SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Peta Konsep
KOORDINAT
Titik tengah Titik yang membahagikan suatu garis lurus kepada dua bahagian yang sama panjang.
Koordinat suatu titik
A(1,2) y
x
Titik tengah = Jarak antara dua titik
x1 + x2
Jarak = √ (x2 - x 1)2 + (y2 - y1)2
2
,
y1 + y2 2
Pengenalan
Teorem Pithagoras
Ia boleh digunakan untuk mengira panjang satu sisi sebuah segitiga bersudut tegak apabila panjang dua sisi yang lain diberikan.
Sisi c adalah sisi yang paling panjang dan bertentangan dengan sudut tegak. Sisi paling panjang suatu segitiga bersudut tegak dinamakan hipotenus.
c
a
Ini adalah segi tiga bersudut tegak dengan sisi-sisi a, b dan c.
b
Berdasarkan segi tiga bersudut tegak itu :
c2 = a2 + b2 c =
√ a2 + b2
b2 = c2 - a2 b =
√ c2 - a2
a2 = c2 - b2 a =
√ c2 – b2 1
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
Contoh 1 : c
a b
Diberi a = 3 dan b = 4, cari nilai bagi c. Penyelesaian : c2 = a2 + b2 c = √ a2 + b2 = √ a2 + b2 = √ (3)2 + (4)2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 unit Geometri Koordinat Sistem Cartesan merupakan satu sistem yang digunakan untuk menetapkan kedudukan titik pada satah Cartesan. Gambarajah 1 menunjukkan contoh sistem koordinat pada satah Cartesan.
Skala pada paksi x adalah 1 : 1 Skala pada paksi y adalah 1 : 1
Skala pada paksi x adalah 1 : 1 Skala pada paksi y adalah 1 : 5
Gambarajah 1 : Contoh sistem koordinat pada Satah Cartesan 2
SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Mencari jarak
Jarak di antara sebarang dua titik ialah panjang garis lurus yang menyambungkan dua titik itu. Contoh 2 : Cari jarak antara titk A ( 5 , 5 ) dan B ( 1 , 1 )
y
Garis lurus ini adalah
A(5,5)
hipotenus.
5
AB = Jarak
4 3 2 1
0
C(5,1)
B(1,1) 1
2
3
4
5
x
Penyelesaian : Berdasarkan Teorem Pithagoras : AB2 = AC2 + BC2 AB = √ AC2 + BC2 = √ (5 - 1)2 + (1 – 5)2 = √ (4)2 + (-4) 2 = √ 16 + 16 = √ 32 = 5.66 unit
3
SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Cara penyelesaian lain : y
x 2 y2 A(5,5)
5 4 3 2 1
B(1,1) y1
x1 0
1
2
3
4
5
x
Jarak = √ (x2 - x 1)2 + (y2 - y1)2 = √ (5 - 1)2 + (5 - 1)2 = √ (4)2 + (-4) 2 = √ 16 + 16 = √ 32 = 5.66 unit
4
SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 3 : A (3 , 3), B (2, -4) dan C (-4 , 4) ialah bucu-bucu bagi sebuah segitiga. Tunjukkan bahawa segitiga ABC ialah sebuah segitiga sama kaki. Penyelesaian : i. Buat gambarajah satah cartesan. ii. Plotkan titik-titik koordinat A, B dan C. iii. Buat pengiraan untuk titik AB, BC dan AC Titik A (3 , 3) dan B (2, -4) x 1 y1 AB
Titik A (3 , 3) dan C (-4, 4) x 1 y1
x 2 y2
= √ (x2 - x 1)2 + (y2 - y1)2
AC
x 2 y2
= √ (x2 - x 1)2 + (y2 - y1)2
= √ (2 - 3)2 + (-4 - 3)2
= √ (-4 - 3)2 + (4 - 3)2
= √ (-1)2 + (-7) 2
= √ (-7)2 + (1) 2
= √ 1 + 49
= √ 49 + 1
= √ 50 = 7.07 unit
= √ 50 = 7.07 unit
Titik B (2 , -4) dan C (-4, 4) x 1 y1 BC
x 2 y2
= √ (x2 - x 1)2 + (y2 - y1)2 = √ (-4 - 2)2 + (4 – (-4) )2 = √ (-6)2 + (8) 2 = √ 36 + 64 = √100 = 10 unit
Di dapati bahawa AB = BC. Maka segitiga ABC ialah sebuah segitiga sama kaki.
5
SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Mencari Titik Tengah Titik tengah Titik yang membahagikan suatu garis lurus kepada dua bahagian yang sama panjang. Contoh 4 : Cari titik tengah bagi A ( 5 , 5 ) dan B ( 1 , 1) y
x 2 y2 A(5,5)
5 4
Titik tengah ( 3 , 3 )
3 2 1
B(1,1) y1
x1 0
1
2
3
4
5
x
Penyelesaian : Titik tengah AB =
x1 + x2
,
2
2
=
=
1+5
,
2
1+5 2
2 6
y1 + y2
,
6 2
=(3,3)
6
SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 5 : Diberi P ( m , -3 ), Q (- 4 , n) dan titik tengah bagi garis PQ ialah ( 3 , -2 ). Cari nilai m dan n.
Penyelesaian : x1 + x2
Titik tengah PQ =
,
2
2
m + (-4)
=
y1 + y2
,
2
-3 + n 2
Di beri titik tengah PQ = ( 3 , -2 ) Maka :
m + (-4)
=
3
2
-3 + n
=
-2
2
m + (-4)
= 3x2
-3 + n
= -2 x 2
m + (-4)
= 6
-3 + n
= -4
m
= 6+4
n
= -4 + 3
m
= 10
n
= -1
7
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
Mencari Titik Tengah Jika Di beri Kadar Nisbah Formula yang digunakan ialah :
n x1 + m x2
n y1 + m y2
,
m+n
m+n
Di mana m : n adalah kadar nisbah Contoh 6 : Cari koordinat bagi titik P yang membahagi dalam garis lurus yang menyambungkan A ( 5, 4 ) dan B ( -5 , -6 ) dengan nisbah 3 : 2. Penyelesaian : i. ii.
Buat gambarajah satah cartesan. Plotkan titik-titik koordinat A dan B .
iii.
Buat pengiraan
n x1 + m x2 P = =
,
m+n 2 (5) + 3 (-5) 3+2
,
n y1 + m y2 m+n 2 (4) + 3 (-6) 3+2
= ( -1 , -2 ) 8
SPA 3204
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
MATEMATIK GUNAAN
Contoh 7 : Cari nisbah P (3 , 4) yang membahagi dalam garis lurus yang menyambungkan A ( -1 , 2 ) yang membahagi dalam garis lurus yang menyambungkan B (9 , 7). Penyelesaian : Katakan P membahagi dalam AB dengan nisbah m : n. Maka, P =
=
n x1 + m x2
,
n y1 + m y2 m+n
m+n n (-1) + m (9)
,
n (2) + m (7)
m+n
m+n
Diberi titik P ialah (3 , 4) Maka,
n (-1) + m (9)
= 3
m+n
n (2) + m (7) = 4 m+n
n (-1) + m (9)
= 3m + 3n
- n + 9m
= 3m + 3n
2n + 7 m
= 4m + 4n
9m–3m
= 3n+n
7m–4m
= 4n- 2n
6m
= 4n
m
= 4 6
n
m n
n (2) + m (7)
3m
m n
= 4m + 4n
= 2n = 2 3
= 2 3
Jadi, P membahagi dalam AB dengan nisbah 2 : 3.
9
TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT
SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN
Latihan : 1.
Cari jarak di antara titik-titik berikut : a. A ( -1 , 2 ) dengan B ( 2 , 6 ) b. C ( 15 , 4 ) dengan D ( 3 , -1 ) c. E ( 4 , -3 ) dengan F ( -5 , -3 )
2.
P ( -1 , 7 ), Q ( 5 , 6 ) dan R ( 6 , 0 ) ialah bucu-bucu bagi sebuah segitiga. Nyatakan sisi terpanjang bagi segitiga itu.
3.
Jika jarak di antara titik D ( 3 , 3 ) dengan titik F ( k , 18 ) ialah 17 unit, cari nilainilai yang mungkin bagi k ?
4.
Cari koordinat titik tengah bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik berikut : a. A ( 8 , 2 ) dengan B ( 0 , -6 ) b. C ( 3 , -5 ) dengan D ( 9 , -5 ) c. E ( -3 , 4 ) dengan F ( -2 , - 4 )
5.
Diberi P ( 3 , a ) dan Q ( b , 4 ). Jika R ( 3 , 5 ) ialah titik tengah bagi garisan PQ, cari nilai a dan b.
6.
Cari koordinat bagi titik yang membahagi dalam garis lurus yang menyambungkan setiap setiap pasangan titik yang berikut dengan nisbah yang diberikan. a. A ( -2 , -2 ) dan C ( 3 , 10 ) , nisbah 2 : 3 b. E ( 2 , 3 ) dan F ( -6 , 11) , nisbah 5 : 2.
10
