BAB 2 VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG SISI LENGKUNG

BAB 2 VOLUME DAN LUAS PERMUKAAN BANGUN RUANG SISI LENGKUNG A. TABUNG Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua lingkaran yang berhadapan, sejajar, dan kongruen serta titik-titik pada keliling lingkaran tersebut dihubungkan oleh garis-garis lurus. 1. Unsur-unsur tabung 1 2

Keterangan : 1) tutup tabung berbentuk lingkaran 2) selimut tabung 3) alas tabung berbentuk lingkaran 4) keliling alas = keliling lingkaran

3

4

2. Luas permukaan dan volume tabung a. Luas selimut dan luas permukaan tabung 1) Luas selimut (Ls) = 2πrt 2) Luas Permukaan (Lp) Lp = 2 luas alas + luas selimut = 2πr2 + 2πrt = 2πr (r + t) b.

Volume tabung (V) V = πr2t EVALUASI 2.1. TABUNG

1. Diketahui sebuah tabung dengan panjang diameter 14 cm dan tinggi 20 cm. hitunglah : a. luas selimut b. luas permukaan tabung. Jawab : 2. Luas selimut tabung adalah 314 cm2 dan panjang tabung 10 cm. Tentukan : a. panjang diameter, b. luas permukaan tabung. Jawab : 3. Diketahui luas selimut tabung 126 𝜋 cm2 dan tinggi 10,5 cm. Hitunglah luas alas tabung dalam 𝜋 dan panjang diameter tabung. Jawab : 4. Diketahui dua tabung tanpa tutup. Jari-jari tabung pertama sama dengan dua kali tabung kedua dan tinggi keduanya sama yaitu 50 mm. Jika selisih luas kaleng 682 cm2, tentukan panjang jari-jari kaleng pertama. Jawab : 5. Sebuah tabung berjari-jari 14 cm dan tinggi 16 cm akan dibungkus dengan menggunakan plastik. Jika harga plastik Rp 3.000,00 per m2, hitunglah biaya yang dibutuhkan untuk membungkus 5 tabung. Jawab : 6. Sebuah tabung berdiameter 140 cm dan panjang 20 dm digelindingkan dijalan dan berputar sebanyak 100 kali. Hitunglah luas (m2) permukaan jalan yang dilalui tabung. Jawab :

Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

12

7. Perhatikan gambar ! Sebuah bambu sepanjang 4 m dan berdiameter 10,5 cm akan di cat pada bagian dalam dan luarnya dengan warna biru. Jika ketebalan bambu 3,5 cm, hitunglah luas permukaan yang di cat. 4m Jawab : 8. Sebuah kubus berisi tabung dengan sisi-sisi tabung menyinggung sisi kubus. Jika volume kubus 1.000 liter, hitunglah luas permukaan maksimum tabung tersebut. Jawab : 9. Jika luas selimut tabung sama dengan luas persegi yang panjang diagonalnya alas tabung tersebut.

5 cm. Htunglah luas

Jawab : 10. Perhatikan gambar ! Jika berjari-jari 3,5 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah : a. volume tabung, b. luas selimut tabung,

r t

Jawab :

11. Panjang jari-jari alas tabung 4 cm dan tinggi tabung 10 cm. Hitunglah volume tabung. Jawab : 12. Diketahui dua tabung berjari-jari 7 cm dan 10,5 cm dan perbandingan tingginya 5 : 3. Tentukan perbandingan volume tabung besar dan tabung kecil. Jawab : 13. Dafa akan membuat selimut tabung dengan menggunakan sehelai seng berukuran 132 cm dan lebar 88 cm. Hitunglah volume tabung yang terbentuk (ada dua jawaban). Jawab : 14. Sebuah tabung dengan panjang jari-jari 10 cm berisi air setinggi 12 cm. Ke dalam tabung tersebut ditambahkan air 1,57 liter. Hitunglah tinggi air dalam tabung sekarang. Jawab : 15. Apabila dua tabung mempunyai tinggi yang sama yaitu 10 cm dan perbandingan V1 dan V2 adalah 1 : 4. Jika r1 + r2 = 30 cm dan L = luas permukaan tabung, hitunglah (L2 - L1). Jawab : 16. Perhatikan gambar !

A 14 cm

B 10,5 cm

8 cm

Diketahui dua tabung A dan B. Tabung A berdiameter 14 cm sedangkan tabung B berdiameter 10,5 cm dan tinggi 8 cm, berisi penuh air. Bila seluruh air pada tabung B dipindahkan ke tabung A, maka tinggi permukaan air adalah …. Jawab :

17. Sebuah tabung berada didalam kubus yang menyinggung seluruh sisi kubus. Tentukan perbandingan volume kubus dan volume tabung. Jawab : Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

13

18. Perhatikan gambar berikut. Tabung 1 berisi air setinggi 13 cm dan Posisi tabung 2 berkebalikan 2 1 dengan tabung 1. Tentukan panjang p. p

13 cm

Jawab :

21 cm 19. Hitunglah tinggi suatu kaleng yang berbentuk silinder berisi penuh zat cair sebanyak 785 cm3 dan diameter 10 cm! Jawab : 20. Seorang pengusaha minuman akan memindahkan minuman dari sebuah drum yang berukuran 1,2 m dan diameter 0,6 m ke dalam botol-botol kecil yang berukuran tinggi 8 cm dan diameter alasnya 18 cm. hitunglah botol keci yang berbentuk tabung yang diperlukan. Jawab : 21. Paman menyediakan 5 gelas minuman untuk 5 orang tamunya. Setiap gelas diisi lima per enam bagian. Apabila gelas yang digunakan berbentuk tabung dengan tinggi 15 cm dan diameter 7 cm, hitunglah isi minuman yang harus dibuat untuk ke-5 orang tersebut. Jawab : 22. Sebuah perusahaan biscuit dalam kaelng hendak menambah kapasitas kaleng menjadi lima kali. Semua jari-jari kaleng 10 cm dan tingginya 25 cm. Apabila tinggi kaleng tetap, hitunglah diameter kaleng yang terbentuk. Jawab : 23. Diketahui kawat berbentuk tabung sepanjang 1 km dan jari-jarinya 1,4 mm. Apabila 1 cm3 kawat beratnya 8,5 gram, hitunglah : a. Volume kawat b. berat kawat tersebut. Jawab : 24. Terdapat suatu tabung dengan jari-jari r cm dan tinggi tabung t cm dimana r < t. Misalkan tabung tersebut dengan volume V cm3 dan luas permukaan L cm2. Apakah mungkin V = L, berikan alasan yang rasional ! Jawab : 25. Tersedia penampung air (tandon) yang berbentuk tabung ddengan diameter 1 meter dan tinggi m. Penampung tersebut berisi air sebanyak 75% dari volume total. Terdapat lobang kecil di dasar penampung yag menyebabkan air mengalir keluar dengan kecepatan 50 cm3/ detik. Jika 𝜋 = 3,14, hitunglah berapa waktu air dalam tandon akan habis. Jawab : B. KERUCUT Kerucut didefinisikan sebagai bangun ruang yang dibatasi oleh garis pelukis yang ujungnya bergerak mengelilingi sisi alas berupa lingkaran dan pangkalnya diam di titik puncak kerucut. 1. Unsur-unsur kerucut

Puncak Garis pelukis

Jika tinggi kerucut (t), jari-jari (r), dan panjang garis pelukis (s), maka terdapat hubungan : s2 = r2 + t2. Selimut kerucut Garis pelukis adalah garis yang menghubungkan puncak kerucut dengan keliling alas kerucut.

Alas Rusuk Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

14

2. Luas permukaan dan volume kerucut a. Luas permukaan kerucut 1) Luas selimut kerucut (Ls) Ls = 𝜋rs 2) Luas permukaan kerucut (Lp) Lp = luas alas + luas selimut Lp = 𝜋r2 + 𝜋rs = 𝜋r(r + s) b.

Volume kerucut (V) 1 V = 𝜋r2 t 3

EVALUASI 2.2. KERUCUT 1. Tinggi dan panjang garis pelukis dari sebuah kerucut berturut-turut adalah 12 cm dan 20 cm. Untuk 𝜋 = 3,14 hitunglah luas selimut dan luas permukaan kerucut. Jawab : 2. Luas selimut sebuah kerucut adalah 550 cm2 dan garis pelukis 25 cm. Hitunglah : a. panjang jari-jari alas, 22 b. tinggi kerucut. (untuk 𝜋 = ) 7

Jawab : 3. Suatu kerucut mempunyai alas yang berjari-jari r dan garis pelukis s. Jika s : r = 5 : 3 dan luas selimut 198 cm2. Hitunglah luas sisi kerucut. Jawab : 4. Sebuah kerucut dengan keliling alas 31,4 cm dan panjang garis pelukis 13 cm. Untuk 𝜋 = 3,14, hitung : a. panjang jari-jari kerucut, b. volume kerucut. Jawab : 5. Volume sebuah kerucut 6.280 cm3 dan panjang diameter 20 cm. untuk a. tinggi kerucut, b. luas selimut kerucut

𝜋 = 3,14, hitunglah :

Jawab : 6. Gambar berikut menunjukkan penutup sebuah lampu yang tebuat dari kain. Diketahui jari-jari alas 12 cm dan tinggi kerucut besar 16 cm dan tinggi kerucut kecil 4 cm. Hitunglah luas kain penutup lampu tersebut dalam 𝜋. Jawab : 7. Perhatikan gambar ! Sebuah kerucut seperti tampak pada gambar dipotong menjadi dua bagian sehingga tingginya sama, hitunglah perbandingan luas selimut atas dan luas selimut bawah. Jawab : 8. Apabila luas alas = A dan luas selimut kerucut = S, serta S - A = 36 cm2 dan S + A = 664 cm2. Hitunglah diameter kerucut tersebut. Jawab : Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

15

9. Perhatikan gambar ! Jari-jari alas kerucut 5 cm dan jarak TP = 18 cm. Hitunglah volume kerucut.

T

Jawab : B

C

A P

10. Sebuah seng berbentuk juring dengan sudut pusat 900 dan panjang diameter 40 cm. Seng tersebut akan dibentuk menjadi kerucut, maka hitunglah volume kerucut yang terbentuk. Jawab : 11. Gambar berikut menunjukkan tabung dari kayu yang tingginya 90 cm. Pada bagian atasnya dilubangi menyerupai kerucut dengan diameter 48 cm. Hitunglah berat tabung yang tersisa jika 1 dm3 = 100 gram.

7 cm

Jawab :

12. Suatu kerucut memiliki panjang diameter 7 cm dan tinggi h cm, jika luas permukaan kerucut L cm2 dan volume kerucut adalah L cm3, maka tentukan : a. Nilai h, b. Nilai L. Jawab : 13. Diketahui sebuah kerucut, jika panjang jari-jari menjadi 50% kali jari-jari semula, sedangkan tingginya dijadikan dua kali tinggi semula, tentukan perbandingan volume semula dan volume kerucut sekarang . Jawab : 14. Perhatikan gambar ! PQR adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisinya a cm. Untuk 3 = 1,7; hitunglah luas permkaan dan volume kerucut yang tampak pada gambar disamping.

P

Q

R

a

Jawab :

15. Seseorang akan membat kerucut dengan volume maksimum 50 𝜋 cm3. Jika nilai r dan t kurang atau sama 6 cm dengan r, t ∈ bilangan bulat, tentukan nilai r dan t yang terbesar agar diperoleh volume kerucut yang maksimal Jawab : 16. Perhatikan gambar ! Sebuah kerucut berjari-jari r cm dan tinggi t cm diiris dengan cara memotong kerucut menjadi dua bagian dari atas ke bawah menggunakan seng yang berbentuk persegi panjang seperti tampak pada gamabar disamping. Tentukan : a. Bentuk irisan, b. Rumus luas irisan. Jawab : 17. Perhatikan gambar !

A 6 cm B∟

10 cm C

Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

Segitiga ABC siku-siku di B. Bila segitiga ABC diputar searah jarum dengan pusat di titik A, maka akan terbentuk kerucut dengan puncak dititik A. Demikian pula jika dititik C diputar maka akan terbentuk kerucut dengan pucak di titik C. Hitunglah selisih luas permukaan jika titik puncaknya di A dan C. Jawab :

16

18. Dari kertas berukuran 10 dm x 10 dm akan dibuat jaring-jaring kerucut dengan r cm dan tinggi t. Dapatkah Agus membuat jaring kerucut dengan jari-jari 40 cm dan tinggi 30 cm ? berilah alasan yang tepat dan rasional ! Jawab : 19. Perhatikan gambar ! Pada saat ulangan tahun, Rexa membuat nasi tumpeng yang berbentuk kerucut. Diameter nasi tumpeng 20 cm dan tingginya 24 cm. Pada awal acara Rexa memotong bagian atasnya secara mendatar setinggi 6 cm. Hitunglah berapa volume nasi tumpeng yang tersisa.

6 cm

Jawab : 20. Perhatikan gambar !

t

Kerucut 2 diperoleh dari kerucut 1 yang selimutnya ditarik ke sisi kiri, sehingga tinggi kerucut 2 terletak tepat disebelah kiri kerucut. Apakah volume kedua kerucut sama? Berikan alasan secara rasional?

t r

r

(1)

Jawab :

(2)

C. BOLA Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang terjadi dari tumpukan 4 lingkaran. Keempat lingkaran tersebut dinamakan kulit bola. 1. Luas kulit bola / luas permukaan bola Lp

= 4Luas lingkaran = 4 𝜋r2

2. Volume bola V

=

4 3

𝜋r3.

EVALUASI 2.3. BOLA 1. Jari-jari sebuah bola adalah 10 cm. Hitunglah luas sisi bola itu ! Jawab : 2. Diketahui diameter bola 7 cm. Hitunglah luas permukaan bola. Jawab : 3. Diketahui luas kulit bola 1.256 cm2. Untuk 𝜋 = 3,14, hitunglah panjang diameter bola. Jawab : 4. Tiga bola dari lilin masing-masing berjari-jari 3 cm, 4 cm, dan 5 cm akan dilebur menjadi satu bola yang besar. Hitunglah diameter bola yang terbentuk! Jawab: 5. Jari-jari bola masing-masing a dan b, sedangkan luas kulit bola m dan n. Apabila a : b = 1 : 4, tentukan perbandingan m dan n! Jawab : Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

17

6. Perhatikan gambar !

Jika selimut bola 216 cm2, maka luas selimut tabung adalah …. Jawab :

7. Hitunglah volume dan luas kulit bola maksimal yang ada didalam kubus yang bervolume 8000 liter ! Jawab : 8. Diketahui volume sebuah bola 125 π cm3. Hitunglah diameter dan luas permukaan bola. (nyatakan dalam 𝜋 ) Jawab : 9. Perhatikan gambar ! Gambar di samping menunjukkan sebuah kerucut dan setengah bola. Hitunglah luas permukaan bangun tersebut adalah. 31 cm

Jawab :

14 cm 10. Tiga bola yang homogen berjari-jari 10 cm dimasukkan ke dalam tabung yang berdiameter 40 cm dan tinggi 25 cm. Jika tabung berisi air setinggi 0,8 bagian berapa banyak air yang tumpah ? Jawab : 11. Sebuah kubus berada didalam bola dan kedelapan titik sudut kubus menyinggung bola. Jika panjang diagonal sisi kubus 32 cm, hitunglah volume bola tersebut. Jawab : 12. Perhatikan gambar !

8 cm

10 cm 24 cm

6 cm

Beberapa bola pingpong homogen dimasukan ke dalam prisma seperti yang tampak di samping. a. Berapa banyak bola pingpong maksimum yang dapt dimasukkan dalam prisma ? b. Berapa panjang jari-jari setiap bolanya.

Jawab : 13. Sebuah tabung dengan panjang diameter alasnya 20 cm dan tinggi 60 cm berisi air setinggi 30 cm. Sebuah bola besi dimasukkan ke dalam tabung tersebut, sehingga permukaan air dalam tabung naik. Hitunglah kenaikkan air dalam tabung setelah bola dimasukkan. Jawab : 14. 2r

4r

Sebuah benda terdiri dari kerucut, tabung, dan setengah bola. Apabila jari-jari 3 cm, mhitungla volume benda disamping. Jawab :

15. Atap gedung berbentuk belahan bola dengan panjang diameter 21 m. Bagian luar atap di cat dengan biaya Rp 20.000 setiap m2. Berapa besar biaya yang diperlukan ? Jawab : Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

18

16. Gambar di samping menunjukkan sebuah penampang bola dan kerucut berada didalam tabung. Jika volume bola 18 liter, hitunglah volume kerucut.

Jawab : 17. Perhatikan gambar ! Sebuah bola berada didalam kerucut. Dimana sisi-sisi bola tersebut menyinggung selimut kerucut dan alas kerucut. Jika AB = BC = AC = d cm dan 3 = 1,7, hitunglah volume bola terbesar yang ada dalam kerucut tersebut. Jawab : 18. Disediakan bola berjari-jari r cm. Jika luas kulit bola = y cm2 dan volume bola = y cm3, maka tentukan : a. nilai r, b. nilai y. Jawab : 19. Perhatikan gambar !

•

Bangun disamping dibentuk dari dua setengah bola yang sepusat. Diketahui R2 > R1 yang panjang masing-masing radius 5 cm dan 10 cm. Hitunglah luas permukaan bangun tersebut.

Jawab : 20. Sebuah kerucut, setengah bola, dan sebuah tabung berdiri pada dasar yang sama dengan jari-jari r dan tinggi h. Tentukan perbandingan luas permukaan ketiga benda tersebut! Jawab:

Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

19

CONTOH SOAL UJIAN NASIONAL 1. Volume bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam sebuah kubus dengan panjang rusuk 12 cm adalah ... ... A. 196 π cm3 B. 288 π cm3 C. 384 π cm3 D. 576 π cm3 (UN 2012/2013) 2. Sebuah tabung dengan jari-jari alasnya 35 cm dan tinggi 10 cm. Luas seluruh permukaan tabung adalah .... A. 1.925 cm2 B. 2.200 cm2 C. 3.850 cm2 D. 9.900 cm2 (UN 2012/2013) 3. Kerucut memunyai diameter alas 14 cm dan tinggi 12 cm. Volume kerucut adalah .... A. 3.696 cm3 B. 2.464 cm3 C. 924 cm3 D. 616 cm3 (UN 2011/2012) 4. Gambar berikut adalah sebuah bola di dalam tabung. Jika jari-jari bola 9 cm, luas seluruh permukaan tabung tersebut adalah ... ... A. 648 π cm2 B. 486 π cm2 C. 324 π cm2 D. 234 π cm2 (UN 2011/2012) 5. Bu Mira memunyai 1 kaleng penuh berisi beras. Kaleng tersebut berbentuk tabung dengan diameter 28 cm dan tinggi 60 cm. Setiap hari BU Mira menanak nasi dengan mengambil 2 cangkir beras. Jika cangkir berbentuk tabung dengan diameter 14 cm dan tinggi 8 cm, persediaan beras akan habis dalam waktu .. ... A. 15 hari B. 20 hari C. 30 hari D. 40 hari (UN 2010/2011) 6. Luas permukaan kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm adalah ... ... A. 85 π cm2 B. 90 π cm2 C. 220 π cm2 D. 230 π cm2 (UN 2010/2011) 7. Ke dalam sebuah tabung yang berisi air setinggi 30 cm dimasukkan 6 bola besi yang masing-masing berjari-jari 7 cm. Jika diameter tabung 28 cm, tinggi air dalam tabung setelah dimasukkan enam bola besi adalah ... A. 37 cm B. 42 cm C. 44 cm D. 52 cm (UN 2010/2011) 8.

Matematika 9 – Bangun Ruang Sisi Lengkung

20