SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang

1

Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Software Wingeom

KEGIATAN BELAJAR 1

SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan di ruang Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang. A. Sistem Koordinat Tegak Lurus 1.1 Koordinat Kartesius di Bidang Agar anda dapat memahami cara menentukan koordinat kartesius di bidang, bacalah ilustrasi dibawah ini. Ilustrasi 1.1 Pernahkah Anda menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain? Perhatikanlah peta pulau jawa berikut ini. y C

B A

A

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Gambar 1.1 Peta Pulau Jawa [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

x


Jika garis berarah mendatar adalah sumbu X dan garis berarah vertikal adalah sumbu Y, maka Kota Jakarta berada pada koordinat berapa? Pilihlah satu dari empat jawaban di bawah ini. a. (2, C)

c. (2, B)

b. (3, B)

d. (9, A)

Dari ilustrasi 1.1 tersebut dengan menggunakan sistem koordinat anda dapat menentukan letak/ posisi/ koordinat dari suatu wilayah. Agar lebih pahamnya, lakukanlah kegiatan berikut ini. Kegiatan 1.1. Menggambarkan koordinat Suatu Titik Pada bidang Misalkan kita ingin menentukan koordinat titik 𝑇(6, −2). Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1.

Gambarlah dua garis yang saling tegak lurus. Garis pertama mendatar (horizontal) beri nama sumbu X dan garis kedua

tegak (vertikal), beri

nama sumbu Y. 2.

Beri nama titik 0 pada titik potong dua sumbu tersebut atau sering juga disebut titik asal/ awal/ pusat (0,0).

3.

Dari titik 0 ke kanan atau ke atas disebut arah positif, maka tulis bilangan real positif 1,2,3, … dengan jarak yang sama. Dari titik 0 ke kiri atau ke bawah disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real negatif … , −1, −2, −3 dengan jarak yang sama juga.

4.

Buatlah garis putus-putus vertikal yang melalui bilangan real positif (6) pada sumbu X dan garis putus-putus horizontal yang melalui bilangan real negatif (−2) pada sumbu Y. Pertemuan antara kedua garis putus-putus tersebut merupakan koordinat dari titik T(6, −2) tersebut. Dari kegiatan 1.1 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat

suatu titik di bidang (dimensi 2). CATATAN (1) Misalkan suatu titik 𝑇 di bidang di tulis 𝑇(𝑥, 𝑦). Bilangan 𝑥 pada 𝑇(𝑥, 𝑦) disebut absis titik 𝑇 yang menyatakan jarak titik 𝑇(𝑥, 𝑦) terhadap sumbu 𝑋. Bilangan 𝑦 pada 𝑇(𝑥, 𝑦) disebut ordinat titik T yang menyatakan jarak titik T(x, y) terhadap sumbu Y. Koordinat-koordinat titik T adalah pasangan bilangan terurut (x,y). Sumbu-sumbu datar dan tegak membagi bidang datar menjadi 4 bagian/daerah yang masing-masing disebut kuadran. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

2


Sebuah titik T(x, y) terletak pada:    

kuadran I : jika absis x > 0, dan ordinat y > 0, atau {T(x, y)|𝑥 > 0, 𝑦 > 0}. kuadran II:. Jika absis x < 0, dan ordinat y > 0, atau {T(x, y)|𝑥 < 0, 𝑦 > 0} kuadran III : Jika absis x < 0, dan ordinat y < 0, atau {T(x, y)|𝑥 < 0, 𝑦 < 0} kuadran IV: Jika absis x > 0, dan ordinat y < 0, atau {T(x, y)|𝑥 > 0, 𝑦 < 0}. Y Kuadran II: {

Kuadran I

𝑥<0 𝑦>0

Kuadran II: {

{

𝑥>0 𝑦>0

Kuadran II:

𝑥<0 𝑦<0

{

X

𝑥>0 𝑦<0

Gambar 1.2 kuadran di bidang Perhatikan masalah 1.1 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.1 Gambarlah sepasang sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat A(3, 2), B(−2, 4), C(−4, 2), dan D(−2, -3), serta tuliskan koordinatkoordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.1 kita dapat menyelesaikan masalah 1.1 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.1, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.

[Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

3


Gambar 1.3 Jawaban Masalah 1.1 1.2 Koordinat Kartesius di Ruang Lakukanlah kegiatan 1.2 berikut ini agar Anda dapat menentukan koordinat kartesius di ruang (dimensi 3). Kegiatan 1.2. Menggambarkan koordinat koordinat suatu titik pada ruang Andaikan kita ingin menggambarkan koordinat suatu titik T(6, 2, 3). Caranya, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1.

Gambarlah tiga buah garis yang saling tegak lurus. Garis pertama dibuat mendatar (horizontal) dan beri nama sumbu Y. Garis kedua dibuat tegak (vertikal) dan beri nama sumbu Z. Sedangkan garis ketiga dibuat miring memotong kedua sumbu Y dan sumbu Z dan diberi nama sumbu x.

2.

Beri nama titik 𝑂 pada perpotongan ke tiga sumbu tersebut. Titik O ini sering disebut dengan titik asal/ awal/ pusat (0,0,0).

3.

Dari titik 0 pada sumbu 𝑋 yang mengarah miring ke Anda, pada sumbu Y ke kanan, dan

pada sumbu 𝑍 ke atas disebut arah positif, maka tulis

bilangan real positif 1, 2, 3, … dengan jarak yang sama. Dari titik 0 pada sumbu X yang miring berlawanan arah dengan Anda, pada sumbu 𝑍 ke bawah, dan pada sumbu Y ke kiri disebut arah negatif, maka tulis pula bilangan real

negatif 0, −1, −2, −3 …, dengan jarak yang sama juga.

(Bolehkah satuan jarak bilangan antara sumbu berbeda? Jawabannya boleh. Kenapa?) 4.

Letakkan pena Anda pada bilangan 6 di sumbu 𝑋, lalu jalankan pena tersebut ke kanan sejajar dengan sumbu Y sejauh 2 satuan. Selanjutnya jalankan pena Anda tersebut ke atas sejauh 3 satuan.

5.

Dari langkah 4 tersebut maka titik terakhir pada pena Anda tersebut adalah merupakan tempat atau posisi dari titik 𝑇(6,2,3).

Dari kegiatan 1.2 tersebut Anda telah dapat menggambarkan koordinat suatu titik di ruang (dimensi 3). CATATAN (2) Misalkan sebuah titik di ruang dinyatakan dengan titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧). Bilangan 𝑥 pada 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) disebut absis titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang menyatakan jarak titik T(x, y, z) ke bidang YOZ. Bilangan y pada 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) disebut ordinat titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang menyatakan jarak titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) ke bidang XOZ. Bilangan z pada 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) disebut aplikat titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang menyatakan jarak titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) ke bidang [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

4


𝑋𝑂𝑌. Ketiga sumbu 𝑋, sumbu 𝑌, dan sumbu 𝑍 membagi ruang atas tiga bidang koordinat, yaitu bidang 𝑋𝑂𝑌 yang dibentuk oleh perpotongan sumbu 𝑋 dengan sumbu 𝑌, bidang 𝑋𝑂𝑍 yang dibentuk oleh perpotongan sumbu 𝑋 dengan sumbu 𝑍, dan bidang 𝑌𝑂𝑍 yang dibentuk oleh perpotongan sumbu 𝑌 dengan sumbu 𝑍. Gambar 1.4 adalah satu bentuk penggambaran ke tiga sumbu koordinat di ruang dimensi tiga.

Gambar 1.4 Sistem koordinat kartesius di ruang Ketiga bidang 𝑋𝑂𝑌, 𝑋𝑂𝑍, dan 𝑌𝑂𝑍 membagi ruang menjadi 8 bagian/daerah yang masing-masing disebut oktan. Suatu titik 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) di ruang dimensi tiga dikatakan terletak pada:        

Oktan I : jika absis x > 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0} Oktan II : jika absis x < 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0} Oktan III : jika absis x < 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0}.

dan aplikat z > 0 atau

Oktan IV : jika absis x > 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0} Oktan V : jika absis x > 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0}.


Oktan VI : jika absis x < 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0} Oktan VII : jika absis x < 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0} Oktan VIII : jika absis x > 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0}.

dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau

dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau


5


Gambar 1.4 Pembagian Bidang Sistem koordinat kartesius di ruang Perhatikan masalah 1.2 di bawah ini, jika memungkinkan berikan penyelesaian yang berbeda terhadap masalah tersebut. Masalah 1.2 Gambarlah sumbu-sumbu koordinat dan gambarlah titik-titik dengan koordinat A(3, 2, 2), B(−2, 4, −3), C(−4, 2, 1), dan D(−2, −3, −2), serta tuliskan koordinatkoordinatnya di samping titik-titik tersebut. Penyelesaian Diskusikan dengan teman kelompok anda hasil temuan di bawah ini. Coba anda perhatikan dan pahami, serta adakah anda punya temuan lain terhadap masalah tersebut? Jika ada tuliskan dalam lembar kegiatan kelompok anda. Sesuai dengan kegiatan 1.2 kita dapat menyelesaikan masalah 1.2 tersebut dengan mengikuti langkah-langkah pada kegiatan 1.2, sehingga diperoleh gambar sebagai berikut.


6


Gambar 1.5 Jawaban Masalah 1.2 B. Persamaan Bidang Rata Sejajar Bidang Koordinat Lakukanlah kegiatan 1.3 berikut ini agar anda dapat menentukan persamaan bidang rata sumbu koordinat Kegiatan 1.3. Menentukan persamaan bidang rata sejajar bidang koordinat Untuk menentukan persamaan bidang rata sejajar bidang koordinat lakukanlah langkah-langkah berikut ini. 1. Buatlah 8 titik pada ruang sehingga titik-titik tersebut merupakan titik-titik sudut dari balok T(ABCDEFGH), dimana titik-titik tersebut bercirikan sebagai berikut. a. titik A(x,0,0) yang mempunyai ordinat y = 0 dan aplikat z = 0 sehingga titik tersebut berada pada sumbu X. b. titik B(x,y,0) yang mempunyai aplikat z = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang XOY. c. Titik C(0,y,0) yang mempunyai absis x = 0 dan aplikat z = 0, sehingga titik tersebut berada pada sumbu Y. d. Titik D(0,0,0) yang mempunyai x = y = z = 0, sehingga titik tersebut berada pada titik asal. e. Titik E(x,0,z) yang mempunyai y = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang XOZ f. Titik F(x,y,z) yang titik tersebut sejajar sumbu Y dengan titik E dan tegak lurus sumbu Z dengan titik B sehingga titik tersebut sama panjang dengan garis AE. g. Titik G(0,y,z) yang mempunyai x = 0, sehingga titik tersebut berada pada bidang YOZ h. Titik H(0,0,z) yang mempunyai x = y = 0 sehingga titik tersebut berada pada sumbu Z. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

7


2. Dari ciri-ciri titik di atas Anda dapat menggambar sebuah balok bukan? 3. Coba bandingkan hasil gambar yang Anda buat dengan gambar teman di samping Anda, apakah sama atau berbeda?

Rangkuman 1. Sistem koordinat kartesius pada bidang (dimensi 2) ditentukan dari dua garis XY yang saling tegak lurus. Garis X yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut absis dan garis Y yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut ordinat, serta 0 adalah titik potong dari sumbu XY. Y

X

2. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 4 kuadran. Y Kuadran II: {

𝑥<0 𝑦>0

Kuadran II: {

𝑥<0 𝑦<0

Kuadran I {

𝑥>0 𝑦>0

Kuadran II: {

X

𝑥>0 𝑦<0

3. Sistem koordinat kartesius pada ruang (dimensi 3) ditentukan dari tiga garis XYZ yang saling tegak lurus. Garis X yaitu garis yang memotong sumbu Y dan Z disebut absis dan garis Y yaitu garis yang mendatar (horizontal) disebut ordinat dan garis Z yaitu garis yang tegak (vertikal) yang disebut aplikat, serta 0 adalah titik potong dari sumbu XYZ.


8


4. Koordinat kartesius di bidang terdiri atas 8 oktan, yaitu Oktan I : jika absis x > 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0} Oktan II : jika absis x < 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 > 0} Oktan III : jika absis x < 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0}.


Oktan IV : jika absis x > 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 > 0} Oktan V : jika absis x > 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0}.


Oktan VI : jika absis x < 0, ordinat y > 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 > 0, 𝑧 < 0} Oktan VII : jika absis x < 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 < 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0} Oktan VIII : jika absis x > 0, ordinat y < 0, {T(x, y, z)|𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0}.

dan aplikat z > 0 atau dan aplikat z > 0 atau

dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau dan aplikat z < 0 atau


9

SISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang

Recommend Documents