Geometri pada Bidang, Vektor

Kurva Bidang: Representasi Parametrik

Geometri pada Bidang, Vektor [email protected] Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah

September 9, 2011

[email protected]

Geometri pada Bidang, Vektor


Pengertian Menghilangkan parameter Sikloid Kalkulus kurva parametrik Latihan

Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t),

t dalam I

dengan f dan g kontinu pada selang I. I biasanya selang tertutup [a, b] dan t disebut parameter. Ketika t berjalan dari a ke b, titik (x, y) akan bergerak menelusuri seluruh kurva pada bidang xy. Jika I = [a, b] maka titik P = (x(a), y(a)) disebut titik ujung awal (initial end point) dan titik Q = ((x(b), y(b)) disebut titik ujung akhir (final end point).

[email protected]




Jika suatu kurva mempunyai titik-titik ujung yang saling berhimpit maka disebut kurva tertutup (closed). Jika untuk nilai t yang berbeda menghasilkan titik yang berbeda pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan t = b) maka kurva tersebut disebut kurva sederhana (simple). Pasangan x = f (t), y = g(t) bersama dengan selang I disebut parametrisasi (parametrization) dari suatu kurva.

[email protected]




Gambar: Jenis-jenis kurva [email protected]




Tidak sederhana, tertutup

Sederhana, tertutup

Gambar: Jenis-jenis kurva [email protected]




Untuk mengenali sebuah kurva yang dinyatakan dalam parametrik dapat dilakukan dengan menghilangkan parameternya, yaitu menyelesaikan satu persamaan untuk t dan kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lainnya. Contoh 1 Tentukan kurva yang bersesuaian dan buatlah grafiknya dari persamaan-persamaan berikut ini x = t2 + 2t,

y = t − 3,

[email protected]

−2 ≤ t ≤ 3.




Penyelesaian Dari persamaan y = t − 3 kita peroleh t = y + 3. Selanjutnya t ini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama, x = (y + 3)2 + 2(y + 3) = y 2 + 8y + 15 atau x + 1 = (y + 4)2 . Persamaan di atas adalah sebuah parabola yang tebuka ke kanan. Lihat gambar berikut ini.

[email protected]




Gambar: Grafik dari x = t2 + 2t, [email protected]

y = t − 3,

−2 ≤ t ≤ 3.




Contoh 2 Tunjukkan bahwa x = a cos t,

y = b sin t,

0 ≤ t ≤ 2π

merepresentasikan elips seperti pada gambar berikut.

[email protected]




Penyelesaian Pertama sekali selesaikan persamaan-persamaan untuk cos t dan sin t. Selanjutnya kuadratkan dan jumlahkan sehingga diperoleh x 2 a atau

+

y 2 b

x 2

= cos2 t + sin2 t = 1 y 2

= 1. a b Persamaan di atas adalah sebuah elips. +

[email protected]




Sebuah sikloid (cycloid) adalah suatu kurva yang dibentuk oleh sebuah titik P pada bagian terluar dari sebuah roda ketika roda tersebut berputar di sepanjang garis lurus tanpa tergelincir. Perhatikan gambar berikut.

[email protected]




Untuk menentukan persamaan parametrik sikloid, misalkan roda berputar di sepanjang sumbu x dengan P merupakan titik asal. Misalkan dinotasikan pusat roda adalah C dengan jari-jarinya adalah a. Pilih parameter t dalam radian dengan sudut searah jarum jam dimana ruas CP akan berada pada posisi vertikal ketika P berada pada titik asal. Karena |ON | = busur P N = at, x = |OM | = |ON | − |M N | = at − a sin t = a(t − sin t) dan y = |M P | = |N R| = |N C| + |CR| = a − a cos t = a(t − cos t) maka persamaan-persamaan parametrik untuk sikloid adalah x = a(t − sin t), [email protected]

y = a(t − cos t) Geometri pada Bidang, Vektor



Teorema Misalkan f dan g secara kontinu dapat didiferensialkan dengan f 0 (t) 6= 0 pada α ≤< β, maka persamaan-persamaan parametrik x = f (t),

y = g(t)

mendefinisikan y sebagai fungsi x yang dapat didiferensialkan dan dy/dt dy = dx dx/dt

[email protected]




Contoh 3 Tentukan dy/dx dan d2 y/dx2 untuk fungsi berikut ini x = 5 cos t,

y = sin t,

0 < t < 3.

Penyelesaian Misalkan y 0 menotasikan dy/dx, maka dy dy/dt 4 cos t 4 = = = − cot t dx dx/dt −5 sin t 5 4 2t csc d2 y dy 0 dy 0 /dt 4 = = = 5 = − csc2 t 2 dx dx dx/dt −5 sin t 25

[email protected]




1. Tentukan persamaan Cartesius dari kurva √ x = 4 − t, y = 2t; 0 ≤ t ≤ 4. 2. Tentukan dy/dx dengan menghilangkan parameternya jika x = 1 − cos t, y = 1 + sin t; t 6= nπ 3. Tentukan persamaan garis singgung terhadap kurva pada titik yang telah diberikan tanpa menghilangkan parameternya jika diberikan x = t2 , y = t3 ; t = 2.

[email protected]


Geometri pada Bidang, Vektor

Recommend Documents