, z

 Kode warna (temperatur: setiap lokasi berkaitan dengan nilai). Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

 Relief Maps 3

Representasi Medan Vektor Medan Gravitasi

Medan Vektor. Medan vektor adalah: sebuah fungsi (medan) yang memiliki besar dan arah dalam ruang. Contoh: kecepatan, momentum, percepatan, gaya, aliran fluida, sirkulasi, medan gravitasi, medan listrik, medan magnetik, dll.

Bumi

Uniform pd perm. bumi

Medan Listrik muatan – dan + Gerakan salju

Sirkulasi

Aliran Fluida


Medan Magnetik magnet batang 4

OPERASI VEKTOR A. Aljabar Vektor

 Notasi Vektor A : A, atau A  Misalkan A  A x î  A y ˆj  A z kˆ dan B  B x î  B y ˆj  B z kˆ (koordinat kartesis)   A  B  A x  B x î  A y  B y ˆj  A z  B z kˆ Sifat-sifat Penjumlahan dan pengurangan vektor

   C  A B     A  B  B  A (Hukum Komutatit)       A  B  D  A  B  D (Hukum Assosiatif )     A B  A  B



    

Metode Penjumlahan/Pengurangan:  Geometri (Ujung suatu vektor ke pangkal vektor lain)  Analitik (semua vektor pada satu titik pangkal yang sama (besar dan arahnya sama), proyeksikan pada setiap sumbu, hitung resultannya) Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

5

Perkalian vektor (Dot)     A  B  A B cos   A x B x  A y B y  A z B z   ij Ai B j     A .B  B . A (Hukum Komutatif)        A . ( B  C )  A . B  A . C (Hukum Distributi f)      2 2 2 1/ 2 2 A . A  A , A  A  A  A x   A y   A z     adalah sudut antara A dan B    Misalnya C  A  B , maka resultan       C 2 R  C  C . C  (A  B ) . (A  B )         A .A  B .B  2 A .B A



θ AB



B AB

C 2  A 2  B 2  2 A B cos    adalah sudut terk ecil A dan B  (180 -  )

 - cos θ AB , sehingga C 2  A 2  B 2  2 A B cos θ AB Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

6

Perkalian vektor (Cross)       A x B  aˆ n A B sin    ijk A j B k aˆ i ,  adalah sudut antara A dan B          cA A xA  0 c  A X  X     B; A  B A A            C xA B xA   A xB C  A xX  X     kA A A        A x (B  C )  A x B  A x C k sembarang vektor       AxB A x (B x C )  (A x B ) x C B          A x B xC  B A  C  C A  B B sin AB aˆn 



 

 



A

AB

î

  A x B  Ax Bx Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

ˆj Ay By

kˆ

Ax

   A z , A .B x C  B x Bz Cx

Ay

Az

By

Bz

Cy

Cz 7

î   AxB  A x Bx

ˆj Ay By

kˆ A z  î ( A yBz  A zB y )  ˆj( A zB x  A xBz )  kˆ( A xB y  A yB x ) Bz

Jika sebuah vektor resultan (R) didefenisikan sebagai    ˆ R  R x i  R y ˆj, maka tg  

Ry Rx

, sin  

Ry R

, cos 

Rx R

Jika sebuah vektor resultan (R) didefenisikan sebagai    ˆ R  R x i  R y ˆj  R zkˆ, maka cosinus arah didefenisikan sebagai : cos  

Ry Rx R , cos   dan cos   z R R R

Perumusan sudut-sudut ini penting untuk menentukan arah dari resultan Gaya F (dalam Hukum Coulomb) dan Medan Listrik E, dll. Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

8

Identitas Aljabar Vektor secara umum :     A.B  B. A   ij Ai Bi  AB cos      AxB   BxA   ijk A j Bk iˆ       A.( BxC )  ( AxB).C              Ax( BxC )  B( AxC )  C ( A.B)  BA.xC  CA.B          Ax( BxC )  B (CxA)  Cx( AxB )  0                 ( AxB ).(CxD)  A.[ Bx(CxD)]  ( A.C )( B.D)  ( A.D )( B.C )             ( AxB ) x(CxD)  ( AxB.D )C  ( AxB.C ) D

Diferensiasi Vektor Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

   d da dA ( aA )  Aa dt dt dt      d dB d A  ( A.B )  A.  .B dt dt dt      d dB dA  ( Ax B )  Ax  xB dt dt dt

9

Identitas Analisis Vektor secara umum : Gradien 1. ( fg )  fg  gf           2. ( A.B)  Ax(xB)  Bx(xA)  ( A.) B  ( B.) A  f  g f  f g 3.    g2 g Divergensi    1. .( fA)  f (. A)  A.(f )       2. .( AxB)  B.(xA)  A.(xB)  A  g (.A )  A.(g ) 3. .   2 g g   4. .f   2 f  5..(xA)  0 Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

10

FUNGSI DELTA DIRAC [1] 0, jika x  0 1.  ( x)   , jika x  0 

2.   ( x )dx  1 

3. Jika f ( x ) fungsi biasa dan kontinu (bukan fungsi delta) dan f ( x) ( x)  0 dimana - mana, kecuali pada x  0, maka f ( x ) ( x)  f (0) ( x ), dan 

4.



 f ( x) ( x)dx  f (0)   ( x)dx  f (0)





 0, jika x  a  5.  ( x  a )    dengan   ( x  a )dx  1 , jika x  a   6. Butir 3 menjadi f ( x ) ( x  a )  f (a ) ( x  a ) 

7. Butir 4 menjadi

 f ( x) ( x  a)dx  f (a)   ( x)dx  f (a) 




 11

1.  3 (r )   ( x) ( y ) ( z )

[3]

  

2.

3

 (r )d 

 all space

3.



    ( x) ( y ) ( z )dxdydz  1    

f (r ) 3 (r  r0 )d  f (r0 )

all space

 rˆ  4. . 2   4 3 (r ), dimana r  r - r0 r  rˆ 1 5.     2 r r 1 6.  2  4 3 (r ) r Contoh :  rˆ  Tentukan integral J   (r 2  2). 2 d r  V 1. J   (r 2  2)4  3 (r )d  4f (0)  4 (2)  8 V

2. Dengan menggunakan teorema divergensi .(fA)  f(.A)  A.(f) Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

 f (.A)d    A.(f )d   .( fA)d  8 (Buktikan) V

V

V

12

Curl

   1. x( fA)  f (xA)  Ax(f )           2. x( AxB )  ( B.) A  ( A.) B  A(.B )  B(. A)  A  g (xA)  Ax(g ) 3. x   2 g g   4.xf  0      2 5.x(xA)  (. A)   A  . A  .A


13

Identitas Khusus :   ˆ Misalkan r  xiˆ  yˆj  zk (vektor jarak), k : vektor konstan, maka       r ( 1 )..r  3, ( 2 ).x r  0 , ( 3 ).(k .r )  k , ( 4 ). r   r    r -r ' ( 5 ).( r -r ' )     '( r -r ' ), r -r '   1    1  r 1  r -r '    ( 6 ).      3 , ( 7 ).       3  '     r r   r -r '  r -r '  r -r '     r      1    1 r r ' 2 2     ( 8 )..  3       4πδ(r ), ( 9 )..   3        4πδ(r -r ') r   r -r '  r   r -r '           r    r      k  1  k . r             ( 10 )..    k .      3 , ( 11 ).x k x  3   k  3 jika r  0   r    r  r   r  r                  2 1  2 k     ( 12 ).     k      4πk δ(r ), ( 13 ).x(k xA)  k (.A)  k x(xA)-(k .A) r  r  Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

14

B. Gradien Medan Skalar

Misalnya : medan skalar   (x, y, z), s  jarak  u

 

 d dalam arah u ds

 konstan tegak lurus pada perm  = konstan


maka turunan arah (directional derivative) : d  dx  dy  dz    ds x ds y ds z ds     a b c x y z   ˆ    u.i      x 

 ˆj     kˆ    u.  y     z 

   ˆ   ˆ   ˆ   grad   i    j    k    x   y   z   d Turunan arah;   . u ds 15

 u

 

 d dalam arah u ds

 konstan tegak lurus pada perm  = konstan

d   cos  ds d maksimum pada   0 ds d memiliki laju pengurangan ds maksimum pada   180 d sehingga   ds

Jadi: Gradien suatu fungsi skalar adalah suatu vektor yang turunan arahnya maksimum pada titik yang ditinjau dan arah vektornya adalah arah dari turunan maksimum di titik tersebut


16

C.Integral: Garis, Permukaan Integral Garis

 F

  W  Fd cos   F . d   dW  F . d

b

d

b 

a

W   F . d

C

a dl tergantung pada sistim koordinat: kartesis, silinder atau bola

  Jika C merupakan lintasan tertutup =  F . d  d c

1

e

a


2

b

 b  F . d    dW  W ( b )  W (a )

b a

a

W (a )  W ( b ) W(a)  W(b)

 F konservati f  F non konservati f 17

Integral Permukaan

 Jika permukaan terbuka

   F . a n dS S

 Jika permukaan tertutup

 an

 an dS

dS dS

dS

 an

dA

 an

 tergantung pada arah permukaan terbuka tersebut bergerak

 an

 an selalu keluar dari bidang / vol     sehingga  F . dS   F . an dS S

 Jika permukaan Disk

 an

S

S

an  konstan Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

18

Integral Permukaan ( nˆ dS ) Mis : Permukaan S adalah tempat kedudukan semua titik dengan vektor kedudukan  r  x(u , v)iˆ  y (u , v) ˆj  z (u , v) kˆ  r (u , v) r du u r drv  dv, maka v  r r  nˆ dS  dru xdrv    x dudv   u v  dru 

 Koordinat Kartesis Parameter bidang S  ( x dan y ) sebab bidang S normal terhadap bidang xy nˆ 

 , dan nˆ.kˆ dapat ditentukan 


19

 Koordinat Silinder Sumbu simetri : z , sehingga parameter bidang S   dan z x  r cos  , y  r sin  , z  z iˆ

 r r  nˆ dS   x dudv    r sin   u v  0



ˆj r cos  0

kˆ 0 ddz 1



 r cos  iˆ  sin  ˆj ddz  cos  iˆ  sin  ˆj rddz





 Koordinat Bola Sumbu simetri : di titik asal, sehingga parameter bidang S   dan  x  r sin  cos  , y  r sin  sin  , z  r cos   r r  nˆdS   x dudv   r 2 iˆsin  cos    ˆj sin  sin    kˆcos   sin  dd   u v   xiˆ  yˆj  zkˆ r sin  dd 










20

Integral Volume

 Jika F adalah vektor dan  adalah skalar, maka integral volumenya adalah : J    dV

(Skalar)

V

  K   F dV

(vektor)

V


21

D. Divergensi  Divergensi suatu medan vektor F pada suatu titik :    . F atau (dif F) adalah : total fluks per satuan volume dimana v  0   F .dS  1     . F  lim  lim  F .dS Δv  0 v 0 V v

Teorema Divergensi  Integral volume dari divergensi medan vektor F  total fluks yang keluar melalui permukaan yang mengikat volume tersebut.      V  . F dV  S F . dS  S F . n dS (Aplikasi Hukum Gauss)      integral seluruh volume V

integral seluruh permukaan S yang menutupi V


22

E. Curl  Mis : F adalah medan vektor, maka sirkulasi didefenisikan dengan   integral garis  F . d  disekitar bidang kurva tertutup, dan  1   komponen  x F sepanjang sumbu adalah : lim F .d   dA 0 dS          F .d    (xF ) . ndS   (xF ) . k dx dy (mis n dS  k dxdy) dA

A

A

  1   sehingga (xF ) . n  lim F .d  dA 0 dS 

Teorema Stokes

  C F .d  

integral disekitar kurva tertutup C dibatasi permukaan S

    (xF ) . n dS , Aplikasi : Hukum Ampere S    integral seluruh permukaan S


23

Aplikasi Teorema Stokes Integral Garis

 Hukum Ampere b    B.d   0 I enc a

  dx (arah iˆ)   (arah ˆj) Kartesis d   dy    dz (arah kˆ)     dr (arah rˆ)      d  Cylinder d   rd (arah ˆ) dimana (0    2 )    dz (arah kˆ))      dr (arah rˆ)    dimana (0     ) Bola d   rd ˆ (arah )   (0    2 )     r sin  d (arah ˆ))     Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

24

Aplikasi Teorema Divergensi Integral Permukaan

Hukum Gauss :   q  E.dS   0

  dydz (x konstan)   Kartesis dS   dxdz (y konstan)   dxdy (z konstan)     rddz (r konstan)     dS  Cylinder dS   drdz ( konstan)dimana (0    2 )  rdrd (z konstan)        r 2 sin  dd (r konstan)    dimana (0     ) Bola dS   r sin  drd ( konstan) (0    2 )    rdrd  (  konstan)    Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

25

SISTIM KOORDINAT ORTHOGONAL Misalkan u1, u2 dan u3 adalah permukaan-permukaan yang konstan, dan au1, au2 dan au3 adalah vektor satuan pada permukaan-permukaan ybs. Ketiga bidang ini saling tegak lurus satu sama lain sehingga disebut sistim koordinat orthogonal. Elemen Panjang/Garis (dl) perubahan (elemen) panjang pada arah tertentu dapat dituliskan sebagai

d  hi d ui , dimana hi adalah koefisien metrik Perubahan elemen panjang dalam sembarang arah dapat ditulis sebagai:

dl  aû1dl1  aû 2 dl2  aû 3dl3  aû1 h1d u1   aû 2 h2 d u 2   aû 3 h3 d u 3  Magnitudonya dituliskan sebagai :

 dl  h d

2

2

2

dl  dl1   dl2   dl3  1



2 2 2       h d  h d u1 2 u2 3 u3 


26

Elemen Permukaan/Luas (dS)

dS  aˆ n dS Luas penampang (cross section) : tegak lurus terhadap aliran arus atau fluks, sehingga diferensial luasnya menjadi sebuah vektor yang tegak lutus (normal) terhadap permukaan.

dS1  h2 h3d u 2 d u 3  dS1  dl2 dl3  dS 2  h1h d u1d u 3  dS3  h1h2 d u1d u 2 Elemen Volum (dV)

dV  h1h2 h3 d u1d u 2 d u 3 Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

27

Elemen Volum (dV): dapat juga ditentukan dari determinan matriks Jacobi / Faktor Jacobi

Misalkan : x x x x  x(u , v, w), dx  du  dv  dw u v w y y y y  y (u, v, w), dy  du  dv  dw u v w z z z z  z (u, v, w), dz  du  dv  dw u v w  x, y, z  dV  dxdydz  J dudvdw  u , v, w  x u y  x, y, z  J   det u  u , v, w  z u Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

x v y v z v

x w y  det matriks Jacobi/Faktor Jacobi w z w 28

 Kartesis : dV  dxdydz  Silinder (r ,  , z ) x r x  r cos   y   x, y, z  y  r sin  J   det r   r , , z  zz z  r dV  rdrddz  Bola

x  y  z 

x r x  r sin  cos   y   x, y, z  y  r sin  sin  J   det r   r, , z  z  r cos   z r

x z cos  y  det sin  z 0 z w

x  y  z 

 r sin  r cos  0

x  sin  cos  y  det sin  sin   cos  z 

0 0 r 1

r cos  cos  r cos  sin   r sin 

 r sin  sin  r sin  cos  0

 r 2 sin  dV  r 2 sin  drdd Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

29

Koordinat Kartesis (xˆ, yˆ, zˆ) atau (î, ˆj, kˆ)

Kerangka acuan Koordinat permukaan konstan

Vektor satuan Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

Elemen volum 30

1. Koefisien metrik h1=h2=h3=1 2. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian: Slide 5 s/d 8 3. Jarak antara 2 titik. Misalkan titik p1(x1, y1,z1) dan p2(x2.y2,z3), maka jarak antara titik p1 dan p2 dituliskan sebagai:

x1  x2 

x1  x2 2   y1  y2 2  z1  z2 2

4. Elemen Garis, Luas dan Volume dx dalam arah x   d  dxiˆ  dyˆj  dzkˆ,  d  dy dalam arah y dz dalam arah z  dydz (x konstan)   dS  dxdz (y konstan) dxdy (z konstan)   dV  dxdydz Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

31



Koordinat Silinder : rˆ atau ˆ , ˆ, zˆ atau kˆ

Kerangka acuan




Koordinat permukaan konstan

Elemen volum 32

(a ). z : konstan  Koordinat z : bidang - bidang paralel terhadap bidang z  0. Arah sumbu -   z   (b). r : konstan  x 2  y 2 . Koordinat r merupakan sekumpulan permukaan bulatan silinder yang memotong bidang z  konstan secara tegak lurus. (c).  : konstan  tan -1 ( y / x); (0    2 ) : permukaan yang memotong permukaan (a) dan (b).

Silinder

z zˆ



x Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

ˆ

y

rˆ 33

 Misalkan A  A r rˆ  Aˆ  A z zˆ dan B  B r rˆ  B ˆ  B z zˆ   1. A  B  A r  Br rˆ  A  B ˆ  A z  B z zˆ     2. A  B  A B cos   A r B r  A B  A z B z   ij Ai B j rˆ   3. AxB  Ar Br

ˆ A B

zˆ Az  rˆ( Ar Bz  Az Br )  ˆ( Az Br  Ar Bz )  zˆ ( Ar B  A Br ) Bz

4. Vektor satuan : rˆ  cos  î  sin  ˆj  drˆ ˆ dˆ  ,  rˆ  d ˆ  sin  î  cos  ˆj  d 5. Jarak antara titik p1  (r1 , 1 , z1 ) dan p 2  (r2 , 2 , z 2 ). Transformasikan titik p ke dalam vektor kartesian, x1  x1iˆ  y1 ˆj  z1kˆ, x 2  x2iˆ  y2 ˆj  z 2 kˆ x i  ri cos i , yi  ri sin i (i  1,2), sehingga x1 - x 2  r12  r22  2r1r2 cos (1  2 )  ( z1  z 2 ) 2 Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

34

6. Koefisien metrik h1  1, h 2  r , h 3  1 7. Elemen Garis, Luas dan Volume dr dalam arah r   d  dr rˆ  rd ˆ  dz zˆ,  d  rd dalam arah  dz dalam arah z  rddz (r konstan)   dS  drdz ( konstan) rdrd (z konstan)   dV  rdrddz


35



Koordinat Bola : rˆ, ˆ, ˆ



(a ). r : konstan  x 2  y 2  z 2  jari - jari bola terhadap titik pusat

Kerangka acuan Koordinat permukaan konstan

(b).  : konstan  cos -1 ( z / r )  bulatan kerucut dengan bukaan sudut  ; (0     ) (c).  : konstan  tan -1 ( y / x)  bidang yang meliputi sumbu kerucut pada (b); (0    2 )


Elemen volum 36

(a ). r : konstan  x 2  y 2  z 2  jari - jari bola terhadap titik pusat (b).  : konstan  cos -1 ( z / r )  bulatan kerucut dengan bukaan sudut  ; (0     ) (c).  : konstan  tan -1 ( y / x)  bidang yang meliputi sumbu kerucut pada (b); (0    2 )

Bola


37

 Misalkan A  A r rˆ  A ˆ  Aˆ dan B  B r rˆ  B ˆ  Bˆ   1. A  B  A r  Br rˆ  A  B ˆ  A  B ˆ     2. A  B  A B cos   A r Br  A B  A B   ij Ai B j rˆ

  3. AxB  Ar Br

ˆ A B

ˆ A  rˆ( Ar B  A Br )  ˆ( A Br  Ar B )  ˆ( Ar B  A Br ) B

4. Vektor satuan :  drˆ ˆ drˆ ˆ  d   , d  sin   rˆ  sin  cos  î  sin  sin  ˆj  cos  kˆ     dˆ dˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   cos  cos  i  cos sin  j  sin  k    cos   ,  rˆ d   d ˆ ˆ ˆ   sin  i  cos  j   ˆ d    sin  rˆ  cos  ˆ  d Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

38

5. Jarak antara titik p1  (r1 , 1 , 1 ) dan p 2  (r2 ,  2 , 2 ). Transformasikan titik p ke dalam vektor kartesian, x1  x1iˆ  y1 ˆj  z1kˆ, x 2  x2iˆ  y2 ˆj  z 2 kˆ x i  ri sin i cos i , y i  ri sin i sin i , z1  ri cos i (i  1,2), sehingga x1 - x 2  r12  r22  2r1r2 sin1 sin 2 cos (1  2 ) 6. Koefisien metrik h1  1, h 2  r , h 3  r sin θ 7. Elemen Garis, Luas dan Volume dr dalam arah r  ˆ ˆ ˆ  d  dr r  rd   r sin θ d ,  d  rd dalam arah  r sin θ d dalam arah   r 2 sin θdd (r konstan)   dS  r sin θ drd ( konstan) rdrd ( konstan)   dV  r 2 sin θdrdd Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

39

Hubungan sistim Koordinat Vektor dasar Koefisien metrik Elemen Volume Elemen Garis Elemen Luas

Koordinat Silinder (, , z)

Koordinat Bola (r, , )

au1 au2 au3 h1 h2 h3 dV

Koordinat Kartesis (x,y,z) ax = î ay= ˆj az = kˆ 1 1 1 dx dy dz

a = ˆ a = ˆ az = zˆ 1 r 1 r dr d dz

ar = rˆ a = ˆ a = ˆ 1 r r sin r2 sin drdd

dlu1 dlu2 dlu3 dSu1 dSu2 dSu3

dlx = dx dly= dy dlz= dz dSx = dydz dSy = dzdx dSz = dxdy

dlr = dr dl= rd dlz= dz


dlr = dr dl= r d dl= r sind dsr = dAr = r d dz dsr = dAr = d = r2sin d d ds = dA = dr dz ds = dA = dr = r sin dr d dsz = dAz = r dr d ds = dA = dr = r dr d 40

Gradien

   (u1u2u3 )  uˆ1  uˆ2  uˆ3 h1u1 h2u2 h3u3 Kartesis

Silinder

Bola Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

  î

 ˆ  ˆ  j k x y z

 ˆ 1  ˆ    ˆ  k    z

 ˆ 1  ˆ 1    rˆ   r r  r sin   41

Divergensi

.V(u1, u2, u3 ) 

Kartesis

1 h1h2h3

Vx Vy Vz .V    x y z

Silinder

Bola

     ( V h h )  ( V h h )  ( V h h ) 3 1 2   u 1 2 3 u2 2 3 1 u  1  3

1  1 V Vz .V  (V )       z

V    2  .V  sin  (r Vr )  r (sin V )  r   2  r     r sin   


1

42

Curl

î   Kartesis xV  x Vx

u1h1 u2h2 u3h3  1    xV  h1h2h3 u1 u2 u3 h1V1 h2V2 h3 V3

ˆj  y Vy

kˆ  z Vz

ˆ  1  Silinder xV    V

ˆ   V

rˆ  1  Bola xV  r 2 sin  r Vr Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

zˆ  z Vz

r ˆ r sin  ˆ     rV r sin  V 43

Laplace

.(u1, u2, u3 ) 

Kartesis

1 h1h2h3

 2 

   h2h3     h3h1     h1h2               u1  h1 u1  u2  h2 u2  u1  h3 u3 

 2 x

Silinder

2



 2 y

2



 2 z2

2 2 1    1       2           2 2 z2

2         1    2    2 Bola    sin   r   sin       2 2 r  r      sin    r sin  

1


44

Transformasi Koordinat Misalkan vektor A dinyatakan sbb : A  A iˆ  A ˆj  A kˆ (Kartesis) x

y

z

 A r rˆ  Aˆ  A z kˆ

(Silinder)

 A r rˆ  A ˆ  Aˆ

(Bola)

Misalkan diketahui vektor A (dalam koordinat kartesis), ingin ditransformasikan ke koordinat silinder, maka komponen masing - masing arah ditentukan dengan melakukan inner product dengan vektor satuan yang bersesuaian :  Ar  A.rˆ  A iˆ.rˆ  A ˆj.rˆ  A kˆ.rˆ i

y

z

Tabel berikut adalah Transformasi koordinat ybs. Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

45

Tabel 1. Transformasi Koordinat untuk Koordinat Kartesis Kartesis Silinder iˆ  cos  rˆ  sin  ˆ ˆj  sin  rˆ  cos  ˆ

Bola  sin  cos  rˆ  cos  cos  ˆ  sin  ˆ  sin  sin  rˆ  cos  sin  ˆ  cos  ˆ

kˆ x

 kˆ  r cos 

y z Ax

 r sin   r sin θ sin   z  r cos θ  Ar cos   A sin   Ar sin θ cos   Aθ cos θ cos   A sin 

Ay

 Ar sin   A cos   Ar sin θ sin   Aθ cos θ sin   A cos 

Az

 Az


 cos  rˆ  sin  ˆ  r sin θ cos 

 Ar cos θ  Aθ sin θ

46

Contoh :

 Diketahui koordinat silinder A  A r rˆ  Aˆ  Az kˆ, maka

dalam koordinat silinder dapat dituliskan sebagai :  A x  A.iˆ  A rˆ.iˆ  A ˆ.iˆ  A kˆ.iˆ r



z

 A r rˆ.(cos  rˆ  sin  ˆ)  Aˆ.(cos  rˆ  sin  ˆ)  Az kˆ.(cos  rˆ  sin  ˆ) A x  A r cos   A sin   A y  A. ˆj  A r rˆ. ˆj  Aˆ. ˆj  Az kˆ. ˆj  A r rˆ.(sin  rˆ  cos  ˆ)  Aˆ.(sin  rˆ  cos  ˆ)  Az kˆ.(sin  rˆ  cos  ˆ) A y  A r sin   A cos   A z  A.kˆ  A rˆ.kˆ  A ˆ.kˆ  A kˆ.kˆ r



z

 A r rˆ.kˆ  Aˆ.kˆ  Az kˆ.kˆ Az  Az Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1

47

Tabel 2. Transformasi Koordinat untuk Koordinat Silinder Silinder rˆs ˆ

Kartesis  cos  iˆ  sin  yˆ

Bola  sin  rˆB  cos ˆ  ˆ

kˆ

  sin  iˆ  cos  yˆ  kˆ

 cos  rˆB  sin  ˆ

rs

 x2  y2

 rB sin 

z Ars

 y  tan 1    x  z  r cos θ  Ax cos   Ay sin   ArB sin θ  Aθ cos θ

A

  Ax sin   Ay cos   A

Az

 Az




 ArB cos θ  Aθ sin θ

48

Tabel 3. Transformasi Koordinat untuk Koordinat Bola Bola

Kartesis

Silinder

rˆB ˆ

 sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos kˆ  cos cos  iˆ  cos  sin  ˆj  sin  kˆ

 sin rˆB  cos  kˆ  cos  rˆ  sin  kˆ

ˆ

 - sin  iˆ  cos  ˆj

 ˆ

rB

 x2  y 2  z2





 z  cos   x2  y 2  z2  1

   

B

2

2  z rs

   cos    1

   2 2   z rs  z

ArB

 y  tan 1     x  Ax sin  cos   Ay sin  sin   Az cos  ArS sin θ  Az cos θ

A

 Ax cos  cos   Ay cos  sin   Az sin   ArS cos θ  Az sin θ

A

  Ax sin   Ay cos




 A 49

CONTOH SOAL LINK KE SUPLEMENT


50

ANALISIS VEKTOR & SISTIM KOORDINAT. Dr.Togar Saragi, Listrik Magnet1 1

Recommend Documents