BAB I VEKTOR DALAM BIDANG
I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dan
dalam I
kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang tertutup
,
Tidak sederhana, tidak tertutup Sederhana, tidak tertutup
sederhana, tertutup
Tidak sederhana, tertutup
I.1. Menghilangkan Parameter Contoh : Hilangkan parameter dari persamaan. ,
,
1
Solusi :
merupakan persamaan parabola dengan puncak di – ,
.
Contoh : Buktikan bahwa ,
,
Adalah persamaan ellips Solusi :
2
1.2. Kalkulus untuk Fungsi yang Ditentukan dalam bentuk parameter Andaikan
dan
jelang
fungsi-fungsi dari yang turunannya kontinu dan
pada
. Maka persamaan parameter. ,
Mendefinisikan
sebagai fungsi dari
dan
⁄ ⁄ Contoh : Tentukan turunan pertama dan kedua, yaitu
dan
, untuk fungsi yang
ditentukan oleh : 3 Hitung turunan itu untuk Solusi : Bila ⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ Sehingga untuk √
, adalah :
,
II. VEKTOR PADA BIDANG Scalar : Besaran yang dinyatakan oleh suatu bilangan Vektor : Besaran yang dinyatakan oleh suatu bilangan dan arah
digambarkan
sebagai anak panah. 3
Vektor dapat ditulis dengan huruf tebal
dan
atau
dan . Besarnya vector
ditulis dengan | |
2.1. Operasi Terhadap Vektor
Contoh : Sebuah benda 200 Newton digantungkan pada dua utas kawat. Tentukan besarnya tegangan dalam tiap-tiap kawat.
200
| |
| |
| |
| |
W
| |
| |
| | 4
| |
| |
| |
, | |
Sehingga : | |
,
3. VEKTOR PADA BIDANG : PENDEKATAN SECARA ALJABAR ,
Vektor
dapat dinyatakan secara aljabar dengan pasangan terurut
,
Operasi Pada Vektor
Bilangan ,
dan
dan
dinamakan komponen-komponen vector ,
adalah sama, jika dan hanya jika
,
. Dua vektor dan
.
Sehingga : ,
5
Untuk mengalikan
dengan scalar
adalah
, , , ,
,
,
PANJANG DAN HASILKALI TITIK PANJANG
Panjang suatu vektor | | ditentukan oleh : | |
Misal, jika Jika | | |
|
,
, maka | |
√
dikalikan dengan scalar , maka :
| || | nilai mutlak , jarak antara titik asal dan
pada garis bilangan
6
| |
panjang
, jarak antara titik asal dan ujung
pada bidang
| |
| |
, tentukan |
,
Contoh : Bila
|, tentukan pula vektor
yang searah dengan
tetapi dengan panjang 1. Solusi : | |
dan | ,
,
| | Perkalian dua vektor
.
.
dan
|
|
|| |
,
dinamakan hasil kali titik, yang dilambangkan dengan .
.
Teorema : Jika , 1. .
dan
vektor dan
skalar, maka :
.
2. .
.
.
.
3. 4. . 5. . Jika .
| | dan
adalah vektor tidak nol, maka :
| || |
Dua vektor
dan
sudut antara
dan
tegak lurus jika dan hanya jika .
7
Contoh : Tentukan
,
sehingga
,
dan
tegak lurus.
Solusi : .
,
Contoh : Tentukan sudut antara . | || |
Solusi :
,
dan ,
,
VEKTOR BASIS Andaikan
,
,
dan
dan perhatikan bahwa vektor-vektor ini tegak lurus
dan bahwa panjangnya sama dengan satu. Vektor dan ini dinamakan VEKTOR ,
BASIS, sebab setiap vektor
dapat dinyatakan secara tunggal dengan dan
yaitu : ,
,
,
,
,
Contoh : Tentukan besarnya sudut ABC, dengan
,
,
, dan
, Solusi :
,
8
, | |
; | |
√
. . | || |
,
√
, Andaikan
dan . Scalar | |
sudut antara
dinamakan Proyeksi Skalar
pada
. Kerja yang dilakukan oleh gaya konstan hingga
yang menggerakkan sebuah benda dari
adalah besarnya gaya dalam arah gerak dikalikan dengan jarak yang
ditempuh. Jadi apabila
adalah vektor dari
(Proyeksi scalar
)| |
pada
| |
hingga , besarnya kerja adalah :
| |
.
Kerja
Contoh : Sebuah gaya , Solusi : Bila Kerja
hingga
dengan satuan pon memindahkan benda dari ,
. Jarak diukur dengan kaki. Berapakah besarnya…
vektor dari
,
.
hingga
,
maka
, jadi :
pon-kaki
4. FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN GERAK SEPANJANG KURVA Sebuah fungsi
memadankan setiap anggota dari sebuah himpunan (daerah asal)
dengan nilai tunggal
anggota himpunan lain. Himpunan nilai-nilai demikian
disebut daerah nilai fungsi .
Daerah asal
Daerah nilai
Daerah asal
Daerah nilai
9
Suatu fungsi
bernilai vektor dengan peubah riil memadankan tiap bilangan riil . Jadi :
dengan satu vektor
, ,
Missal
KALKULUS FUNGSI VEKTOR berarti bahwa vector vektor
menuju ke vektor
atau
.
menuju vektor 0 apabila
apabila menuju
Definisi :
berarti bahwa untuk tiap
0 sedemikian sehingga |
bilangan saja dipenuhi |
|
|
|
|
0 ada |
asal
, yaitu : |
Teorema : . Maka
Andaikan
memiliki limit di c jika dan hanya jika f dan g
memiliki limit di c.
Apabila
, maka , , tentukan
Contoh : jika
,
, dan sudut
antara
,
10
Solusi :
dan
, jadi :
;
|
, ||
|
√
√
√ √
,
Teorema : Andaikan F dan G fungsi vektor yang dapat dideferensialkan, h suatu fungsi bernilai riil yang dapat dideferensialkan dan c sebuah scalar. Maka : 1. 2. 3. .
4. 5.
. aturan rantai , tentukan
Contoh : Jika a).
; b).
solusi : a).
b).
11
GERAK SEPANJANG KURVA Andaikan t menggambarkan waktu dan andaikan koordinat sebuah titik P yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter , Maka vektor :
Yang berpangkal dititik asal dinamakan vektor posisi titik P pada saat t . Apabila t berubah ujung vektor
bergerak sepanjang lintasan titik P.
Lintas ini adalah sebuah kurva dan gerak yang
dijalani oleh P dinamakan gerak sepanjang kurva.
Sejalan dengan gerak linier , maka kecepatan
, dan percepatan
titik P adalah
12
Contoh : Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah dan
, dengan t menggambarkan waktu
(a) Gambarlah grafik lintasan P. (b) Tentukan rumus untuk kecepatan
, laju |
| , dan percepatan
.
(c) Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat manakah nilai itu tercapai. (d) Buktikan bahwa vektor percepatan yang berpangkal di P selalu menuju ke titik asal. Solusi : (a)
ellips
(b) Vektor posisi
|
|
(c) Karena laju ditentukan oleh
√
, maka nilai maksimum adalah 3 ; pada
.
13
⁄ atau
yaitu apabila
⁄
yaitu pada titik
Laju minimum, yaitu 2, dicapai pada saat ,
,
pada ellips.
yang memberikan titik-titik
.
(d)
bila pangkal
kita ambil di P, vektor ini akan mengarah ke
ujung akan tepat ada di titik asal. Maka | ,
paling kecil di
| paling besar berada di
,
dan
.
5. KELENGKUNGAN DAN PERCEPATAN Kelengkungan
seberapa tajam sebuah kurva melengkung Andaikan untuk
adalah vektor posisi titik
selang
,
pada bidang.
ada dan kontinu dan
Andaikan
,
pada
.
Maka apabila t nilainya naik, P bergerak sepanjang sebuah kurva yang mulus. Panjang lintasan
dari
ke
ditentukan oleh :
|
|
Laju titik yang bergerak itu adalah : | Karena
|
|
| , maka |
|
0
s naik bila t naik
14
Dengan Teorema fungsi balikan,
|
|
Andaikan T(t) disebut vector singgung satuan di P(t) | |
| |
Contoh : Tentukan kelengkungan dan radius kelengkungan hiposikloid di titik
dengan ⁄
Solusi : untuk
|
⁄
|
| |
|
| |
⁄
|
⁄ .
15
