MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam

matematika,

sistem

koordinat

kartesius

digunakan

untuk

menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis) dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut. Sistem koordinat ini sangat banyak diterapkan dalam kehidupan nyata. Salah satu di antaranya, seperti diilustrasikan pada Gambar 1 berikut.

Gambar 1. 1. Peta Alamat Rumah Buk Dosen Metmatika “A” Afdhal dan Riska ingin berkunjung ke rumah dosen matematikanya. Namun, mereka belum tahu alamat rumahnya secara pasti. Ibu dosennya hanya memberikan informasi bahwa rumahnya berjarak 1,7 km dari Jalan Diponegoro dan berjarak 2 km dari Jalan Sudirman. Afdhal dan Riska berangkat bersama dari kampus, mereka menempuh jalan yang berbeda, warna merah adalah rute perjalanan yang dilalui Afdhal, warna biru adalah rute perjalanan yang dilalui Riska seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 1. Ternyata Afdhal berhasil menemukan rumah Bu dosen itu terlebih dahulu. Mengapa Riska lebih lambat [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

1


menemukan rumah Bu Dosennya? Permasalahan seperti ini dapat diselesaikan dengan menggunakan system koordinat. Suatu garis yang titik-titiknya dikaitkan dengan bilangan-bilangan real disebut garis bilangan real (atau sumbu real). Skala yang ditempatkan pada garis bilangan disebut koordinat garis. Bilangan yang menyatakan suatu titik yang diberikan disebut koordinat titik tersebut, dan titik itu disebut grafik dari bilangan. Untuk merepresentasikan titik pada sebuah bidang dengan pasangan

bilangan, maka ditentukan dua garis bilangan bersilangan dan , dan

tentukan skala pada masing-masing garis itu. Titik potong kedua garis itu digunakan sebagai titik pusat (titik acuan). Bilangan positif ditempatkan pada

sebelah kanan titik garis mendatar dan sebelah atas titik garis ke

vertikal . Sedangkan bilangan negatif ditempatkan pada sebelah kiri titik

garis mendatar dan sebelah bawah titik garis ke vertikal . Biasanya arah

positif ditandai dengan tanda panah pada garis bilangan. Garis disebut

sumbu-x dan garis disebut sumbu-y. Titik disebut titik pusat koordinat.

Dua garis yang bersilangan itu disebut sumbu koordinat. Sebuah titik di bidang, biasanya dinayatakan dengan pasangan berurutan , . Bilangan pada ,

dinamakan absis yang menyatakan jarak titik , ke sumbu , dan bialangan

y menyatakan jarak titik (x, y) ke sumbu x. Sebagai contoh, misalkan sebuah titik , dilukiskan pada Gambar 2 berikut.

Gambar 2. Menyajikan Titik A (a,b) pada bidang kartesius Pada Gambar 2, posisi titik A(a, b) adalah berjarak a satuan ke sumbu y, dan berjarak b satuan ke sumbu x. Sistem koordinat kartesius dapat pula diperluas pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, misalnya dimensi 3, dengan menggunakan tiga sumbu koordinat yang sering disebut sumbu x, sumbu y dan sumbu z. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

2


Istilah kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah nama latin untuk Descartes). Ide dasar ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes yang pada bagian kedua dari tulisannya, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Pada modul 1 ini terdiri atas 2 kegiatan belajar. Tujuan dari kedua kegiatan belajar ini adalah Anda akan menggambarkan sistem koordinat di bidang dan di ruang, kemudian menghitung jarak antara dua titik di bidang dan di ruang dan membedakan sebuah titik yang terletak di antara dua titik lain pada suatu ruas garis dengan perbandingan : .

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

3

4


KEGIATAN BELAJAR 1

SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan di ruang Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang. A. Sistem Koordinat Tegak Lurus 1.1 Koordinat Kartesius di Bidang Agar anda dapat memahami cara menentukan koordinat kartesius di bidang, bacalah ilustrasi dibawah ini. Ilustrasi 1.1 Pernahkah Anda menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain? Perhatikanlah peta pulau jawa berikut ini. y C

B A

A

1

2

3

4 5 6 7 8 Gambar 1. 1.1 Peta Pulau Jawa

9

10

11


x


Jika garis berarah mendatar adalah sumbu X dan garis berarah vertikal adalah sumbu Y, maka Kota Jakarta berada pada koordinat berapa? Pilihlah satu dari empat jawaban di bawah ini. a. (2, C)

c. (2, B)

b. (3, B)

d. (9, A)

Dari ilustrasi 1.1 tersebut dengan menggunakan sistem koordinat anda dapat menentukan letak/ posisi/ koordinat dari suatu wilayah. Agar lebih pahamnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 1.1. Menggambarkan Menggambarkan koordinat Suatu Titik Pada bidang Misalkan kita ingin menentukan koordinat titik 6, −2. Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1.

Gambarlah dua garis yang saling tegak lurus. Garis pertama mendatar (horizontal) beri nama sumbu X dan garis kedua

tegak (vertikal), beri

nama sumbu Y. 2.

Beri nama titik 0 pada titik potong dua sumbu tersebut atau sering juga disebut titik asal/ awal/ pusat (0,0).

3.

Dari titik 0 ke kanan atau ke atas disebut arah positif, maka tulis bilangan

real positif 1,2,3, … dengan jarak yang sama. Dari titik 0 ke kiri atau ke bawah disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real negatif

4.

… , −1, −2, −3 dengan jarak yang sama juga.

Buatlah garis putus-putus vertikal yang melalui bilangan real positif (6) pada sumbu X dan garis putus-putus horizontal yang melalui bilangan real negatif (−2) pada sumbu Y. Pertemuan antara kedua garis putus-putus

tersebut merupakan koordinat dari titik T(6, −2) tersebut.

Dari kegiatan 1.1 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu titik di bidang (dimensi 2). CATATAN (1) Misalkan suatu titik di bidang di tulis , . Bilangan pada , disebut

absis titik yang menyatakan jarak titik , terhadap sumbu . Bilangan pada , disebut ordinat titik T yang menyatakan jarak titik T(x, y) terhadap sumbu Y. Koordinat-koordinat titik T adalah pasangan bilangan terurut (x,y).


5


Sumbu-sumbu datar dan tegak membagi bidang datar menjadi 4 bagian/daerah yang masing-masing disebut kuadran. Sebuah titik T(x, y) terletak pada: • • • •

kuadran I : jika absis x > 0, dan ordinat y > 0, atau Tx, y| > 0, > 0. kuadran II:. Jika absis x < 0, dan ordinat y > 0, atau Tx, y| < 0, > 0

kuadran III : Jika absis x < 0, dan ordinat y < 0, atau Tx, y| < 0, < 0 kuadran IV: Jika absis x > 0, dan ordinat y < 0, atau Tx, y| > 0, < 0. Y

Kuadran II:

Kuadran I

< 0" ! >0 Kuadran II: !

!

> 0" >0

Kuadran II:

< 0" <0

!

X

> 0" <0

Gambar 1.2 kuadran di bidang Perhatikan masalah 1.1 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.1 Gambarlah sepasang sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat A(3, 2), B(−2, 4), C(−4, 2), dan D(−2, -3), serta tuliskan koordinatkoordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.1 kita dapat menyelesaikan masalah 1.1 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.1, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.


6


Gambar 1.3 Jawaban Masalah 1.1 1.2 Koordinat Kartesius di Ruang Lakukanlah kegiatan 1.2 berikut ini agar Anda dapat menentukan koordinat kartesius di ruang (dimensi 3). Kegiatan 1.2. 1.2. Menggambarkan koordinat koordinat suatu titik pada ruang Andaikan kita ingin menggambarkan koordinat suatu titik T6, 2, 3. Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1.

Gambarlah tiga buah garis yang saling tegak lurus. Garis pertama dibuat mendatar (horizontal) dan beri nama sumbu Y. Garis kedua dibuat tegak (vertikal) dan beri nama sumbu Z Z. Sedangkan garis ketiga dibuat miring memotong kedua sumbu Y dan sumbu Z dan diberi nama sumbu x.

2.

Beri nama titik pada perpotongan ke tiga sumbu tersebut. Titik O ini

sering disebut dengan titik asal/ awal/ pusat (0,0,0). 3.

Dari titik 0 pada sumbu yang mengarah miring ke Anda, pada sumbu Y ke kanan, dan

pada sumbu # ke atas disebut arah positif, maka tulis

bilangan real positif 1, 2, 3, … dengan jarak yang sama. Dari titik 0 pada

sumbu X yang miring berlawanan arah dengan Anda, pada sumbu # ke

bawah, dan pada sumbu Y ke kiri disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real

negatif 0, −1, −2, −3 …, dengan jarak yang sama juga.

(Bolehkah satuan jarak bilangan antara sumbu berbeda? Jawabannya boleh. Kenapa?)

4.

Letakkan pena Anda pada bilangan 6 di sumbu , lalu jalankan pena

tersebut ke kanan sejajar dengan sumbu Y sejauh 2 satuan. Selanjutnya jalankan pena Anda tersebut ke atas sejauh 3 satuan. 5.

Dari langkah 4 tersebut maka titik terakhir pada pena Anda tersebut adalah merupakan tempat atau posisi dari titik 6,2,3.


7


Dari kegiatan 1.2 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu titik di ruang (dimensi 3). CATATAN (2) (2) Misalkan sebuah titik di ruang dinyatakan dengan titik , , $. Bilangan

pada , , $ disebut absis titik , , $ yang menyatakan jarak titik T(x, y, z) ke bidang YOZ. Bilangan y pada , , $ disebut ordinat titik , , $ yang menyatakan jarak titik , , $ ke bidang XOZ. Bilangan z pada , , $

disebut aplikat titik , , $ yang menyatakan jarak titik , , $ ke bidang

. Ketiga sumbu , sumbu , dan sumbu # membagi ruang atas tiga bidang koordinat, yaitu bidang yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan

sumbu , bidang # yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu

#, dan bidang # yang dibentuk oleh perpotongan sumbu dengan sumbu #.

Gambar 1.4 adalah satu bentuk penggambaran ke tiga sumbu koordinat di ruang dimensi tiga.

Gambar 1.4 Sistem koordinat kartesius di ruang Ketiga bidang , #, dan # membagi ruang menjadi 8 bagian/daerah

yang masing-masing disebut oktan. Suatu titik , , $ di ruang dimensi tiga dikatakan terletak pada: • • • •

Oktan I : jika absis x > 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| > 0, > 0, $ > 0 Oktan II : jika absis x < 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| < 0, > 0, $ > 0 Oktan III : jika absis x < 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| < 0, < 0, $ > 0. Oktan IV : jika absis x > 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| > 0, < 0, $ > 0

dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau


8


• • • •

Oktan V : jika absis x > 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| > 0, > 0, $ < 0.

Oktan VI : jika absis x < 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| < 0, > 0, $ < 0 Oktan VII : jika absis x < 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| < 0, < 0, $ < 0 Oktan VIII : jika absis x > 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| > 0, < 0, $ < 0.

dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau

Gambar 1.4 Pembagian Bidang Sistem koordinat kartesius di ruang Perhatikan masalah 1.2 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.2 Gambarlah sumbu-sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat

A(3, 2, 2), B(−2, 4, −3), C(−4, 2, 1), dan D(−2, −3, −2), serta tuliskan koordinatkoordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.2 kita dapat menyelesaikan masalah 1.2 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.2, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.


9


Gambar 1.5 Jawaban Masalah 1.2 B. Persamaan Bidang Rata Sejajar Bidang Koordinat Lakukanlah kegiatan 1.3 berikut ini agar anda dapat menentukan persamaan bidang rata sumbu koordinat Kegiatan 1.3. 1.3. Menentukan persamaan bidang rata sejajar sejajar bidang koordinat Untuk menentukan persamaan bidang rata sejajar bidang koordinat lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah 8 titik pada ruang sehingga titik-titik tersebut merupakan titik-titik sudut dari balok T(ABCDEFGH), dimana titik-titik tersebut bercirikan sebagai berikut. a. titik A(x,0,0) yang mempunyai ordinat y = 0 dan aplikat z = 0 sehingga titik tersebut berada pada sumbu X. b. titik B(x,y,0) yang mempunyai aplikat z = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang XOY. c. Titik C(0,y,0) yang mempunyai absis x = 0 dan aplikat z = 0, sehingga titik tersebut berada pada sumbu Y. d. Titik D(0,0,0) yang mempunyai x = y = z = 0, sehingga titik tersebut berada pada titik asal. e. Titik E(x,0,z) yang mempunyai y = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang XOZ f. Titik F(x,y,z) yang titik tersebut sejajar sumbu Y dengan titik E dan tegak lurus sumbu Z dengan titik B sehingga titik tersebut sama panjang dengan garis AE. g. Titik G(0,y,z) yang mempunyai x = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang YOZ h. Titik H(0,0,z) yang mempunyai x = y = 0 sehingga titik tersebut berada pada sumbu Z. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

10


2. Dari ciri-ciri titik di atas Anda dapat menggambar sebuah balok bukan? 3. Coba bandingkan hasil gambar yang Anda buat dengan gambar teman di samping Anda, apakah sama atau berbeda? Setelah melakukan kegiatan di atas, selanjutnya kerjakanlah latihan berikut ini.

Rangkuman 1. Sistem koordinat kartesius pada bidang (dimensi 2) ditentukan dari dua garis XY yang saling tegak lurus. Garis X yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut absis dan garis Y yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut ordinat, serta 0 adalah titik potong dari sumbu XY. Y

X

2. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 4 kuadran. Y Kuadran II: < 0" ! >0 Kuadran II: !

< 0" <0

Kuadran I !

> 0" >0

Kuadran II: !

X

> 0" <0

3. Sistem koordinat kartesius pada ruang (dimensi 3) ditentukan dari tiga garis XYZ yang saling tegak lurus. Garis X yaitu garis yang memotong sumbu Y dan Z disebut absis dan garis Y yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut ordinat dan garis Z yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut aplikat, serta 0 adalah titik potong dari sumbu XYZ.


11


4. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 8 oktan, yaitu Oktan I : jika absis x > 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| > 0, > 0, $ > 0 Oktan II : jika absis x < 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| < 0, > 0, $ > 0 Oktan III : jika absis x < 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| < 0, < 0, $ > 0. Oktan IV : jika absis x > 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| > 0, < 0, $ > 0 Oktan V : jika absis x > 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| > 0, > 0, $ < 0.

Oktan VI : jika absis x < 0, ordinat y > 0, Tx, y, z| < 0, > 0, $ < 0 Oktan VII : jika absis x < 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| < 0, < 0, $ < 0 Oktan VIII : jika absis x > 0, ordinat y < 0, Tx, y, z| > 0, < 0, $ < 0.

dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau


12


KEGIATAN BELAJAR 2

JARAK DUA TITIK Setelah mempelajari kegiatan belajar 2 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menghitung jarak dua titik di bidang, 2. menghitung jarak dua titik di ruang, 3. menentukan koordinat titik pada ruas garis dengan perbandingan m:n. A. Jarak Dua Titik di Bidang Agar anda dapat memahami bagaimana cara menentukan jarak dua titik di bidang, bacalah ilustrasi di bawah ini. Ilustrasi 2.1 Perhatikanlah gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1. Tiga anak berdiri membentuk segitiga sikusiku-siku Pada gambar 2.1 tersebut pernahkan anda mengukur berapa jarak yang antara orang A dengan orang B? Untuk menjawab pertanyaan ilustrasi 2.1 tersebut bias diselesaikan dengan menggunakan rumus jarak dua titik di bidang. Untuk menemukan rumus jarak dua titik di bidang, lakukanlah kegiatan 2.1 di bawah ini.


13


Kegiatan 2.1. Menentukan jarak dua titik di bidang Untuk menentukan jarak antara titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) lakukanlah langkahlangkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XY (dimensi 2). 2. Buatlah tiga titik berupa segitiga siku-siku, yang semua titik tersebut berada pada kuadran I. 3. Beri nama segitiga tersebut segitiga PQR, dimana titik tersebut yaitu titik P(x1, y1), titik Q yaitu Q(x2, y2) dan titik R adalah titik R(x2, y1) atau R(x1, y2) dengan titik R sebagai titik sudut siku-siku. 4. Kita akan peroleh |&'| = |) − * | |'+| = |) − * | 5. karena ∆ PRQ merupakan segitiga siku-siku di R maka kita bisa menggunakan Teorema Phytagoras yaitu: |&+|) = |&'|) + |'+|) |&+|) = ) − * ) + ) − * )

&+ = .) − * ) + ) − * ) 6. sehingga kita peroleh jarak antara titik P(x1,y2) ke Q(x2,y2) adalah

/0 = .12 − 13 2 + 42 − 43 2 …(1) Dari kegiatan 2.1 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua

buah titik di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.1 berikut ini. Masalah 2.1 Tentukan jarak antara titik A(4,-7) dan B(-1,5). Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.1 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.1 dengan menggunakan rumus pada persamaan (1) tersebut, sehingga diperoleh 5 = .) − * ) + ) − * )

5 = .−1 − 4) + 5 − −7)

5 = √25 + 144 5 = √169 5 = 13 Jadi, jarak antara titik A ke B adalah 13.


14


B. Jarak Dua Titik di Ruang Lakukanlah kegiatan 2.2 di bawah ini agar anda dapat menetukan jarak dua titik di ruang. Kegiatan 2.2. Menentukan jarak dua titik di ruang Untuk menentukan jarak antara titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius pada bidang XYZ (dimensi 3). 2. Buatlah bangun datar berupa balok, yang semua titik tersebut berada pada oktan I. 3. Beri nama titik balok tersebut dengan titik ABCPQDEF dengan titik P terhubung pula dengan titik B dan titik Q. 4. Kita akan peroleh |& | = |) − * | | 5| = |) − * | |5+| = |$) − $* | 5. Berdasarkan Teorema Phytagoras maka diperoleh PB2 = PA2 + AB2, karena QB ⊥ bidang ABCP, berarti QB ⊥ PB sehingga diperoleh: PQ2 = PB2 + BQ2

PQ2 = PA2 + AB2 + BQ2 PQ2 = ) − * ) + ) − * ) + $) − $* )

6. Sehingga diperoleh jarak antara titik P(x1,x2,x3) dan Q(y1,y2,y3) adalah

…(2) /0 = .12 − 13 2 + 42 − 43 2 + <2 − <3 2 7. selanjutnya jika jarak antara titik asal O(0,0,0) ke titik P(x1,x2,x3) maka diperoleh persamaan:

=/ = .13 2 + 43 2 + <3 2

…(3)

Dari kegiatan 2.2 tersebut anda telah memperoleh rumus jarak antara dua buah titik di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.2 berikut ini. Masalah 2.2 Tentukan jarak antara titik P(1,2,2) dan Q(3,5,4) pada gambar di bawah ini.


15


Gambar 2.2. Balok pada ruang (dimensi 3) Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.2 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.2 dengan menggunakan rumus pada persamaan (2) tersebut, sehingga diperoleh Titik A(1,2,2) dan B(3,5,4) Jarak PA = 2, jarak AB = 3 dan jarak BQ = 2 PQ2 = PB2 + BQ2 PQ2 = PA2 + AB2 + BQ2 PQ2 = 22 + 32 + 22 PQ2 = 4 + 9 + 4

&+ = √17 Jadi, jarak antara titik P ke Q adalah √17. C. Koordinat Titik yang Membagi Ruas Ruas Garis PQ Atas Perbandingan m : n 2.1 Pembagian Luas Garis dalam Bidang lakukanlah kegiatan 2.3 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam bidang. Kegiatan 2.2. Pembagian luas garis dalam bidang Untuk menentukan koordinat suatu titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XY (dimensi 2). 2. Buatlah 3 titik ATB dengan A(x1,y1) dan B(x2,y2) dan T(xt,yt) terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n, seperti terlihat pada gambar dibawah ini.


16


Gambar 2.3. Garis AB pada bidang (dimensi 2) 3. Selanjutnya, Perhatikan ∆AT1T dan ∆AB1B. Karena ∆AT1T sebangun dengan

∆ AB1B maka mengakibatkan AT : AB = RR1 : BB1, sehingga − * = + ) − * ) − * = + − * ) − * = − * + − * + = ) + * + = ) + * ) + * = + 4. Selanjutnya dengan cara yang sama, AT : AB = AT1 : AB1 − * = + ) − * ) − * = + − * ) − * = − * + − * + = ) + * + = ) + * ) + * = + 5. Dari langkah 3 dan 4 diperoleh koordinat titik T adalah , = >

?@A B C@D ?EA B CED ?BC

,

?BC

F

…(4)

6. Jika T’ berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah , = >

@A B @D EA B ED )

,

)

F

…(5)

Dari kegiatan 2.3 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik T di bidang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.3 berikut ini. Masalah 2.3 Tentukan titik P yang terletak pada AB dengan A(-5, 1) dan B(3, -5), sehingga AP : PB = 3 : 5.


17


Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Dari kegiatan 2.3 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.3 dengan menggunakan rumus pada persamaan (4) tersebut, dengan diketahui m = 3 dan n = 5 sehingga diperoleh ) + * ) + * &= G , H + + 33 + 5−5 3−5 + 51 &= I , J 3+5 3+5 −16 −10 &= G , H 8 8 5 & = G−2, − H. 4 Setelah memahami masalah di atas, lanjutkanlah dengan mempelajari pembagian luas garis dalam ruang di bawah ini. 2.2. 2.2. Pembagian Luas Garis dalam Ruang lakukanlah kegiatan 2.4 di bawah ini agar anda dapat menetukan pembagian luas garis dalam ruang. Kegiatan 2.3. Pembagian luas garis dalam ruang Untuk menentukan koordinat suatu titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR : RQ = m : n, maka lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1.

Buatlah sistem koordinat kartesius di bidang XYZ (dimensi 3).

2.

Buatlah dua buah titik sembarang yaitu titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2). Titik R terletak pada garis PQ, sedemikian sehingga PR : RQ = m : n, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.


18


Gambar 2.4. Titik R memotong garis AB 3. Proyeksikan garis PQ terhadap bidang XOY dengan hasil proyeksinya P’Q’. 4. Buat garis yang melalui R sejajar dengan P’Q’ (AB // P’Q’).

5. Perhatikan ∆ PAR dan ∆ BQR. Karena ∆ PAR sebangun dengan ∆ BQR maka

mengakibatkan PA : BQ = PR : RQ, sehingga diperoleh $L − $* = $) − $L $) − $L = $L − $* $) − $L = $L − $* $L + $L = $) + $* $L + = $) + $* $) + $* $L = + 6. Dengan cara yang sama, jika garis PQ diproyeksikan ke bidang ZOX maka diperoleh persamaan

) + * + 7. Dan jika garis PQ diproyeksikan ke bidang YOZ maka diperoleh persamaan: ) + * L = + 8. Sehingga diperoleh koordinat titik R adalah ) + * ) + * $) + $* 'L , L , $L = G , , H + + + 9. Jika R’ berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas L =

perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah 'L , L , $L = >

@A B @D EA B ED MA B MD )

,

)

,

)

F

…(6)


19


10. Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah

'L , L , $L = >

CATATAN (1)

N@A B @D NEA B ED NMA B MD *BN

,

*BN

,

*BN

F , OP Q ≠ −1

…(7)

Syarat : • Jika k > 0 maka R terletak di antara P dan Q. • Jika -1 < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P). • Jika k = -1 maka menunjukkan suatu titik di tak berhingga. • Jika k < -1 maka R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q).

Dari kegiatan 2.4 tersebut anda telah memperoleh rumus koordinat titik R di ruang, selanjutnya pelajarilah masalah 2.4 berikut ini. Masalah 2.4 Tentukan koordinat titik R sehingga membagi PQ dengan P(-4, 2,1), Q(6,4,2) dibagi atas -2 : 1 Penyelesaian Dari kegiatan 2.4 kita dapat menyelesaikan permasalahan 2.4 dengan menggunakan rumus pada persamaan (6) tersebut, dengan diketahui m = -2 dan n = 1 sehingga diperoleh −2 Q= = = −2 1 Q) + * Q) + * Q$) + $* , , H '= G 1+Q 1+Q 1+Q −26 + −4 −24 + 2 −22 + 1 '= I , , J 1 + −2 1 + −2 1 + −2 −16 −6 −3 '= G , , H −1 −1 −1 ' = 16, 6, 3.

Karena k = -2 berarti titik R terletak di perpanjangan PQ (pada pihak Q).

Selanjutnya, kerjakanlah latihan 2 di bawah ini untuk mencoba menyelesaikan sendiri persoalan yang diberikan.

Rangkuman 1. Jarak antara 2 titik, misalkan titik &13 , 43 ke +12 , 42 adalah

/0 = .12 − 13 2 + 42 − 43 2 2. Jarak antara 2 titik, misalkan titik &13 , 43 , <3 ke +12 , 42 , <2 adalah /0 = .12 − 13 2 + 42 − 43 2 + <2 − <3 2


20


3. Jika titik asal O(0,0,0) ke titik &13 , 12 , 1S diperoleh persamaan

=/ = .13 2 + 43 2 + <3 2 4. Koordinat titik T yang terletak pada garis AB sehingga AT : TB = m : n adalah

) + * ) + * , H + + 5. Jika T’ berada di tengah-tengah garis AB maka T membagi AB atas perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik T adalah ) + * ) + * , H , = G 2 2 6. Koordinat titik R yang terletak pada garis PQ sehingga PR:RQ=m:n adalah ) + * ) + * $) + $* , , H 'L , L , $L = G + + + 7. Jika R’ berada di tengah-tengah garis PQ maka R membagi PQ atas , = G

perbandingan m : n = 1 : 1 sehingga diperoleh koordinat titik R adalah ) + * ) + * $) + $* 'L , L , $L = G , , H 2 2 2 8. Jika m : n = k, maka m = nk sehingga diperoleh persamaan koordinat titik R adalah 'L , L , $L = G

Q) + * Q) + * Q$) + $* , , H , OP Q ≠ −1 1+Q 1+Q 1+Q


21

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Recommend Documents