TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

MATEMATIK GUNAAN

Pengenalan 

Vektor

Satu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah.



Contoh : Sesaran, halaju dan daya



Vektor biasanya diwakili oleh suatu garis yang mempunyai anak panah. B a

~

A

Bentuk perwakilan :

AB / AB / a / a ~

Skala : 1cm mewakili 2ms-1



Vektor negatif  Vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi arah yang bertentangan. B

- AB / - AB / BA / BA / - a / a ~

-a

~

A



Bentuk perwakilan :

Magnitud  Ditulis sebagai | AB |. Contoh : B

Penyelesaian : Panjang garis AB = 5cm

A

a ~

Skala : 1cm mewakili 2ms-1

Skala : 1 cm mewakili 2 ms-1

| AB | = 5 x 2 ms-1 = 10 ms-1

1|12

SPA 3204

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor 

MATEMATIK GUNAAN

Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama.

a = b jika | a | = | b | ~ ~ ~ ~



Contoh 1 :

a. Cari magnitud dan arah bagi vektor AB. b. Lukis vektor negatif bagi AB.

Penyelesaian : a. | AB |

√ y2 + x 2 = √ (3)2 + (3)2 =√ 9+9 = √ 18

Berdasarkan Teorem Pithagoras :

=

= 4.24 unit

Arah bagi vektor AB ialah ke timur laut.

c

a b

c = √ a2 + b2

b. Vektor negatif bagi AB ialah BA.

2|12


SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN

Contoh 2 : a. Nyatakan vektor yang sama dengan AB.

Penyelesaian : a. AB = ED

Pendaraban vektor dengan skalar 

Hasil darab vektor a dengan skalar k, iaiatu k a , ialah suatu vektor yang mempunyai

~

~

magnitud k kali ganda magnitud bagi a dan mempunyai :

~

a. Arah yang sama dengan a jika k bernilai positif

~

a x k = ka

~ di mana

~

~

a



Hasil darab vektor

k



skalar

x

3

=

3|12

SPA 3204


MATEMATIK GUNAAN

b. Arah yang bertentangan dengan a jika k bernilai negatif

~

x



Jika suatu vektor ialah gandaan skalar bagi satu vektor yang lain, maka kedua-dua vektor itu adalah selari. =

PQ



=

-2

2 RS

Contoh 3 :

a. Ungkapkaan AB dan PQ sebagai hasil darab a dengan suatu skalar.

~

b. Lukiskan vektor bagi -3 a.

~

4|12



Penyelesaian : a. AB = 2 a

~

PQ = 1.5 a

~

b.



Contoh 4 : Cari vektor-vektor yang selari dalam rajah dibawah.

Penyelesaian : Diberi PS = 2 u dan QR = 3 u

~

~

Maka, PS = 2 QR 3 Jadi, PS dan QR adalah selari.

5|12

SPA 3204


MATEMATIK GUNAAN

Penambahan dan penolakan vektor Penambahan vektor 

Hasil tambah bagi vektor-vektor yang selari dan dalam arah yang sama mempunyai magnitud yang bersamaan dengan hasil tambah magnitud vektor-vektor itu dan dalam arah yang sama dengan arah-arah vektor-vektor itu.

| a | = 2 unit

~

| b | = 3 unit

Arah ke timur

~

| c | = 4 unit

~

Magnitud | a + b + c | = | a | + | b | + | c |

~ ~ ~

~

~

~

= 2+3+4 = 9 unit  Vektor paduan Arah vektor paduan juga adalah ke timur



Hasil tambah bagi vektor-vektor yang tidak selari boleh ditentukan melalui : a. Hukum Segitiga

Diwakilkan dengan sisi yang ketiga

|a+b|≠|a|+|b|

~ ~

~

~

C

A

B

AB + AB = AC 6|12

SPA 3204


MATEMATIK GUNAAN

b. Hukum Segiempat Selari

Arah keluar anak panah dari satu titik yang sama c. Hukum Poligon

Hasil tambah a + b + c + d + ...... ~ ~ ~ ~ diwakilkan dengan menyambungkan titik awal vektor pertama dengan titik akhir vektor terakhir.

Penolakan vektor 

Penolakan vektor ialah penambahan vektor negatif. Penolakan vektor a kepada vektor b bersamaan penambahan –a kepada b iaitu :

~

~

b - a = b + (- a )

~

~

~

~

a. Diberi dua vektor yang selari x dan 3 x , maka :

~

~

Maka ; 3 x – x = 3 x + (-x)

~ ~

~

~

=2x

~ 7|12



b. Diberi dua vektor yang tak selari p dan q , maka :

~

~

p – q = p + ( -q )

~ ~ ~

~

= AC



Contoh 5 :

Cari vektor paduan bagi 2 a dan 3 a.

~

~

Jika | a | = 2 unit, cari magnitud vektor paduan itu.

~

Penyelesaian : 2 a dan 3 a = 5 a Diberi Maka

~

~

~

| a | = 2 unit

~

| 5a|=5|a|

~

~

=5x2 = 10 unit  Vektor paduan

8|12

SPA 3204


MATEMATIK GUNAAN

Vektor dalam koordinat Cartesan 

Vektor yang mempunyai magnitud satu unit dinamakan vektor unit. Jika a ialah vektor ~ unit, maka | a | = 1 unit.

~

Vektor unit yang ikut arah paksi y ditandakan sebagai j dan | j | = 1 unit.

~

~

Vektor unit yang ikut arah paksi x ditandakan sebagai i dan | i | = 1 unit.

~



~

Suatu vektor boleh diungkapkan dalam bentuk x i + y j atau dalam bentuk vektor lajur

~

x

~

y 

Contoh 6 :

AB = 4 i + 3 j atau AB =

~ ~

CD = 3 i

~

EF = -5 j

~

4 3

atau CD =

3 0

atau EF =

0 -5

9|12

SPA 3204


Jika r = x i + y j =

~

~

~

x

MATEMATIK GUNAAN

, maka magnitud bagi r ialah | r | = √ x2 + y2

~

y

~

Contoh 7 : Cari : a. Vektor r dalam bentuk x i + y j dan x

~

~

~

y b. Magnitud r

~

Penyelesaian : a.

6

r=6i -8j=

~

~

b. | r |

~

~

-8

= √ x 2 + y2 = √ (6)2 + (-8)2 = √ 36 + 64 = √ 100 = 10 unit

Contoh 8 : Diberi a = 2 i – 3 j , b = i + 5 j dan c = - 4 j . Cari 2 a – b + c .

~

~

~ ~ ~

~

~

~

~ ~ ~

Penyelesaian : 2a–b+c

~ ~ ~

=

2(2i–3j)–(i+5j)+(-4j)

=

4i–6j–i–5j–4j

=

4i–i–6j–5j–4j

=

3 i – 15 j

~

~

~ ~

~ ~ ~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~ 10 | 1 2

SPA 3204


MATEMATIK GUNAAN

Latihan : 1. a. Cari magnitud dan arah bagi vektor berikut. b. Lukiskan vektor negatif pula. Nyatakan magnitud dan arah bagi vektor negatif.

2. Dalam setiap kumpulan vektor yang berikut, pasangan vektor yang manakah adalah sama ?

3. Ungkapkan vektor-vektor berikut sebagai hasil darab a dengan suatu skalar.

~

4. a. Lukis semula vektor yang berikut jika a + b

~

~

b. Cari magnitud bagi vektor paduan jika | a | = 1 unit.

~

11 | 1 2

SPA 3204


MATEMATIK GUNAAN

5. a. Ungkapkan setiap vektor berikut dalam bentuk x i + y j dan dalam

~

bentuk lajur

x

~

y

b. Cari magnitud dan vektor unit bagi setiap vektor yang anda nyatakan.

12 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

Recommend Documents