SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521

SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521

Sistem Koordinat Parameter SistemKoordinat

Koordinat Kartesian

Koordinat Polar

Sistem Koordinat Geosentrik

Sistem Koordinat Toposentrik

Sistem Koordinat ¨ 

¨ 

¨ 

¨ 

Posisi suatu titik dinyatakan dengan koordinat, baik dalam satu, dua, tiga, atau empat dimensi. Koordinat tidak hanya memberikan deskripsi tentang posisi, tetapi juga pergerakan suatu titik. Untuk menjamin konsistensi dan standardisasi, perlu ada satu sistem dalam menyatakan koordinat, hal ini terkait dengan kerangka koordinat, sistem koordinat. Pengertian kerangka koordinat adalah suatu himpunan dari sumbu-sumbu koordinat atau bangun geometrik yang lainnya, kepadanya posisi suatu titik ditentukan. Hubungan geometrik antara dua kerangka koordinat dinyatakan oleh kombinasi vektor translasi yang menetapkan posisi titik nol kerangka yang satu terhadap lainnya, dan matrik rotasi yang menyatakan orientasi kerangka yang satu terhadap yang lainnya.

Sistem Koordinat ¨ 

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan posisi titik terhadap kerangka koordinat tertentu. Sebagai contoh, dalam sistem koodinat geodetik, lintang, bujur, dan tinggi ditentukan terhadap ellipsoida referensi menggunakan cara tertentu. Sistem koordinat ini mempermudah pendeskripsian, perhitungan, dan analisis, baik yang bersifat geometrik maupun dinamik

Sistem Referensi Koordinat ¨ 

¨ 

Sistem referensi merupakan definisi secara konseptual secara lengkap bagaimana sistem koordinat ditentukan. Terkait dalam pendefinisian origin (titik pusat) dan orientasi dari sumbu-sumbu sistem koordinat. Termasuk yang mendasari model matematika dan model fisik. Kerangka referensi merupakan realisasi praktis dari sistem referensi melalui pengukuran dan pengamatan.

Parameter Sistem Koordinat

PARAMETER SISTEM KOORDINAT 1.  Lokasi Titik Nol dari Sistem Koordinat Posisi suatu titik di permukaan bumi umumnya ditetapkan dalam/terhadap suatu sistem koordinat terestris. Titik nol dari sistem koordinat terestris ini dapat berlokasi di titik pusat massa bumi (sistem koordinat geosentrik), maupun di salah satu titik di permukaan bumi (sistem koordinat toposentrik).

PARAMETER SISTEM KOORDINAT 2. Orientasi dari Sumbu-sumbu Koordinat ¨ 

¨  ¨ 

Posisi tiga-dimensi (3D) suatu titik di permukaan dalam suatu sistem koordinat geosentrik.

bumi umumnya dinyatakan

Tergantung dari parameter-parameter pendefinisi koordinat yang digunakan, dikenal dua sistem koordinat yang umum digunakan, yaitu sistem koordinat Kartesian (X,Y,Z) dan sistem koordinat Geodetik (L,B,h), yang keduanya diilustrasikan pada gambar berikut :

Gambar 1: Sistem Koordinat Kartesian Dan Geodetik

PARAMETER SISTEM KOORDINAT Koordinat 3D suatu titik juga bisa dinyatakan dalam suatu sistem koordinat toposentrik, yaitu umumnya dalam bentuk sistem koordinat Kartesian (N,E,U) yang diilustrasikan pada gambar berikut.

Gambar 2: Sistem Koordinat Toposentrik

PARAMETER SISTEM KOORDINAT 3. Besaran (kartesian, curvilinear) yang digunakan untuk mendefinisikan posisi suatu titik dalam sistem koordinat ¨ 

¨ 

Posisi titik juga dapat dinyatakan dalam 2D, baik dalam (L,B), ataupun dalam suatu sistem proyeksi tertentu (x,y) seperti Polyeder, Traverse Mercator (TM) dan Universal Traverse Mercator (UTM).

Koordinat kartesian

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 2D Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y, seperti digambarkan pada gambar 3 Y P d

O

X

Gambar 3. Sistem Koordinat Kartesian 2D

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 2D ¨ 

jika d merupakan jarak antara dua titik, secara umum d dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut :

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D ¨ 

Dalam sistem koordinat kartesian dengan aksis x, y, z, posisi titik P ditentukan dalam vektor sebagai berikut :

⎛ x P ⎞ ⎜ ⎟ X P = ⎜ y P ⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ P ⎠

¨ 

dimana xp, yp, zp adalah bilangan riil

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D ¨ 

Transformasi ke dalam sistem koordinat kartesian yang lain dengan aksis x’, y’, z’ , dapat ditentukan dengan, pertama melakukan rotasi terhadap sumbu z dengan sudut rotasi γ, maka dalam operasi matrik dapat ditunjukkan sebagai berikut :

x’P(z) = R3 (γ )Xp

⎛ cos γ ⎜ R3 = ⎜ − sin γ ⎜ 0 ⎝

sin γ cos γ 0

0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 1 ⎟⎠

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D ¨ 

demikian juga rotasi R1 untuk sumbu x dan R2 untuk sumbu y, sebagai berikut : 0 ⎛ 1 ⎜ R1 = ⎜ 0 cos α ⎜ 0 − sin α ⎝

0 ⎞ ⎟ sin α ⎟ cos α ⎟⎠

⎛ cos β ⎜ R2 = ⎜ 0 ⎜ sin β ⎝

0 − sin β ⎞ ⎟ 1 0 ⎟ 0 cos β ⎟⎠

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D ¨ 

Jika menggunakan sistem koordinat tangan kanan, dan rotasi berlawanan arah jarum jam bernilai positif, maka transformasi koordinat dua sistem tersebut dapat ditunjukkan dalam persamaan :

x’P(x,y,z) = R1( α).R2(β ).R3( γ).xP atau x’P(x,y,z) = R( α,β,γ).xP cos β cos γ cos β sin γ − sin β ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ R(α , β , γ ) = ⎜ sin α sin β cos γ − cosα sin λ sin α sin β sin γ + cosα cos γ sin α cos β ⎟ ⎜ cosα sin β cos γ + sin α sin γ cosα sin β sin γ − sin α cos γ cosα cos β ⎟ ⎝ ⎠

SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D ¨ 

Jika sudut rotasi sangat kecil, cos α ≅1 dan sin α ≅ α (dalam radian), dengan pengabaian dalam orde tinggi, maka :

⎛ 1 ⎜ R(α , β , γ ) = ⎜ − γ ⎜ β ⎝

γ 1 −α

− β ⎞ ⎟ α ⎟ ⎟ 1 ⎠

Sistem Koordinat Polar

KOORDINAT POLAR ¨ 

Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Selanjutnya dapat dijelaskan pada gambar 5 berikut ini. P

θ O

Gambar 5 : Sistem Koordinat Polar

X

KOORDINAT POLAR ¨ 

¨ 

Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ).   Sudut vektor (θ)  bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar Dari gambar, maka dapat diketahui hubungan secara matematis antara koordinat kartesian dan polar, y P

dan

r

dan θ O

x

Gambar 6. Hubungan Sistem Koordinat Kartesian dan Polar

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos θ ,

y = r sin θ

r2 = x2 + y2,

Maka

tan θ = y/x, jika x ≠ 0 Catt. menentukan θ ¨ 

Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -π/2 < θ < π/2 à θ = arctan(y/x).

¨ 

Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,

θ = π + arctan(y/x).

Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar Contoh: ¨  Konversikan persamaan polar r = 2 sin θ kedalam sistem koordinat tegak/kartesian. ¨ 

Jawab: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin θ x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Sistem koordinat geosentrik

Sistem Koordinat Geosentrik

Gambar 7 : Sistem koordinat geosentrik

Sistem Koordinat Geosentrik ü 

ü 

Definisi : Penentuan posisi suatu titik di permukaan bumi, dimana titik nol-nya berlokasi di titik pusat massa bumi. Sistem koordinat geosentrik biasanya digunakan sistem koodinat untuk menentukan posisi titik –titik di permukaan bumi dengan menggunakan satelit GPS.

Sistem Koordinat Toposentrik

Sistem Koordinat Toposentrik

Gambar 9 : Sistem koordinat toposentrik

Sistem Koordinat Toposentrik Ø 

Ø 

Definisi:Penentuan posisi suatu titik di permukaan bumi dimana titik nol-nya berlokasi di satu titik di permukaan bumi. Sistem koordinat toposentrik biasanya digunakan untuk menentukan posisi terestis.

Sistem Koordinat Toposentrik dan Geosentrik Gambar 7 : Sistem toposentrik dan geosentrik

Sistem Koordinat Toposentrik dan Geosentrik ¨ 

Perhatikan gambar 7. (XYZ) merupakan sistem koordinat geosentrik (siku-siku ruang). Titik O berhimpit dengan ellipsoida referensi. Sumbu (XY) terletak pada bidang ekuator geodetik. Sumbu X mer upakan perpotongan bidang meridian Greenwich (GR) dengan bidang ekuator. Sumbu Y tegak lurus sumbu X ke arah timur. Sumbu Z b e r i m p i t d e n ga n s u m b u pendek dan sejajar sumbu rotasi bumi.

(e n h) merupakan sistem koordinat toposentrik di titik P1 sebagai titik nol (L1 B1 h1 ). Sumbu h+ berimpit dengn garis normal ellipsoida melalui P1 ke arah luar. Sumbu n+ sejajar garis singgung pada meridian P1 ke arah utara. Sumbu e+ sejajar garis singgung pada irisan normal utama di P1 ke arah timur.

Q

uestion ?

Soal 1. 

2. 

3. 

Sebutkan dan beri contoh parameter sistem koordinat ! Jelaskan perbedaan antara sistem koordinat geosentrik dan toposentrik ! Konversikan persamaan polar r = 4 cos θ kedalam sistem koordinat kartesian.