Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Geometri Vektor Kusbudiono Jurusan Matematika
1 Nopember 2011
Kusbudiono
Geometri Vektor
Hasil Kali Silang
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
1
Vektor dan Garis
2
Koordinat
3
Norma Vektor
4
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
5
Hasil Kali Silang
Kusbudiono
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Geometri Vektor
Hasil Kali Silang
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Definisi Vektor
Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya disebut vektor −→ −→ dan dinotasikan dengan AB atau CD yang menunjukkan ruas garis tersebut mempunyai panjang dan arah. Dapat pula dinotasikan sebagai huruf kecil tebal.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Definisi Vektor
Dua buah vektor v dan w adalah sama (v = w) jika mempunyai panjang dan arah sama. Vektor yang mempunyai besar sama dengan vektor v tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan −v. Apabila panjang suatu vektor nol maka disebut vektor nol dan dinotasikan dengan 0.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Penjumlahan Vektor
Definisi Jika a dan b adalah dua vektor sembarang, untuk menghitung penjumlahan a + b: tempatkan ekor ruas garis yang meyatakan b pada ujung ruas garis yang menyatakan a. Vektor a + b dinyatakan oleh panah dengan ekor a dan ujung b (parallelogram rule).
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1
u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Hasil Kali Silang
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1
u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.
2
u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u, v dan w.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1
u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.
2
u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u, v dan w.
3
v + 0 = v untuk sembarang vektor v.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1
u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.
2
u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u, v dan w.
3
v + 0 = v untuk sembarang vektor v.
4
v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Perkalian skalar dengan vektor
Definisi Diberikan sembarang vektor v dan sembarang bilangan a, perkalian skalar dari v oleh a adalah vektor av dengan besar dan arah sebagai berikut: 1
Besar dari av adalah kavk = |a|kvk.
2
Arah dari av adalah sama dengan v jika a > 0 dan v 6= 0 tidak dapat ditentukan jika a = 0 atau v = 0 berlawanan arah dengan v jika a < 0 dan v 6= 0
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor
Sifat-sifat dari perkalian vektor dengan skalar sebagai berikut: 1
kavk = |a|kvk untuk sembarang skalar a dan vektor v.
2
1v = v untuk sembarang vektor v.
3
(−1)v = −v untuk sembarang vektor v.
4
0v = 0 untuk sembarang vektor v.
5
a0 = 0 untuk sembarang skalar a.
Suatu vektor disebut vektor satuan jika besar atau panjangnya 1. Jika v 6= 0, maka kv1k v adalah vektor satuan dengan arah sama dengan arah v .
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Koordinat Siku-siku
Pada koordinat siku-siku pada ruang terdapat tiga garis saling tegak lurus sebagai sumbu utama yang disebut sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z yang ketiganya bertemu disatu titik dan disebut titik asal. Ketiga sumbu merupakan garis bilangan real dengan 0 pada titik asal. Sedangkan bidang yang didapat dari sumbu X dan Y disebut bidang X − Y, begitu pula untuk dua bidang yang lain. Masing-masing titip P dinyatakan dengan tunggal tiga bilangan (x, y, z) yang disebut koordinat. Sehingga titik P ditulis sebagai P(x, y , z).
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Vektor Posisi
Definisi Diberikan titik P(x, y, z), vektor posisi dari P didefinisikan −→ sebagai p = OP dari titik asal ke P, dan dinotasikan dengan p = (x, y , z) dan bilangan x, y dan z disebut komponen X , Y dan Z dari p. Jika P = P(x, y ) dalam bidang X − Y, vektor posisi dinotasikan dengan p = (x, y).
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Teorema Misalkan u = (x, y, z) dan u1 = (x1 , y1 , z1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1
u = u1 jika hanya jika x = x1 , y = y1 dan z = z1 .
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Teorema Misalkan u = (x, y, z) dan u1 = (x1 , y1 , z1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1
u = u1 jika hanya jika x = x1 , y = y1 dan z = z1 .
2
u + u1 = (x + x1 , y + y1 , z + z1 ).
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Teorema Misalkan u = (x, y, z) dan u1 = (x1 , y1 , z1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1
u = u1 jika hanya jika x = x1 , y = y1 dan z = z1 .
2
u + u1 = (x + x1 , y + y1 , z + z1 ).
3
au = (ax, ay, az) untuk sembarang skalar a.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Teorema Misalkan u = (x, y, z) dan u1 = (x1 , y1 , z1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1
u = u1 jika hanya jika x = x1 , y = y1 dan z = z1 .
2
u + u1 = (x + x1 , y + y1 , z + z1 ).
3
au = (ax, ay, az) untuk sembarang skalar a.
4
u − u1 = (x − x1 , y − y1 , z − z1
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Teorema Diberikan titik P1 (x1 , y1 , z1 ) dan P2 (x2 , y2 , z2 ), vektor dari P1 ke P2 adalah −−−→ P1 P2 = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Norma Vektor dan Rumus Jarak Panjang vektor sering disebut juga norma vektor Teorema Misalkan v = (x, y , z) adalah sebuah vektor. Maka q kv k = x 2 + y 2 + z 2 Teorema (Rumus Jarak) Jarak d anatar titik P1 (x1 , y1 , z1 ) dan P2 (x2 , y2 , z2 ) diberikan oleh q (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + (−u) = 0.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + (−u) = 0. 1u = u.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + (−u) = 0. 1u = u. a(bu) = (ab)u.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + (−u) = 0. 1u = u. a(bu) = (ab)u. (a + b)u = au + bu. Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Teorema Untuk sembarang vektor-vektor u, v , w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + (−u) = 0. 1u = u. a(bu) = (ab)u. (a + b)u = au + bu. a(u + v) = au + av. Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Hasil kali titik
Definisi Hasil kali dalam u · v dari dua vektor u dan v didefinisikan sebagai berikut: kukkvk cos θ jika u 6= 0 dan v 6= 0 u·v= 0 jika u = 0 atau v = 0 Dari definisi diatas, u · v adalah bilangan sehingga seringkali disebut perkalian skalar u dan v.
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Hasil kali titik Teorema Misalkan v1 = (x1 , y1 , z1 ) dan v2 = (x2 , y2 , z2 ) dua vektor dalam bentuk komponen. Maka perkalian titiknya dihitung sebagai berikut: v1 · v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 Teorema Misalkan u, v dan w sembarang vektor. 1
u · v adalah bilangan real
2
u·v=v·u
3
u·0=0=0·u
4
u · u = kuk2
5
(k u) · v = k (u · v) = u · (k v) untuk sembarang skalar k
6
u · (v ± w) = u · v ± u · w Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Orthogonal
Definisi Dua vektor u dan v disebut orthogonal jika u = 0 atau v = 0 atau sudut dua vektor tersebut adalah π2 Teorema Dua vektor tak nol u dan v orthogonal jika dan hanya jika u·v=0
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Proyeksi Orthogonal Diberikan vektor taknol d dan suatu vektor u yang dituliskan sebagai penjumlahan dua buah vektor, u = u1 + u2 dengan u1 sejajar d dan u2 = u − u1 orthogonal pada d. Anggap bahwa u dan d 6= 0 dimulai dari titik awal Q, P ujung u, dan P1 . Maka u1 = QP1 mempunyai sifat: 1 u1 sejajar pada d 2 u2 = u − u1 orthogonal pada d 3 u = u1 + u2 Definisi Vektor u1 = QP1 disebut proyeksi u atas d dan dinotasikan u1 = projd u Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Proyeksi Orthogonal
Teorema Misalkan u dan d 6= 0 adalah vektor. 1
Proyeksi u1 dari u atas d diberikan oleh projd u =
2
Vektor u − projd u adalah orthogonal ke d.
Kusbudiono
Geometri Vektor
u·d d. kdk2
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Definisi Hasil Kali Silang
Definisi Diberikan vektor v1 = (x1 , y1 , z1 ) dan v2 = (x2 , y2 , z2 ), hasil kali silang v1 × v2 didefinisikan sebagai v1 × v2 = ((y1 z2 − z1 y2 ), −(x1 z2 − z1 x2 ), (x1 y2 − y1 x2 )) atau dalam notasi determinan x2 x3 x1 x3 x1 x2 v1 × v2 = ,− , y2 y3 y1 y3 y1 y2
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Hasil kali silang Teorema Jika u, v dan w adalah vektor sembarang. 1
u × v adalah vektor
2
u × v orthogonal pada u dan v
3
u×0=0=0×u
4
u×u=0
5
u × v = −(v × u)
6
(k u) × v = k (u × v) = u × (kv) untuk semabarang skalar k
7
u × (v + w) = (u × v) + (u × w)
8
(v + w) × u = (v × u) + (w × u)
Kusbudiono
Geometri Vektor
Outline
Vektor dan Garis
Koordinat
Norma Vektor
Hasil Kali Titik dan Proyeksi
Hasil Kali Silang
Hasil Kali Silang Teorema Jika u dan v dua vektor, maka ku × vk2 = kuk2 kvk2 − (u × v)2 Teorema Jika u dan v dua vektor dan θ sudut antara u dan v, maka 1
ku × vk = kukkvk sin θ = luas jajargenjang yang dibangun u dan v.
2
u dan v sejajar jika dan hanya jika u × v = 0
Kusbudiono
Geometri Vektor
