BAB 4 : BANGUN RUANG

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR Jl. Raya Wangun Kel. Sindangsari Kota Bogor Telp. 0251-8242411, email: [email protected], website : www.smkwikrama.net

BAB 4 : BANGUN RUANG BANGUN RUANG Bangun ruang adalah suatu bentuk benda yang memiliki ruang di dalamnya. Macam-macam bangun ruang di antaranya :

K

L H F

E

M

K

G

L

D

C

P

O A

B KUBUS

N

P

O

W

PRISMA SEGITIGA

M

V

PRISMA SEGILIMA

U

T S

R

P

Q BALOK

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat benda-berbentuk balok atau kubus, misalnya kardus sepatu, lemari, kulkas, dll. Di dalam benda-benda tersebut kita akan mengenal istilah diagonal bidang atau diagonal sisi, diagonal ruang dan bidang diagonal. A. Diagonal Bidang Balok Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan bidang TUVW pada gambar di bawah ini.

W

V U

T S P

N

R Q Materi Pengayaan Matematika Kelas XII


Ruas garis yang menghubungkan titik sudut T dan V serta U dan W disebut diagonal bidang atau diagonal sisi. Dengan demikian, bidang TUVW mempunyai dua diagonal bidang, yaitu TV dan UW . Jadi, setiap bidang pada balok mempunyai dua diagonal bidang. Karena balok memiliki 6 bidang sisi, maka balok memiliki 12 diagonal bidang atau diagonal sisi. Bagaimana cara menghitung panjang diagonal bidang atau diagonal sisi pada balok? Untuk mencari panjang diagonal bidang atau sisi dapat menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar balok di bawah ini.

W

V

V

U

T

l

S

R

P

Q

T

U p

Misalkan balok PQRS.TUVW di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka panjang TV dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga TUV siku-siku di U. Sehingga: TV = √(TU2 + UV2) TV = √(p2 + l2) Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal sisi, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal. Perhatikan gambar di bawah berikut ini.

H

G F

E D A

C B

Diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 5 cm. Hitunglah: a) panjang AF b) panjang AC c) panjang AH

Materi Pengayaan Matematika Kelas XII


Penyelesaian:

H

G F

E D

C

A

B

a) Panjang AF dapat dihitung dengan teorema phytagoras. Perhatikan segitiga ABF siku-siku di B, maka: AF = √(AB2 + BF2) AF = √(122 + 52) AF = √(144 + 25) AF = √169 AF = 13 cm b) Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B, maka: AC = √(AB2 + BC2) AF = √(122 + 82) AF = √(144 + 64) AF = √208 AF = 4√13 cm c) Perhatikan segitiga AEH siku-siku di E, maka: AC = √(AE2 + EH2) AF = √(52 + 82) AF = √(25 + 64) AF = √89 cm Diagonal Ruang Balok Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan gambar berikut di bawah ini.

H

G F

E D A

C B



Hubungkan titik P dan V, Q dan W, R dan T, atau S dan U. Garis PV, garis QW, garis RT, dan garis SU disebut diagonal ruang. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu balok memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang balok? Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

H

G F

E D A

C B

Misalkan balok ABCD.EFGH di atas memiliki panjang p, lebar l, dan tinggi t. Maka panjang AG dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang AC, di mana AC merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABC siku-siku di B. Sehingga: AC = √(AB2 + BC2) AC = √(p2 + l2) Sekarang cari panjang AG dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga ACG siku-siku di G. Sehingga: AG = √(AC2 + CG2) AG = √(√(p2 + l2)2 + t2) AG = √(p2 + l2 + t2) Misalkan diagonal ruang balok adalah d maka secara umum diagonal ruang balok dapat dirumuskan: d = √(p2 + l2 + t2) Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal Sebuah balok memiliki panjang 12 cm, lebar 8 cm dan tinggi 4 cm. Hitung berapa Penyelesaian: d = √(p2 + l2 + t2) d = √(122 + 82 + 42)



d = √224 d = 4√14 cm Bidang Diagonal Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu balok. Untuk memahami definisi tersebut coba perhatikan balok PQRS.TUVW pada gambar di bawah ini.

W

V U

T S

R

P

Q

Bidang PRVT dan PWVQ disebut bidang diagonal. Jadi balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal? Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal Perhatikan gambar di bawah berikut ini.

H

G F

E D

C

A

B

Diketahui panjang AB = 12 cm, BC = 8 cm dan AE = 6 cm. Hitunglah luas bidang diagonal ABGH! Penyelesaiaan: Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.

H

G F

E D A

C B



Terlebih dahulu harus cari panjang BG dengan teorema phytagoras. BG = √(BC2 + CG2) BG = √(82 + 62) BG = √(64 + 36) BG = √100 BG = 10 cm Luas bidang diagonal ABGH dapat dicari dengan rumus persegi panjang, yakni: Luas ABGH = AB . BG Luas ABGH = 12 cm . 10 cm Luas ABGH = 120 cm2 LATIHAN SOAL : 1. Sebuah kubus JKLM.NOPQ memiliki rusuk dengan panjang 7cm. Hitunglah panjang diagonal sisi kubus tersebut. 2. Kubus dengan panjang sisi 12 cm. Tentukan a. panjang diagonal bidang sisi kubus b. panjang diagonal ruang. 3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6cm. Jarak titik B ke diagonal ruang AG adalah…cm. 5. Prisma segi – 4 beraturan ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D ke TH = … cm. 6. Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah … cm. 7. Diketahui Bidang empat T.ABC dengan AT, AB dan AC saling tegak lurus di A. Jika panjang AB=AC=AT= 5 cm, maka jarak titik A kebidang TBC adalah … cm 8. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah … cm. 9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6√3 cm. Jarak bidang ACH dan EGB adalah … cm. 10. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ….


BAB 4 : BANGUN RUANG

Recommend Documents