Geometri Analitika Ruang Semester IV (3 SKS)
Profil Dosen Nama : Ilham Rais Arvianto, M.Pd Alamat : Grha Purwomukti A1, RT 7 RW 3, Randusari, Purwomartani, Kalasan, Sleman, Yogyakarta. 55571 No. HP : 0822 4380 4818 Email :
[email protected] Blog : ilhamarvianto.wordpress.com
2
Deskripsi Mata Kuliah Geometri Analit Ruang (GAR) mempelajari sifat-sifat geometri dari hubungan fungsional antara absis (x), ordinat (y), dan aplikat (z). Materi Bahasan: 1. Sistem koordinat, 2. Bidang rata, 3. Garis lurus, 4. Bola, 5. Tempat kedudukan, 6. Bidang derajad dua, 7. Persamaan umum derajad dua, 8. Merubah persamaan umum derajad dua ke bentuk sederhana.
3
Referensi Slamet Hw. 2013. Geometri Analitika Ruang. Muhammadiyah University Press (MUP): Surakarta.
Penilaian 1. 2. 3. 4.
Presensi UTS UAS Tugas
5% 30% 35% 30%
E 0
D 35
C 50
BC 56
B 63
AB 70
A 77
100 4
Aturan Perkuliahan 1. 2. 3. 4. 5.
Mahasiswa hadir tepat waktu saat kuliah. Toleransi keterlambat 15 menit. Syarat mengikuti UAS: kehadiran ≥ 75% dari total pertemuan. Diperbolehkan minum dan makan permen selama perkuliahan. Point tambahan bagi mahasiswa yang aktif dalam perkuliahan.
5
Pertemuan 1
Titik dan Sistem Koordinat Kompetensi: Menggunakan sistem koodinat untuk menentukan: (1) letak titik, (2) menghitung jarak antara dua titik, dan (3) menentukan sudut dua arah
Pengantar Sistem Koordinat Y+
Y+
P(x,y)
y
O
x
P(3,4)
4
X+
O
3
X+
x (absis) : jarak P ke sumbu Y (garis x = 0) y (ordinat): jarak P ke sumbu X (garis y = 0) 7
Sistem Koordinat (1) Sistem Koordinat Siku-siku (Ortogonal) Sumbu OX, OY dan OZ saling tegak lurus.
Z+
Z+
P(x,y,z)
X-
X+ Y+
z
y
O Y-
Y+
x
P’ Z-
X+
x (absis) : jarak P ke bidang YOZ y (ordinat): jarak P ke bidang XOZ z (aplikat) : jarak P ke bidang XOY
Kaidah tangan kanan (Sumbu-sumbu positif pada dimensi tiga)
8
Sistem Koordinat Contoh 1 1. Gambarlah titik-titik berikut pada koordinat siku-siku:
a. P(4,3,5) b. Q(5,-3,2) c. R(4,5,-3) 2. Bila O dan R pada soal nomor 1 adalah titik-titik sudut pada balok RBCD.EFOH, tentukan koordinat titik-titik sudut yang lain!
9
Sistem Koordinat (2) Sistem Koordinat Miring Sumbu OX, OY dan OZ tidak saling tegak lurus. Z+
P(x,y,z) z
y
O x
Y+ P’
X+
10
Sistem Koordinat (3) Sistem Koordinat Silinder Z+
Hubungan system koordinat silinder dengan system koordinat orthogonal:
P(r , , z ) P( x, y, z ) z O x
y
Y+
r
P’
x r cos y r sin zz
X+
11
Sistem Koordinat (4) Sistem Koordinat Bola Z+
Hubungan system koordinat bola dengan system koordinat orthogonal:
P( R, , ) P( x, y, z )
R z O x
y
Y+
r
P’
x R sin cos y R sin sin z R cos
X+
12
Jarak Antara Dua Titik Z+
Q( x2 , y2 , z2 )
P( x1 , y1 , z1 ) Y+
Jarak P(x1,y1,z1) ke Q(x2,y2,z2) adalah: X+
PQ
Khusus, jarak O(0,0,0) ke P(x,y,z) adalah:
x2 x1 y2 y1 z2 z1 2
2
OP x y z 2
2
2
2 13
Jarak Antara Dua Titik Contoh 2 1. Tentukan jarak titik pusat O ke titik P, bila: a. P(1,1,1) b. P(-2,1,-3) c. P(0,2,0) d. P(3,0,4) e. P(7,1,0) f. P(-1,0,7) 2. Tentukan jarak PQ bila a. P(1,1,1) dan Q(2,3,4) b. P(2,3,0) dan Q(3,0,2)
14
Rumus Perbandingan Bila diketahui titik P membagi segmen garis A dan B atas perbandingan AP : PB = m : n maka koordinat P adalah:
m x2 n x1 xP mn m y2 n y1 yP mn m z2 n z1 zP mn
P membagi AB di dalam, AP : PB = m : n n
B( x2 , y2 , z2 )
m
P( xP , y P , z P ) A( x1 , y1 , z1 )
P membagi A dan B di luar, AP : PB = m : (-n) m
-n
P( xP , y P , z P ) B( x2 , y2 , z2 )
A( x1 , y1 , z1 ) 15
Rumus Perbandingan Contoh 3 1. Diketahui dua titik A(1,1,1) dan B(2,3,4), bila P membagi AB di dalam atas perbandingan 3 : 2, tentukan koordinat P! 2. Diketahui dua titik A(1,-1,1) dan B(-2,3,-4) bila Q membagi AB di luar atas perbandingan 2 : 1, tentukan koordinat Q!
16
Aplikasi Rumus Perbandingan Bila P membagi AB di dalam dengan perbandingan sama besar (P titik tengah AB), maka m : n = 1 : 1. Akibatnya:
m x2 n x1 xP mn m y2 n y1 yP mn m z2 n z1 zP mn
m : n 1:1
x2 x1 xP 2 y2 y1 yP 2 z2 z1 zP 2
n m
B( x2 , y2 , z2 ) P( xP , y P , z P )
A( x1 , y1 , z1 )
Contoh 4 Diketahui dua titik A(1,1,1) dan B(2,3,4), bila P adalah titik tengah AB, tentukan koordinat P! 17
Aplikasi Rumus Perbandingan Contoh 5 Ditentukan titik P(x1,y1,z1), Q(x2,y2,z2) dan R(x3,y3,z3). Tentukan koordinat titik berat (Z) pada PQR. x3 x2 y3 y2 z3 z2 S titik tengah QR, maka S , , Z+ 2 2 2 P( x , y , z ) 1
1
1
Q( x2 , y2 , z2 )
2
Z
1
S R( x3 , y3 , z3 ) Y+
X+
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 Z , , 3 3 3
PS garis berat, maka PZ : ZS = 2 : 1. Akibatnya:
x x 2 3 2 x1 2 xs 1 x p x1 x2 x3 2 xZ 2 1 3 3 y y 2 3 2 y1 2 ys 1 y p y y y 2 yZ 1 2 3 2 1 3 3 z z 2 3 2 z1 2 z s 1 z p z z z 2 zZ 1 2 3 2 1 3 3 18
Bentuk Lain Rumus Perbandingan m x2 n x1 xP mn m y2 n y1 yP mn m z2 n z1 zP mn
m n
x1 x2 xP 1 y1 y2 yP 1 z1 z2 zP 1
Contoh 6 1. Diketahui dua titik A(1,1,1) dan B(2,3,4), bila P membagi AB di dalam atas perbandingan 3 : 2, tentukan koordinat P! 2. Diketahui dua titik A(1,-1,1) dan B(-2,3,-4) bila Q membagi AB di luar atas perbandingan 2 : 1, tentukan koordinat Q! 19
Portofolio 1 Halaman 10 1. h dan i 2. c 3. Soal 2c 4. 6. b
20
