GEOMETRI BAB II BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Matematika Kelas IX Semester 1

Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung

GEOMETRI BAB II BANGUN RUANG SISI LENGKUNG A.

Pengertian dan Unsur-unsur Tabung, Kerucut, dan Bola 1.

Tabung Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang lingkaran yang sama besar dan sebangun (kongruen) yang berhadapan, sejajar, dan tiap titik yang bersesuaian pada kedua lingkaran tersebut saling dihubungkan dengan garis lurus. Unsur-unsur Tabung : r = AB = CD = jari-jari lingkaran t = BC = tinggi tabung

C

Bidang atas (tutup tabung)

Bidang alas (alas tabung) 2.

r

D

Bidang lengkung (selimut tabung)

t

B

r

A

Kerucut Kerucut adalah bangun yang dibatasi oleh garis pelukis yang ujung-ujungnya bergerak mengelilingi sisi alas berupa lingkaran dan pangkalnya diam di titik puncak C kerucut. Unsur-unsur Kerucut : s

t

= tinggi kerucut (BC)

r

= jari-jari (AB)

s

Bidang alas A B r (alas kerucut) = garis pelukis, yaitu garis yang menghubungkan titik puncak kerucut dengan titik

t

Bidang lengkung (selimut kerucut)

pada keliling sisi alas kerucut (AC) Berlaku rumus : s = r 2 + t 2 (rumus Pythagoras) 3.

Bola Bola adalah bangun ruang yang dibatasi

B

oleh tempat kedudukan titik-titik yang berjarak

Bidang lengkung (permukaan bola)

sama (jari-jari) dari suatu titik tertentu (titik pusat). Unsur-unsur Bola : r = AO = BO = jari-jari NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013

O

r

A


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung O = titik pusat B.

Luas dan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola 1.

Tabung a) Luas Alas = Luas Lingkaran = πr 2 b) Luas Tutup = Luas Alas = πr 2 c) Luas Selimut = Keliling Alas

× Tinggi

= 2πr × t = 2πrt d) Luas Permukaan Tabung = Luas Alas + Luas Tutup + Luas Selimut = πr 2 + πr 2 + 2πrt = 2πr 2 + 2πrt = 2πr (r + t ) e) Volume Tabung = Luas Alas

× Tinggi

= πr 2 × t = πr 2 t 2.

Kerucut a) Luas Alas = Luas Lingkaran = πr

Ingat!

2

b) Luas Selimut = Luas Juring

Luas Juring Panjang Busur = Luas Lingkaran Keliling Lingkaran

=

Panjang Busur × Luas Lingkaran Keliling Lingkaran

=

2πr × πs 2 2πs

= πrs c) Luas Permukaan Kerucut = Luas Alas + Luas Selimut = πr 2 + πrs = πr (r + s ) d) Volume Kerucut =

1 × Volume Tabung 3

=

1 × Luas Alas × Tinggi 3

=

1 × πr 2 × t 3

=

1 2 πr t 3

3. Bola NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung Luas Permukaan Tabung = a) Luas Permukaan Bola =

3 × Luas Permukaan Bola 2

2 × Luas Permukaan Tabung 3

=

2 × 2πr (r + t ) 3

=

2 × 2πr (r + 2r ) 3

=

2 × 2πr (3r ) 3

= 4πr 2 b) Volume Bola =

4 3 πr 3

c) Luas Belahan Bola Padat = Luas =

1 Bola + Luas Penampang 2

1 × 4πr 2 + πr 2 2

= 2πr 2 + πr 2 = 3πr 2 Contoh : 1. Pada gambar di samping, Hitunglah : a. Berapa cm panjang diameter alasnya b. Berapa cm tingginya c. Luas alas

18 cm

d. Luas tutup e. Luas selimut tabung f. Luas permukaan tabung

7 cm

g. Luas tabung tanpa tutup h. Volume tabung 2. Pada gambar berikut! Diketahui tinggi kerucut 8 cm dan diameter alasnya 12 cm. Hitunglah : a. Panjang jari-jari alas kerucut b. Panjang garis pelukis kerucut

8 cm

c. Luas selimut kerucut d. Luas permukaan kerucut e. Volume kerucut 3. Jika diketahui jari-jari bola 3,5 cm. Hitunglah : a. Luas permukaan bola NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013

12 cm


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung b. Volume bola

4. Tinggi suatu tabung 15 cm dan luas selimutnya 1.320 cm2. Hitunglah a. Panjang jari-jari alasnya b. Luas permukaan tabung c. Volume tabung Catatan : nilai π =

22 7

5. Panjang jari-jari alas sebuah tabung tanpa tutup adalah 6 cm dan luas permukaannya 791,28 cm2. Hitunglah tinggi tabung tersebut! 6. Tentukan tinggi sebuah kerucut jika diketahui volumenya 462 cm2 dan diameter alasnya 21 cm. 7. Luas permukaan sebuah bola 1.256 cm2. Hitunglah : a. Panjang jari-jari bola b. Volume bola Catatan : nilai π = 3,14 8. Sebuah tabung berisi 770 cm3 zat cair. Panjang jari-jari alas tabung 7 cm. Hitunglah : a. Tinggi zat cair itu b. Luas permukaan tabung tersebut Catatan : nilai π =

22 7

9. Volume sebuah kerucut 314 cm3. Jika diameter alasnya 10 cm dan π = 3,14 . Hitunglah : a. Tinggi kerucut b. Panjang garis pelukis c. Luas permukaan kerucut Catatan : nilai π = 3,14 10. Hitunglah panjang jari-jari bola, jika : a. Volume bola 1437

1 22 cm3. (Catatan : nilai π = ) 3 7

b. Luas permukaan bola 2826 cm2. (Catatan : nilai π = 3,14 ) Penyelesaian : a. d = 2 × r = 2 × 7 cm = 14 cm

1.

b. t = 18 cm c. Luas Alas = πr 2 = 18 cm

22 × 7 cm × 7 cm = 154 cm 2 7

d. Luas Tutup = πr 2 = NURFARISYAH, S.Pd 7 cm NIP. 19871204 201001 2 013

22 × 7 cm × 7 cm = 154 cm 2 7


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung e. Luas Selimut Tabung = 2πrt = 2×

22 × 7 cm × 18 cm 7

= 792 cm 2 f. Luas Permukaan Tabung = 2πr (r + t ) = 2 ×

22 × 7 cm × (7 cm + 18 cm) = 1.100 cm 2 7

g. Luas Tabung Tanpa Tutup = Luas Alas + Luas Selimut = 154 cm 2 + 792 cm 2 = 946 cm 2 h. Volume Tabung = πr 2 t = 2.

a. r =

22 × 7 cm × 7 cm × 18 cm = 2.772 cm 3 7

1 1 × d = × 12 cm = 6 cm 2 2

b. s =

r2 + t2 =

(6 cm)2 + (8 cm)2

= 100 cm 2 = 10 cm

c. Luas Selimut Kerucut = πrs = 3,14 × 6 cm × 10 cm = 188,4 cm 2

8 cm

d. Luas Permukaan Kerucut = πr (r + s ) = 3,14 × 6 cm × (6 cm + 10 cm)

12 cm

= 301,44 cm 2 e. Volume Kerucut =

1 2 1 πr t = × 3,14 × 6 cm × 6 cm × 8 cm = 301,44 cm 3 3 3

3. a. Luas Permukaan Bola = 4πr 2 = 4 × b. Volume Bola =

22 35 35 × cm × cm = 154 cm 2 7 10 10

4 3 πr 3

=

4 22 35 35 35 × × cm × cm × cm 3 7 10 10 10

=

471.625 cm 3 2.625

= 179,67 cm3 4. a. Luas selimut Tabung = 2πrt

22 × r × 15 cm 7

1.320 cm 2

= 2×

9.240 cm 2

= 44 × 15 cm × r

r

9.240 cm 2 = 660 cm

r

= 14 cm

b. Luas Permukaan Tabung = 2πr (r + t ) = 2 × NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013

22 × 14 cm × (14 cm + 15 cm) = 2.552 cm 2 7


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung c. Volume Tabung

=

πr 2 t

=

22 × 14 cm × 14 cm × 15 cm 7

= 9.240 cm 3

5. Luas Permukaan Tabung Tanpa Tutup = Luas Alas + Luas Selimut 791,28 cm 2

=

πr 2 + 2πrt

791,28 cm 2

=

(3,14 × 6 cm × 6 cm) + (2 × 3,14 × 6 cm × t )

791,28 cm 2

= 113,04 cm 2 + (37,68 cm × t )

(37,68 cm × t )

= 791,28 cm 2 – 113,04 cm 2

(37,68 cm × t )

= 678,24 cm 2 678,24 cm 2 37,68 cm

t

=

t

= 18 cm

6. Volume Kerucut =

1 2 πr t 3

462 cm 3

=

1 22 21 21 × × cm × cm × t 3 7 2 2

462 cm 3

=

231 2 cm × t 2

t

=

462cm 3 × 2 231 cm 2

t

= 4 cm

7. a. Luas Permukaan Bola = 1.256 cm 2 r

2

4πr 2

=

4 × 3,14 × r 2

=

1.256 cm 2 12,56

r2

= 100 cm 2

r

=

r

= 10 cm

b. Volume Bola =

100 cm 2

4 3 4 πr = × 3,14 × 10 cm × 10 cm × 10 cm = 4.186,67 cm 3 3 3 =

πr 2 t

770 cm 3

=

22 × 7 cm × 7 cm × t 7

t

=

770 cm 2 154 cm 2

8. a. Volume Tabung

NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung t = 5 cm 2πr (r + t )

b. Luas Permukaan Tabung =

2×

=

22 × 7 cm × (7 cm + 5 cm) 7

= 528 cm 2 9. a

Volume Kerucut =

1 2 πr t 3

314 cm 3

=

1 × 3,14 × 5 cm × 5 cm × t 3

314 cm 3

=

1 314 × × 25 cm 2 × t 3 100

t

=

314 cm 3 × 300 314 × 25 cm 2

t

= 12 cm

b. s =

r2 + t2 =

(5 cm)2 + (12 cm)2

= 169 cm 2 = 13 cm

c. Luas Permukaan Kerucut = πr (r + s ) = 3,14 × 5 cm × (5 cm + 13 cm) = 282,6 cm 2 10. a. Volume Bola =

4 3 πr 3

1 1.437 cm3 = 3

4 22 3 × ×r 3 7

4.312 cm3 = 3

88 3 ×r 21 4.312 3 21 cm × 3 88

r3

=

r3

= 343 cm 3

r

=

r

= 7 cm

3

343 cm 3

b. Luas Permukaan Bola =

C.

2.826 cm 2

=

4 × 3,14 × r 2

r2

=

2.826 cm 2 12,56

r2

= 225 cm 2

r

=

r

= 15 cm

Perubahan Volume 1.

4πr 2

Perbandingan Volume Contoh :


225 cm 2


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung 1. Panjang jari-jari alas sebuah tabung 8 cm dan tingginya 10 cm . Jika panjang jarijari alasnya diperpanjang menjadi 24 cm , tentukan perbandingan volume kedua tabung tersebut! 2. Panjang jari-jari alas sebuah kerucut 8 cm dan tingginya 15 cm . Jika panjang jarijari alasnya diperpanjang 2

1 kali, tentukan perbandingan volume kedua kerucut 2

tersebut! 3. Panjang jari-jari sebuah bola adalah r1 . Jika panjang jari-jari bola tersebut diperbesar 3 kali, tentukan perbandingan volume bola sebelum dan sesudah diperbesar! 4. Sebuah bola dimasukkan ke dalam sebuah tabung. Jika sisi bola menyinggung tabung, tentukan perbandingan volume tabung dan volume bola tersebut! 5. Diberikan tabung A dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 5 cm . Tabung B dengan jarijari 14 cm dan tinggi 10 cm . Tabung C dengan jari-jari 21 cm dan tinggi 15 cm . Hitunglah : a. Volume masing-masing tabung b. Perbandingan volume ketiga tabung Penyelesaian : 1. Diketahui :

r1 = 8 cm , r2 = 24 cm , dan t = 10 cm Misal : Volume tabung mula-mula = V1 Volume tabung setelah diperbesar = V2 Perbandingan volume kedua tabung : V1 V2

=

=

=

π (r1 )2 (t1 ) π (r2 )2 (t 2 ) π × 8 cm × 8 cm × 10 cm π × 24 cm × 24 cm × 10 cm 1 9

= 1:9 2. Diketahui :

1 r1 = 8 cm , r2 = 2 × 8 cm = 20 cm , dan t = 15 cm 2 Misal : Volume kerucut mula-mula = V1 Volume kerucut setelah diperbesar = V2 NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung Perbandingan volume kedua kerucut : V1 V2

=

=

=

1 π (r1 )2 (t1 ) 3 1 π (r2 )2 (t2 ) 3

1 × π × 8 cm × 8 cm × 15 cm 3 1 × π × 20 cm × 20 cm × 15 cm 3

4 25

= 4 : 25 3. Diketahui : r2 = 3 × r1 = 3 r1 Misal : Volume bola mula-mula = V1 Volume bola setelah diperbesar = V2 Perbandingan volume kedua bola : V1 V2

=

4 π (r1 )3 3 4 π (r2 )3 3

=

(r1 )3 (3r1 )3

=

(r1 )3 3 27(r1 )

=

1 27

= 1 : 27 4. Misal : Volume tabung = V1 Volume bola = V2 V1 V2

=

=

=

πr 2 t 4 3 πr 3

πr 2 t 4 3 πr 3

πr 2 (2r ) 4 3 πr 3



Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung =

=

2πr 3 4 3 πr 3

3 2

= 3:2 5. Diketahui :

rA = 7 cm , rB = 14 cm , rC = 21 cm t A = 5 cm , t B = 10 cm , t C = 15 cm Misal : Volume Tabung A = V A Volume Tabung B = VB Volume Tabung C = VC a. V A = π (rA )2 t A =

VB = π (rB )2 t B = 2

VC = π (rC ) t C =

22 × 7 cm × 7 cm × 5 cm = 770 cm 3 7 22 ×14 cm × 14 cm × 10 cm = 6.160 cm 3 7 22 × 21cm × 21cm × 15 cm = 20.790 cm 3 7

b. V A : VB = 770 cm 3 : 6.160 cm 3 = 1 : 8

VB : VC = 6.160 cm 3 : 20.790 cm 3 = 8 : 27 V A : VC = 770 cm 3 : 20.790 cm 3 = 1 : 27 2.

Besar Perubahan Volume a. Besar Perubahan Volume Tabung Jika Jari-jarinya Berubah Jika tabung dengan jari-jari r (awal) diperbesar menjadi tabung berjari-jari R

(

dan tingginya tetap t , maka : ∆V = πt R 2 − r 2

)

Jika tabung dengan jari-jari R (awal) diperkecil menjadi tabung berjari-jari r dan

(

tingginya tetap t , maka : ∆V = πt R 2 − r 2

)

b. Besar Perubahan Volume Kerucut Jika Jari-jarinya Berubah Jika kerucut dengan jari-jari r (awal) diperbesar menjadi kerucut berjari-jari R

1 dan tingginya tetap t , maka : ∆V = πt R 2 − r 2 3

(

)

Jika kerucut dengan jari-jari R (awal) diperkecil menjadi kerucut berjari-jari r

1 dan tingginya tetap t , maka : ∆V = πt R 2 − r 2 3

(

)

c. Besar Perubahan Volume Bola Jika Jari-jarinya Berubah



Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung Jika bola dengan jari-jari r (awal) diperbesar menjadi bola berjari-jari R dan

4 tingginya tetap t , maka : ∆V = π R 3 − r 3 3

(

)

Jika bola dengan jari-jari R (awal) diperkecil menjadi bola berjari-jari r dan

4 tingginya tetap t , maka : ∆V = π R 3 − r 3 3

(

)

Contoh : 1. Sebuah tabung memiliki tinggi 25 cm dan jari-jari 6 cm . Jika jari-jari tabung diperkecil menjadi 4 cm dan tingginya tetap, tentukan besar perubahan volume tabung! 2. Panjang jari-jari alas sebuah kerucut 7 cm dan tingginya 9 cm . Jika panjang jarijari alasnya diperpanjang 3 kali dari ukuran semula, tentukan perubahan volume kedua kerucut tersebut! 3. Sebuah bola berdiameter 14 cm . Jika bola itu dibuat menjadi berdiameter 7 cm , tentukan besar perubahan volume bola! 4. Sebuah kerucut memiliki jari-jari 14 cm dan tinggi 9 cm . Hitunglah besar perubahan volume jika jari-jarinya diubah menjadi setengahnya dan tingginya tetap. 5. Sebuah bola berdiameter 6 dm dilapisi dengan suatu lapisan setebal 3 dm . Tentukan besar perubahan volume bola tersebut! Penyelesaian : 1. Diketahui : R = 6 cm , r = 4 cm , t = 25 cm ∆V =

=

πt (R 2 − r 2 )

(

3,14 × 25 cm × (6 cm ) − (4 cm ) 2

2

)

= 1.570 cm 3 2. Diketahui : r = 7 cm , R = 3 × r = 3× 7 cm = 21 cm , t = 9 cm ∆V =

=

1 πt R 2 − r 2 3

(

)

1 22 2 2 × × 9 cm × (21cm) − (7 cm) 3 7

(

= 3.696 cm 3 3. Diketahui : R = 14 cm , r = 7 cm ∆V =

4 π R3 − r 3 3

(

)

=

4 22 3 3 × × (14 cm) − (7 cm) 3 7

=

4 22 × × 2.401 cm 3 3 7

(


)

)



4 × 7.546 cm 3 3

=

30.184 3 cm 3

1 = 10.061 cm 3 3

4. Diketahui : R = 14 cm , t = 9 cm , r = ∆V =

=

1 πt R 2 − r 2 3

(

1 1 × R = × 14 cm = 7 cm 2 2

)

1 22 2 2 × × 9 cm × (14 cm) − (7 cm) 3 7

(

)

= 1.386 cm 3 5. Diketahui : d = 6 dm = 60 cm ,

R=

1 1 × d = × 60 cm = 30 cm , 2 2

r = 30 cm – 3 cm = 27 cm

∆V =

D.

4 π R3 − r 3 3

(

)

=

4 π × (30cm)3 − (27 cm)3 3

=

9.756π cm3

=

9,756π liter

(

)

Penerapan Bangun Ruang Sisi Lengkung Contoh : 1. Sebuah bandul tembaga terdiri atas sebuah kerucut dan setengah bola dengan jari-jari 7 cm . Jika tinggi seluruhnya 25 cm , dan tiap 1 cm 3 tembaga beratnya 10 gram , hitunglah berat gandul tersebut! 2. Sebuah bola mempunyai luas 2.464 cm 2 . Diketahui tinggi tabung tanpa tutup 15 cm dan memiliki jari-jari sama dengan jari-jari bola. Hitunglah luas tabung tersebut! 3. Sebuah gelas dibuat sedemikian rupa sehingga bangun bawahnya merupakan setengah bola dengan jari-jari 4 cm dan bagian atasnya berupa tabung yang dasarnya berhimpit dengan dasar setengah bola dan tinggi tabung 9 cm . Hitunglah : a. Volume air dalam gelas (penuh) b. Tinggi air di dalam gelas jika volume air dalam gelas

2 bagian 3

4. Sebuah bola yang berjari-jari 3,5 cm dimasukkan ke dalam kubus. Jika sisi bola menyinggung semua sisi-sisi kubus, tentukan : NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013


Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung a. Luas Bola dan Luas Kubus b. Volume Bola dan Volume Kubus 5. Selembar seng akan digunakan untuk membuat kaleng minyak yang berbentuk tabung tanpa tutup. Jika kaleng tersebut dapat memuat 70,65 liter dan tinggi kaleng 100 cm , tentukan luas seng yang digunakan! Penyelesaian : 1. Diketahui : d = rSetengah Bola = 7 cm t Kerucut = t Seluruhnya – rSetengah Bola = 25 cm – 7 cm = 16 cm Volume Bandul = Volume Setengah Bola + Volume Kerucut =

1 4 3 1 2 × πr + πr t 3 2 3

=

2 22 1 22 × × 7 cm × 7 cm × 7 cm + × × 7 cm × 7 cm × 18 cm 3 7 3 7

=

2.156 3 cm + 924 cm 3 3

= 1.642,67 cm 3 Berat Bandul

= Volume Bandul × 10 = 1.642,67 × 10 = 16.426,7 gram = 16,4 kg

2. Diketahui : Luas Permukaan Bola = 2.464 cm 2 t = 15 cm Luas Permukaan Bola =

4πr 2

2.464 cm 2

=

4×

17.248 cm 2

=

88 × r 2

r2

=

17.248 cm 2 88

r2

= 196 cm 2

r

=

r

= 14 cm

22 2 ×r 7

196 cm 2

rBola = rTabung = 14 cm Luas Permukaan Tabung Tanpa Tutup = Luas Alas + Luas Selimut = πr 2 + 2πrt NURFARISYAH, S.Pd NIP. 19871204 201001 2 013



22 22 × 14 cm × 14 cm + 2 × × 14 cm × 15 cm 7 7

= 616 cm 2 + 1.320 cm 2 = 1.936 cm 2 3. Diketahui : r = 4 cm , tTabung = 9 cm a. VAir dalam Gelas = VTabung + VSetengah Bola = πr 2t +

1 4 3 × πr 2 3

= 3,14 × 4 cm × 4 cm × 9 cm +

2 × 3,14 × 4 cm × 4 cm × 4 cm 3

= 452,16 cm 3 + 133,97 cm 3 = 586,13 cm 3 b. V2 3

= air

2 2 × VAir dalam Gelas = × 586,13 cm3 = 390,75 cm3 3 3

VAir dalam Tabung V2 3

air

– VSetengah Bola

=

πr 2t

=

3,14 × 4 cm × 4 cm × t

390,75 cm 3 – 133,97 cm 3 =

50,24 cm 2 × t

256,78 cm 3

=

50,24 cm 2 × t

t

=

256,78 cm3 50,24 cm 2

t

= 5,11 cm

Tinggi air dalam gelas = 4 cm + 5,11cm = 9,11 cm 4. Diketahui : rBola = 3,5 cm Panjang rusuk kubus (s) = 2 × rBola = 2 × 3,5 cm = 7 cm a. Luas Permukaan Bola = 4πr 2 = 4 ×

22 × 3,5 cm × 3,5 cm = 154 cm 2 7

2 2 Luas Permukaan Kubus = 6s = 6 × 7 cm × 7 cm = 294 cm

b. Volume Bola =

4 3 4 22 πr = × × 3,5 cm × 3,5 cm × 3,5 cm = 179,67 cm 3 3 3 7

Volume Kubus = s 3 = 7 cm × 7 cm × 7 cm = 343 cm 3 5. Diketahui : VKaleng = 70,65 liter = 70.650 cm 3 t Kaleng = 100 cm VTabung

= πr 2t



Materi Bangun Ruang Sisi Lengkung 70.650 cm 3 = 3,14 × r 2 × 100 cm 70.650 cm 3 = 314 cm × r 2 r2

= 225 cm 2

r

=

r

= 15 cm

225cm 2


GEOMETRI BAB II BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

Recommend Documents