Geometri (bangun ruang)
9.1 BENTUK DASAR BANGUN RUANG 1. Kubus Luas = 6s2 Vol = s3
(s = panjang sisi)
2. Balok Luas = 2 x (p.l + p.t + l.t) Vol = p.l.t
3. Prisma Luas = 2 x l. alas + selimut Vol = luas alas x tinggi
4. Limas Luas = l. alas + selimut Vol = 1/3 l. alas x tinggi
Matematika Dasar
Page 121
5. Tabung Luas = 2 π r ( r + t ) t
Vol = π r2 t
6. Kerucut Luas = π r (r+s)
( s = pjg sisi miring )
Vol = 1/3 . luas alas . tinggi 7. Bola Luas = 4 π r2 Vol = 4/3. π r3
Latihan 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, titik M di tengah GH dan titik N pada rusuk DH sedemikian sehingga DN = 2 NH. Tentukanlah: a. jarak AG b. jarak BM c. jarak BN d. volume limas N.ABCD e. Perbandingan volume limas N.ABCD dan limas M.BCD 2. Balok ABCD.EFGH, perbandingan p : l : t = 4 : 3 : 2. Jika volume balok itu 81 cm3, tentukan panjang diagonal ruangnya. 3. Hitunglah tinggi & volume limas segitiga beraturan T.ABC jika AB = 8 cm dan TA = 6 cm 4. Hitunglah tinggi & volume limas segiempat beraturan T.ABCD jika AB = 8 cm dan TA = 6 cm
Matematika Dasar
Page 122
5. Diket limas segi6 beraturan T.ABCDEF, AB = 3 cm dan rusuk TA = 5 cm. Hitung tinggi & volume limas itu 9.2 KEDUDUKAN TITIK, GARIS, & BIDANG Garis, Bidang, dan Bangun Ruang • Garis = benda berdimensi satu dan hanya mempunyai panjang tapi tidak mempunyai lebar. • Bidang (bidang datar) = benda berdimensi dua yang mempunyai ukuran panjang dan lebar. Nama bidang bisa dituliskan di pojok bidang dengan huruf A, B, atau dengan menuliskan titik-titik sudut bidang itu. • Bangun ruang adalah benda berdimensi tiga. Aksioma/teori titik, garis, dan bidang: • Melalui 2 titik sembarang hanya dapat dibuat 1 garis. • Sebuah bidang dapat ditentukan/dibentuk oleh: a. 3 titik sembarang. b. 1 garis & 1 titik di luar garis. c. 2 garis berpotongan. d. 2 garis sejajar. Kedudukan titik dan garis: Ada 2, yaitu: a. titik pada garis (titik A)
A B
b. titik di luar garis (titik B) Kedudukan titik dan bidang: D
Ada 2, yaitu: a. titik pada bidang (titik C) α
C
b. titik di luar bidang (titik D)
Matematika Dasar
Page 123
Kedudukan garis dan garis lain: • Ada tiga: berpotongan, sejajar, bersilangan. • Garis g dan h berpotongan, jika mereka terletak pada 1 bidang dan mempunyai hanya 1 titik persekutuan. • Garis g dan h sejajar, jika kedua mereka terletak pd 1 bidang dan tidak mempuyai titik persekutuan. • Garis g dan h bersilangan, jika mereka itu tidak terletak pd 1 bidang dan tidak sejajar. • Melalui 1 titik di luar garis, hanya dapat dibuat 1 garis yang sejajar dengan garis itu. Kedudukan garis dan bidang: • Ada 3 kemungkinan: a. Garis terletak pd bidang: jika garis & bidang mempunyai minimal 2 titik persekutuan. b. Garis sejajar bidang: jika garis & bidang tidak mempunyai titik persekutuan. c. Garis menembus bidang: jika garis & bidang hanya mempunyai 1 titik tembus. • Jika garis g sejajar h & garis h terletak pd bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α. Kedudukan bidang dan bidang lain • Ada 3 kemungkinan: a. Berimpit: jika setiap titik pada sebuah bidang, terletak juga pada bidang yang lain. b. Sejajar: jika keduanya tidak mempunyai titik persekutuan. c. Berpotongan: jika kedua bidang itu mempunyai 1 garis persekutuan.
Matematika Dasar
Page 124
• Jika garis g menembus bidang α dan bidang α sejajar bidang β, maka garis g juga pasti menembus bidang β. 9.3 Irisan Bangun Ruang Bidang irisan (penampang) adalah sebuah bidang datar yang memotong suatu bangun ruang melalui 3 titik yang telah ditentukan sebelumnya (ingat aksioma di atas!). Bidang irisan ini melalui tepi sisi luar dari bangun ruang (tidak mesti semua sisi rusuk bangun ruang dilalui oleh bidang irisan). Contoh 9.1 Pada kubus di bawah ini, bidang yang diarsir adalah bidang irisan yang melalui titik A, C, dan H. Terlihat bahwa bidang irisan tidak mesti melalui semua rusuk (tidak melalui rusuk BF, EF, dan FG). G H E
F
C
D A
B
Contoh 9.2 Perhatikan gambar kubus berikut ini. Pada rusuk HG, AE, dan BF terdapat titik P, Q, dan R. Akan dibuat bidang irisan yang melalui titik P, Q, dan R. G H E
F
C
D A Matematika Dasar
B Page 125
Jawab: Perhatikan gambar di atas: P terletak pd bidang DCGH dan EFGH Q terletak pd bidang ABFE dan ADHE R terletak pd bidang ABFE dan BCGF Tampak bahwa Q dan R terletak sama-sama pd bidang ABFE. Oleh karena itu, titik Q dan R bisa langsung dihubungkan (garis QR merupakan sisi dari bidang irisan yang akan dibuat). Tetapi tidak demikian dengan titik P karena tidak terletak 1 bidang dengan titik Q maupun R. Maka, melalui titik P akan dibuat garis bantu PQ dan PR. H E
Q Garis bantu R
G
P F
D
A
C B
Garis bantu
Akan ditentukan sebuah bidang, dimana garis PQ dan PR akan bertemu di 1 bidang tertentu. Bidang temu itu adalah bidang alas (bidang ABCD). Perhatikan bahwa garis PQ dan PR jika diteruskan, akan sama-sama menembus alas kubus. Cara menentukan titik tembus garis PQ: •
Proyeksikan titik P dan Q ke bidang alas.
•
Diperoleh titik S dan titik A.
•
Karena titik S dan A terletak pd 1 bidang yang sama, maka S dan A bisa dihubungkan.
•
Titik potong garis PQ dan garis SA disebut titik tembus (di titik T).
Matematika Dasar
Page 126
•
Begitu pula garis PR, akan menembus alas di titik U. H
P F
E
Q
T
R A
G
D
C
S B U
Kedua titik tembus ini akan dihubungkan oleh sebuah garis (disebut sumbu afinitas). Sumbu afinitas adalah garis yang terletak pada alas/atap/sisi terluar dari bangun ruang, yang digunakan sbg patokan untuk menarik garis-garis bidang irisan lainnya di dalam bangun ruang itu. Pada contoh ini: - Proyeksikan titik R ke bidang alas (didapat titik B). - Karena titik B terletak di alas, maka hubungkan garis pd alas kubus yang melalui B (yaitu garis CB), potongkan dengan sumbu afinitas (didapat titik V). - Hal ini dimaksudkan untuk mencari garis bidang irisan pd sisi BCGF. - Hubungkan garis VR hingga memotong rusuk CG di titik W
Matematika Dasar
Page 127
Lakukan hal yang sama untuk mencari garis tepi dari bidang irisan pd sisi ADHE. Tarik/perpanjang garis DA hingga memotong sumbu afinitas di titik X. Hubungkan garis XQ hingga ke atas (didapat titik Y)
Karena titik P terletak sebidang dengan Y dan W, maka dapat ditarik garis PY dan PW. Didapat bidang irisan yang melalui titik P, Q, dan R (yaitu bidang yang diarsir), selesai!
Matematika Dasar
Page 128
Contoh 9.3 Perhatikan gambar limas di bawah ini. Tentukan bidang irisan yang melalui titik K, L, dan M. Contoh 3 Perhatikan gambar limas di bawah ini. Tentukan bidang irisan yang melalui titik K, L, dan M.
Jawab: Perhatikan: titik L dan M terletak pd 1 bidang (yaitu alas). Oleh karena itu, langsung hubungkan garis LM.
Garis LM ini jika dipanjangkan, pasti akan menembus bidang samping kiri limas (bidang TAD) dan bidang belakang (TDC). Karena titik K ada di rusuk belakang limas, maka cari titik tembus garis LM di bidang belakang, yaitu dengan cara memperpanjang garis DC, didapat titik P.
Matematika Dasar
Page 129
Demikian juga, cari titik tembus garis LM dengan bidang kiri limas, dengan memperpanjang garis DA, didapat titik Q Sekarang, tampak bahwa titik K dan P terletak pd 1 bidang, shg dapat dibuat garis sampai memotong rusuk TD di titik R.
Karena titik R dan Q terletak pd 1 bidang (bidang samping kiri limas), maka hubungkan titik R dan Q hingga memotong rusuk TA di titik S.
Matematika Dasar
Page 130
Dengan menghubungkan titik-titik M-K-R-S-L-M akan didapat bidang irisan yang ditanyakan, selesai!
Contoh 9.4 Pada gambar balok berikut ini, tentukan bidang irisan yang melalui titik A, B, dan C.
Jawab: Titik A, B, dan C tidak ada yang sebidang, jadi perlu dibuatkan garis bantu. Jika ditarik garis bantu AC, maka garis AC ini harus ditembuskan ke bidang dimana titik B berada. Juga, jika ditarik garis bantu BA, maka harus ditembuskan ke bidang dimana titik C berada. Misalnya ditarik garis bantu AC. “Jika A dan C dihubungkan, maka proyeksi A dan proyeksi C juga dihubungkan”, didapat titik P
Karena P dan B sudah terletak pd 1 bidang, maka dapat dihubungkan, dan garis PB diperpanjang hingga: Matematika Dasar
Page 131
- memotong rusuk depan-bawah, didapat titik Q. - menembus bidang belakang tempat A berada, didapat titik R.
Karena titik R dan A sebidang (di bidang belakang), maka dapat dihubungkan, diperpanjang hingga menembus bidang samping kiri, didapat titik S dan T.
Karena titik S dan C terletak sebidang (di bidang samping kiri), maka hubungkan S dan C, didapat titik U
Matematika Dasar
Page 132
Dengan menghubungkan garis T – A – U – C – Q – B – T diperoleh bidang irisan yang melalui titik A, B, dan C, selesai!
Latihan 2 Tentukan bidang irisan yang melalui titik A, B, dan C pada gambar berikut ini.
Matematika Dasar
Page 133
